Размещено на http://www.allbest.ru/

Похідна і диференціал функції

1. Задачі, які приводять до поняття похідної

диференціювання функція похідна алгебраїчний

1.1 Миттєва швидкість руху

Задача. За відомим законом нерівномірного прямолінійного руху точки S=S(t) знайти швидкість руху в момент t.

Розв'язання. Відомо, що при рівномірно прямолінійному русі швидкість дорівнює відношенню пройденого точкою від початку руху шляху до проміжку часу, що пройшов. Але в нашому випадку рух точки нерівномірний, тому перш ніж знайти точну швидкість V(t) в заданий момент часу t, знайдемо середню швидкість Vсер. за проміжок часу t, тобто від моменту t до моменту t+t. Нехай в момент t пройдений шлях дорівнює S=S(t), a в момент t+t - шлях S1=S(t+t), тоді за час t пройдемо відрізок шляху

S= S(t+t) - S(t)

з середньою швидкістю

Означення. Якщо існує границя відношення (1) приросту шляху до приросту часу, коли останній прямує до нуля, то ця границя називається миттєвою швидкістю руху в момент часу t і позначається

1.2 Швидкість радіоактивного розпаду речовини

При радіоактивному розпаді маса речовини зменшується.

Нехай закон зміни маси заданий функцією m=m(t). При зміні часу з моменту t до t+t маса зміниться на величину

m=m(t+t)-m(t).

Середня швидкість зміни маси

Перейдемо до границі при t. Якщо існує границя

то вона характеризує швидкість радіоактивного розпаду маси m=m(t) в момент часу t, тобто миттєву швидкість розпаду.

1.3 Густина прямолінійного стержня

Нехай вдовж відрізка [a, b]осі ОХ розміщений стержень, в

кожній точці х, якого відома маса m=m(x). Знайдемо густину маси в точці х.

Нехай m=m(x+x)-m(x) величина маси стержня на проміжку [x, x+x] довжини х, тоді



середня густина маси цієї частини.

Густиною маси стержня в точці х називається границя

1.4 Задача про силу струму

Нехай Q=Q(t) є кількість електричного струму, який проходить

через перетин провідника за час t. Тоді

середня сила струму за проміжок часу [t, t+t], а границя

є сила електричного струму в момент часу t.

1.5 Задача про кутовий коефіцієнт дотичної

Нехай на графіку функції y=f(x) взята довільна точка М0(х0,f(x0)). Проведемо через точку М0 пряму (січну), яка перетинає цей графік в ще одній точці М(х, f(x)) (див. рис.36).

Рис. 36

Позначимо 0 - кут між січною М0М та віссю ОХ. Із М0МN

кутовий коефіцієнт

січної М0М. При зменшенні х точка М наближається вздовж

графіка до точки М0, січна М0М повернеться, кут зміниться, при цьому у теж зміниться. Отже розглянемо границю

Означення. Граничне положення січної М0М при наближенні точки М вздовж кривої до точки М0 (при цьому х) називається дотичною до графіка y=f(x) в точці М0(х0, f(x0)), а значення границі (6) називається кутовим коефіцієнтом дотичної.

Зауваження. Границі в співвідношеннях (3)-(5) слід розуміти за умови, що вони існують.

2. Означення похідної

Якщо розглянути рівності (2)-(5) в наведених задачах, то побачимо, що у всіх випадках береться відношення приросту функції до приросту аргумента з подальшим переходом до границі. Тому необхідно дати загальне поняття, не зв'язане з конкретними задачами.Причому будемо придержуватись такої схеми.

Нехай задана функція f(x), визначена в точці і деякому її околі.

1. Обчислимо значення у0=f(x0).

2. Надамо х0 приріст х (х може бути як додатнім так і від'ємним), отримаємо нове значення х=х0+х. Обчислимо у1=f(х0+х).

3. Знайдемо приріст функції у = у1- у0 = f(х0+х)- f(х0).

4. Складемо відношення , яке означає середню швидкість зміни функції.

5. Знайдемо границю відношення приросту функції до приросту аргумента .

Означення. Похідною від функції y=f(x) в точці x0 називається границя відношення приросту функції y в цій точці до відповідного приросту аргумента х, коли останній прямує до нуля. Цю границю позначають

Прийнято використовувати також позначення границі (7): Зручність окремо кожного з них виявиться пізніше в конкретних випадках.

Тепер згідно з розглянутими задачами (1-5) можна відповідно записати:

Означення. Якщо існує скінченна границя вигляду (7) для функції f(x), тобто існує похідна в точці х0 , то функція y=f(x) називається диференційовною в точці х0.

Якщо функція y=f(x) диференційовна в кожній точці інтервалу (а, b), то вона називається диференційовною на цьому інтервалі.

Процес відшукання похідної за даною функцією називається диференціюванням.

Запишемо рівняння дотичної до кривої в точці . З аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через задану точку з кутовим коефіцієнтом має вигляд:

. (1)

Як вже знаємо з попереднього параграфа і викладеного , а , тому остаточно отримуємо рівняння дотичної до кривої :

(2)

Означення. Пряма лінія, яка перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику , називається нормаллю до кривої в ції точці.

Враховуючи умову перпендикулярності двох прямих з кутовими коефіцієнтами відповідно рівними і , кутовий коефіцієнт нормалі:

.

Тому згідно з (1), рівняння нормалі

. (3)

3. Диференційовність та неперервність

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційовна в деякій точці х=х0, то вона в цій точці неперервна.

Доведення. За умовою теореми f(х)- диференційовна в т. х0, тобто, існує

Згідно властивості границь ( де при ) можемо записати

( при )

(8)

Отримали формулу приросту функції в т. х0, з якої маємо, що із співвідношення випливає . Останнє означає неперервність функції: н.м. приросту відповідає н.м. приріст . Таким чином, з диференційовності випливає неперервність.

Обернене твердження не завжди має місце, тобто існують приклади неперервних функцій, які в окремих точках не мають похідних, тобто недиференційовні. Геометрично це означає, що коли функція має похідну (диференційовна) в точці х=х0, то існує дотична до графіка в точці М0(х0, f(x0)). Коли ж графік в точці М0 має різкий злам (див. рис.37), то в цій точці до графіка можна провести лівосторонню дотичну М1М0 і правосторонню дотичну М2М0, тобто є дві односторонні дотичні, але єдиної дотичної не існує. Функція в точці х=х0 недиференційовна.

Якщо ж графік функції має дотичну не тільки в точці М0 з абсцисою х=х0, але й в деякому околі цієї точки, то при переміщенні з однієї точки дотику в іншу дотична плавно повертається. В кожній з абсцис точок дотику існує похідна, функція - диференційовна, тому ще прийнято говорити, що графік в околі точки М0 - гладкий. Отже, якщо неперервність графіка сприймається, як суцільність його, то диференційовність характеризує гладкість графіка.

Рис.37

У випадку графіка з різким зламом говорять, що в цій точці графік негладкий.

Конкретними прикладами недиференційовних в окремих точках функції можуть бути (див.1.3, графіки на рис.1-3, а також див.рис.5).

4. Правила диференціювання

4.1 Похідна сталої дорівнює нулю

Доведення проведемо за поданою раніше схемою.

За умовою

Для знаходимо

4.2 Похідна аргумента дорівнює 1, тобто

4.3 Похідна алгебраїчної суми диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій, тобто

Доведення. Нехай функція мають похідні

Розглянемо функцію тоді

4.4 Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого співмножника на другий без зміни плюс добуток першого співмножника без зміни на похідну другого співмножника, тобто

Доведення. Згідно схеми маємо:

надамо значенню х приріст , тоді функції і набудуть нових значень і . і нове значення добутку буде

.

.

Оскільки і від не залежать, то їх можна виносити за знак границі. Отже, формула похідної добутку доведена.

Наслідок 1. Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто

.

Дійсно, згідно 10 і 40 маємо .

Наслідок 2. Для похідної добутку трьох співмножників маємо:

.

Очевидно, що формулу можна узагальнити на більшу кількість співмножників.

4.5 Похідна степеневої функції знаходиться за формулою

Доведемо для n натурального

Випадок довільного дійсного n буде розглянутий далі.

4.6 Похідна частки двох диференційовних функцій має вигляд

.

За умови, що

Доведення аналогічне правилу 4.

Приклади. Знайти похідні



5 Похідна складної і оберненої функції

Розглянемо, або , - складну функцію, де U - проміжна зміна, - незалежна зміна.

Теорема 1. Нехай , і - диференційовні у відповідних точках функції, тоді похідна складної функції існує і дорівнює добуткові даної функції по проміжній змінній на похідну проміжної змінної по незалежній змінній, тобто

(1)

Доведення. Згідно викладених в 5.3 міркувань із умови існування похідної маємо

де при . Розділивши останню рівність на , знаходимо

(2)

Із умови диференційовності функції випливає її неперервність, тобто із , а, значить, тому в результаті граничного переходу в (2) при отримаємо

Наслідок. Для степеневої функції де маємо:

(3)

Приклади. Знайти похідні 1.

2.

3.

4.

5.

Перейдемо до розгляду похідної оберненої функції

Нехай - диференційовна і строго монотонна на деякому проміжку осі OX. Як вже відмічалося (див. 2.4): якщо неперервна, то для неї існує обернена функція теж неперервна на відповідному проміжку по змінній .

Теорема 2. Для диференційовної функції з похідною, відмінною від нуля, існує похідна оберненої функції, яка дорівнює оберненій величині похідної даної функції, тобто

.(4)

Доведення. Нехай - приріст змінної , якому відповідає приріст оберненої функції . Тоді правильна рівність

Перейшовши до границі при , і враховуючи, що згідно неперервності оберненої функції , маємо

Наприклад, функція має обернену для , тоді

А тепер розглянемо

6. Диференціювання основних елементарних функцій

6.1 Похідна логарифмічної функції

Похідну знаходимо за схемою:

1) . 2)

2)

Ураховуючи властивість еквівалентності нескінченно малих при маємо

3) Знаходимо

Для складної функції

б). За формулою переходу в логарифмах до нової основи

маємо ,

,

тобто,

6.2 Похідна показникової функції

В результаті логарифмування обох частин маємо

Отже,

б) Згідно тотожності маємо

,

тобто,

6.3 Похідна степеневої функції , де - довільне дійсне число

Аналогічно попередньому

- довільне дійсне число. Зокрема, якщо , то

тому

Аналогічно,

6.4 Похідні тригонометричних функцій

Згідно означення маємо

Отже,

2. Із тригонометрії відомо, що;

,

тому

3.

6.5 Похідні обернених тригонометричних функцій

1. Переходимо до оберненої функції і диференціюємо обидві частини, причому зліва як складну функцію,

2. . З тригонометрії відомо, що тому

.

3.

6.6 Похідна степенево-показникової функції

- диференційовні функції

Знайдемо логарифми рівності і продиференціюємо обидві частини

.

Приклади. Знайти похідні

1)

2.

6.7 Похідна неявної функції

Функцію у аргумента х називають неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y)=0, яке не розв'язане відносно залежної змінної.

Наприклад, задає неявно дві функції

, якщо , і якщо

.

Неявні функції диференціюють як складні.

(1)

Переконаємось на прикладі функції при , що похідна її збігається з отриманим виразом (1). Дійсно,

.

Приклад. Знайти , якщо



Диференціюючи рівність, отримуємо

7. Таблиця похідних

8. Означення диференціала функції

Нехай функція y=f(x) диференційовна в точці х, тобто існує границя

Згадаємо властивість про зв'язок функції з її границею, а саме:

якщо, , то при хх0, де (х) нескінченно мала величина. Тому початкове співвідношення (8) можна записати:

де (х)0 - нескінченно мала величина при х0. Співвідношення (9) показує, що приріст функції складається з двох доданків: (х)х - нескінченно малої величини вищого порядку малості при х0 в порівнянні з f(x)x (f(x)0). Тому f(х)х є головною частиною приросту функції, лінійною відносно х.

Означення. Головна, лінійна відносно х, частина приросту функції називається диференціалом функції і позначається

dy = f(x)x. (10)

Якщо в (10) взяти у=х , то dy=(x)x dy=x, але y=x, тому

d x = x -

для незалежної змінної х її диференціал збігається з приростом. В зв'язку з цим формула (10) приймає вигляд:

dy = f(x)dx - (11)

-формула диференціла функції.

З формули (11) маємо ще одне пояснення позначення похідної.

Розділимо почленно співвідношення (9) для приросту функції на і знайдемо границю при х0.

Отже, приріст функції і її диференціал є еквівалентними

нескінченно малими величинами

y dy. (12)

Співвідношення (12) використовують при наближеному обчисленні значення функції. Нехай x1=x0+x i, крім того, відомо значення f(x0) i f(x0), тоді

f(x1)=f(x0)+y f(x0)+dy = f(x0)+f(x0)x. (13)

9. Геометричне тлумачення диференціала функції

Нехай y=f(x) диференційовна в точці х0. Побудуємо її графік, в точці М0(х0, f(x0)) проведемо дотичну, яка утворює з віссю ОХ кут , а tg=f(x0) (див. рис.38)

Рис.38

MN = f(x0+x)-f(x0) = y - приріст функції. Із М0LN маємо:

LN = M0Ntg = f(x0)x = dy.

Отже, геометрично диференціал dy = LN - це приріст дотичної.

10. Основні властивості диференціала

11. Диференціювання параметричних функцій

Теорема. Нехай функції

де х=х(t), y=y(t) диференційовні по параметру t функції, тоді існує похідна yх ,причому

за умови, що х(t)0. Дійсно,

12. Похідні і диференціали вищих порядків

Нехай для функції y=f(x) існує похідна f (x), припустимо, що для f (x), як для функції, можна теж знайти похідну.

Означення. Похідна від похідної f (x) називається другою похідною і позначається:

Аналогічно:

третя похідна;

похідна четвертого порядку;

на похідна,(похідна n-го порядку).

Подібним чином вводяться диференціали вищих порядків:

Якщо функція задана параметрично: то похідні знаходяться за формулами

Тоді розписуючи детально знаходимо

Аналогічно,

13. Приклади диференціювання функцій

Сюди входять зразки розв'язання простих прикладів на засвоєння таблиці похідних , прикладів, які не увійшли в “0” варіант, а також набір вправ для самостійного розв'язування.

Нижче будемо використовувати позначення при посиланні на таблицю похідних - ТП, вказуючи номер відповідної формули.

Знайти похідні

Сума , добуток, частка степеневих функцій.

Виконати самостійно

Тригонометричні функції

Виконати самостійно

Обернені тригонометричні функції

Виконати самостійно

Логарифмічна функція

Виконати самостійно

Показникові функції

Виконати самостійно

Логарифмічне диференціювання

y = (x2+3x)sinx - логифмуємо рівність [ ln bk = k ln b]

ln y = sin x ln ( x2 + 3x).

Диференціюємо обидві частини, вважаючи, що у функція x

Виконати самостійно

Похідні функцій заданих параметрично

Відомо, що якщо

, то

Приклади. Знайти похідні для функції заданих параметрично

Знаходимотоді

Знаходимо

Виконати самостійно



Похідні функцій, заданих неявно

Знайти у.

Розв'язання.

Беремо похідну від обох частин рівності, вважаючи при цьому, що змінна у є функцією змінної х:

Після почленного домноження на (х2 + у2) і скорочення з даної рівності знаходимо у, тобто маємо

Знайти у.

Розв'язання.

Виконати самостійно

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Знайти у .

Размещено на Allbest.ru

...