Проблеми і гіпотези задач прогнозу стаціонарних випадкових послідовностей

Спектральний розклад кореляційної функції. Розв’язання задачі пошуку обґрунтованої загальної індексної множини. Опис стаціонарних та регулярних послідовностей. Екстраполяція, інтерполяція і фільтрація. Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 22.07.2017
Размер файла 1002,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

  • Вступ
  • 1. Теоретичні відомості
    • 1.1 Стаціонарні послідовності
    • 1.2 Спектральний розклад кореляційної функції
    • 1.3 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей
    • 1.4 Регулярні послідовності
    • 1.5 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація
    • 1.6 Двоїстість та ортогоналізація
    • 1.7 результати і доведення для
  • 2. Основні результати
    • 2.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію
      • 2.1.1 Приклад 1
      • 2.1.2 Приклад 2
  • Висновок
  • Література

Вступ

Багато прогнозувальних задач стаціонарних випадкових процесів (див. [2], [7], [10], [14]) еквівалентні пошуку відстані від сталої функції 1 до підпростору

в ,

де S - підмножина цілих чисел , ek = e-ikл, w-невід'ємна інтегрована функція на одиничному крузі T, і це зважений простір на T з нормою . Тут µ - це Лебегова міра на Т, причому µ(T) = 1. Записуємо

для відстані. Наприклад, складається із многочленів , і їх границь в коли індексна множина S, є пів пряма , тобто

У цьому випадку, загальновідома теорема стверджує, що для ,

якщо ; в іншому випадку (див., наприклад, [5, p. 156]). У праці [10] для індексної множини привернула значну увагу до обчислення коли індексна множина є з обмеженою кількістю доданих та видалених точок . На сьогодні, найбільш відомий загальний результат - це Теорема 2 Ченга та ін., яка стверджує, що, для такого , є позитивним лише за умови що Однак, задача обчислення та функції в , що його досягає, залишається недосяжною, навіть якщо , , за винятком кількох особливих випадків, розглянутих у пункті 2. У цій роботі ми розв'язуємо задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, що могла б пролити світло на труднощі, звичайні для цієї сфери досліджень. Пункт 3 представляє результати для і містить деякі відкриті питання щодо загального .

стаціонарних послідовність екстраполяція кореляційний

1. Теоретичні відомості

1.1 Стаціонарні послідовності

Нехай - ймовірнісний простір і - деяка послідовність випадкових величин. Позначимо через послідовність

Означення 1. Випадкова послідовність називається стаціонарною (у вузькому сенсі), якщо для любого розподіли ймовірностей співпадають:

Означення 2. Послідовність комплексних випадкових величин з , , називається стаціонарною (в широкому сенсі), якщо для всіх

Позначимо

І припускаючи, що

Функцію будемо називати коваріаційною функцією, а - кореляційною функцією стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності .

1.2 Спектральний розклад кореляційної функції

Нехай

де - ортогональні випадкові величини з нульовими середніми і . Якщо покласти, що , то ряд сходиться в середньоквадратичному сенсі і

Введемо функцію

Тоді коваріаційна функція може бути записана у вигляді інтеграла Лебега-Стілт'єса

Теорема (Герглотц).

Нехай - коваріаційна функція стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності з нульовим середнім. Тоді на знайдеться така скінченна міра ,

, що для любого

де інтеграл розуміється як інтеграл Лебега-Стілт'єса по множині .

1.3 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей

Теорема 1. Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного (-м.н.)

При цьому .

Теорема 2. Якщо , то знайдеться така функція , що (-м.н.)

1.4 Регулярні послідовності

Введемо позначення. Нехай та - замкнені лінійні многовиди, породжені величинами і відповідно. Нехай також

Означення.

Стаціонарна послідовністьназивається регулярною, якщо

і сингулярною, якщо

Теорема.

Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність допускає єдиний розклад

де - регулярна, а - сингулярна послідовності. При цьому і ортогональні (.

Означення.

Клас Харді - це клас аналітичних функцій у відкритому одиничному колі на комплексній площин, які задовольняють умову

Теорема (Колмагоров).

Нехай - не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільність така, що

А саме, (майже скрізь по мірі Лебега).

І навпаки, якщо - деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.

1.5 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація

Екстраполяція.

Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді

де функція має радіус збіжності і не має нулів в радіусі

Нехай

- спектральне представлення послідовності .

Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінка величини по задається формулою

Інтерполяція. Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатам спостережень «пропущеного» значення .

Позначимо через - замкнений лінійний многовид, породжений величинами . Тоді кожна випадкова величина може бути представлена у вигляді

де належить замкненому лінійному многовиду, породженому функціями і оцінка

буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли

Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі випливає, що функція повністю визначається двома умовами:

1)

2)

Теорема 2 (Колмагоров).

Нехай - регулярна послідовність з

Тоді

І похибка інтерполяції задається формулою

Фільтрація. Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної ( в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки величини по тім чи іншим спостереженням послідовності

Оскільки , то знайдеться така функція , що

Оптимальна функція :

1) ,

2) .

Отриманий розв'язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки величини по результатам спостережень , де - деяке задане число з .

1.6 Двоїстість та ортогоналізація

Надалі ми припускаємо, що такий, що для деякої функції ?? з класу Харді . Нехай і це коефіцієнти в наступних розкладах:

Зауважимо, що

Явний вигляд для і в термінах коефіцієнтів ряду Фур'є для можна знайти в [11] та [12].

Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з , відомо, що

Це так званий - й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексів котрий дорівнює приєднанню наступних частот до в [10] показано, що

якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умові пояснюється встановленням двоїстості між та як Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення із в еквівалентно півосі , де . Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основі в була зведена до звичайної проблеми прогнозування в . В цілому, для будь-якого набору індексів із скінченним числом точок із добавлених чи відібраних, нехай буде доповненням до , і для фіксованого , визначимо та наступною рівністю:

відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що

якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до , але величина , можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для набору ця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов'язану з проекцією на простір Харді . Тим не менш, для загального , визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідають та мають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв'язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, для доповнення еквівалентно , що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження в відповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення . Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення , що дає:

(2.5)

В цьому пункті ми обчислюємо для більш загального набору індексів з і , тобто

Цей набір індексів має властивості як так і . Насправді, він зводиться до , коли , в той час як його доповнення в має той же вигляд, як і , так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекції з на підпростір , може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекцію на підпростір . Оскільки ортогональні до , то підпростори і можна записати у вигляді наступних ортогональних сум:

(2.6)

Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне , цікавий її зв'язок з , де (з , де ):

(2.7)

Де i

Константа насправді являється коефіцієнтом у формальному розкладі в ряд -го кроку прогнозу . [16]). Наостанок, бажана відстань:

Де

На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від або лише від , у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видалення із не буде збільшувати відстань від з якщо рівне нулю. Аналогічно з (2.9), додавання до не зменшить якщо . Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функцій або ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.

1.7 Результати і доведення для

В цьому розділі для комплексно значної матриці , ми писатимемо для матриць відповідно. Використовуючи зовнішню функцію , ми визначаємо , де це повний ортонормований базис такий, що

Ми виражаємо різні проекції в термінах .

Теорема 3.1.

Покладемо w - невід'ємна інтегрована функція з . Тоді матимемо наступне:

Задовольняє умову (3.3) нижче.

Для , Теорема 3.1. дає явний вигляд . Він необхідний для проектування на . В силу (2.6), ми також маємо спроектувати на одновимірний підпростір або ж визначити коєфіцієнт

де внутрішнім оператором Віповідні результати наведені в наступній теоремі.

Теорема 3.2.

Покладемо w - невід'ємна інтегрована функція з . Тоді мають місце наступні твердження:

.

Нехай . Для визначення проекції на - мірного проміжку записів , матриці і - вектор необхідні наступні компоненти:

Ми визначимо - мірний вектор і - мірну нижню трикутну матрицю :

Так як

наступне представлення має місце:

(3.2)

де Звідси ми отримуємо

де визначено і зсунуто вектор вице. В цих позначеннях, нормальне рівняння для в теоремі 3.1 (1) буде

(3.3)

Крім того, ми визначимо . Тоді в силу (2.1), (2.8) і (2,10),

Оскільки матриця А має ранг один збурення , вона може бути легко інверсована за допомогою оберненої і співвідношення між і описаним в (2.1). Обернена матриця матриці А і інші відповідні результати наведені в наступній лемі.

Лема 3.3.

Доведення леми є простим, тому ми його опустимо.

Доведення теореми 3.1.

Виходячи з (3.3) ми вже вище довели (1). Використовуючи представлення в (3.2) і визначення ми маємо

Твердження (2) слідує з леми (3.3)(5),(6). нарешті, ми отримуємо (3) з (2). Доведення теореми 3.2.

Використовуючи теорему 3.1 (2) і останню тотожність в (2.1), ми отримаємо

Звідси отримуємо (1). З (2.6) і (3.1),

Тоді (2) випливає з теореми (3.1), і (3) виводиться застосуванням теореми (3.1)(2).

Ця тотожність необхідна для доведення (4). Так

Котре, в силу (3.1) дає

Таким чином

Тепер, З іншої сторони, з (1) ми маємо:

Таким чином, ми отримуємо (4), бажану формулу відстані (2.9).

Звичайно, це являє собою великий інтерес для обчислення Для і=0 - й крок проблема прогнозування була вирішена в [1], [10] з додатковою гіпотезою, що

Для всіх , де коефіцієнти визначаються наступним чином:

Використовуючи цей результат і співвідношення двоїстості (2.4), знаходиться в [2]. Здається, цілком імовірно, що одномірний метод ортогоналізації який використовується в [2, теорема 5], може бути продовжений до , а потім за допомогою відношення двоїстості (2.4), можна також обчислити . Вздовж цього розширення набору індексів може знадобитися припущення про місце нулів впродовж кількох n, що піднімає питання про існування нетривіальних вагових функцій , які задовольняють ці умови.

2. Основні результати

2.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію

2.1.1 Приклад 1

Розглянемо спектральну щільність виду

Маємо . Звідси можемо одразу визначити коефіцієнти :

Для визначення коефіцієнтів розглянемо розклад виду

тобто перепишемо нашу щільність

Подамо у вигляді суми геометричної прогресії , звівши до відповідного вигляду отримаємо

Підставимо у праву частину рівності замість

Тепер легко можна записати коефіцієнти

Перевіримо виконання умов

Тепер знайдемо стандартне відхилення для набору індексів

Для множини

Стандартне відхилення для набору матиме вигляд

2.1.2 Приклад 2

Розглянемо тепер щільність виду

, а саме

де

Проведемо ту ж саму процедуру визначення коефіцієнтів і :

:

:

Перевіримо виконання умов

Стандартні відхилення у цьому випадку будуть

Висновок

В даній роботі були розглянуті основні проблеми та гіпотези задач прогнозу стаціонарних випадкових послідовностей (у широкому сенсі), спектральний розклад кореляційної функції та спектральне представлення стаціонарних регулярних послідовностей і . У роботі досліджено задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, яка проливає світло на труднощі при обчисленні для , розглянуто два приклади застосувань теорії для гіпотез про двоїстість та ортогонлізацію, а саме дві спектральні щільності з прямим та оберненим способом відшукання коефіцієнтів ряду Фур'є, знайдено вирази для знаходження коефіцієнтів та , перевірено виконання умов регулярності, знайдено значення величин стандартних відхилень для наборів індексів .

Література

1. S. Cambanis and A. R. Soltani, Prediction of stable processes: Spectral and moving average representations, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 66(1984), 593-612. MR0753815 (86g:60054)

2. R. Cheng, A. G. Miamee and M. Pourahmadi, Some extremal problems in , Proc. Amer. Math. Soc.126(1998), 2333-2340. MR1443377 (98j:42003)

3. P. L. Duren, Theory of Spaces, Academic Press, New York, 1970. MR0268655 (42:3552)

4. M. Frank and L. Klotz, A duality method in prediction theory of multivariate stationary sequences, Math. Nachr.244(2002), 64-77. MR1928917 (2003m:60105)

5. T. W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969. MR0410387 (53:14137)

6. L. Klotz and M. Riedel, Some remarks on duality of stationary sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 225-228. MR1899439 (2003b:60050)

7. A. N. Kolmogorov, Stationary sequences in a Hilbert space, Bull. Moscow State University 2 (1941), 1-40.

8. A. G. Miamee, On basicity of exponentials in and general prediction problems, Period. Math. Hungar. 26(1993), 115-124. MR1230571 (94k:60066)

9. A. G. Miamee and M. Pourahmadi, Best approximation in and prediction problems of Szego, Kolmogorov, Yaglom and Nakazi, J. London Math. Soc. 38(1988), 133-145. MR0949088 (90g:60042)

10. T. Nakazi, Two problems in prediction theory, Studia Math. 78(1984), 7-14. MR0766702 (86i:60122)

11. T. Nakazi and K. Takahashi, Predictionnunits of time ahead, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 658-659. MR0587949 (82b:60041)

12. M. Pourahmadi, Taylor expansi on and some applications, Amer. Math. Monthly 91(1984), 303-307. MR0740245 (85e:30003)

13. M. Pourahmadi, Two prediction problems and extensions of a theorem of Szego, Bull. Iranian Math. Soc.19 (1993), 1-12. MR1289507 (95j:60061)

14. M. Pourahmadi, Foundations of Prediction Theory and Time Series Analysis, John Wiley, New York, 2001. MR1849562 (2002f:62090)

15. K. Urbanik, A duality principle for stationary random sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 153-162. MR1808671 (2001j:60072)

16. N. Wiener and P. R. Masani, The prediction theory of multivariate stationary processes.II, Act. Math. 99 (1958), 93-137. MR0097859 (20:4325)

17. А. Н. Ширяев, Вероятность, Москва «наука», главная редакция физико-математической литературы - 1989

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Спектральний розклад кореляційної функції та представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей. Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація. Регулярні послідовності та напрямки їх аналізу. Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію.

    контрольная работа [986,8 K], добавлен 20.06.2015

  • Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.

    контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010

  • Сутність гармонічної, квадратичної, логарифмічної прогресій. Аналіз методів доведень алгебраїчних нерівностей за допомогою прогресій. Розв'язання задач на дослідження властивостей середнього степеневого для заданих числових послідовностей та нерівностей.

    курсовая работа [396,9 K], добавлен 26.04.2012

  • Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.

    задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010

  • Теорія графів та її використання у різних галузях. У фізиці: для побудови схем для розв’язання задач. У біології: для розв’язання задач з генетики. Спрощення розв’язання задач з електротехніки за допомогою графів. Математичні розваги і головоломки.

    научная работа [2,1 M], добавлен 10.05.2009

  • Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.

    контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012

  • Поняття нормованого простору: лінійний простір, оператор, безперервний та обмежений оператор. Простір функцій. Інтеграл Лебега-Стилтьеса. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій. Теореми Марцинкевича та Рисса-Торина. Простір сумуємих послідовностей.

    курсовая работа [407,3 K], добавлен 16.01.2011

  • Задачі обчислювальної математики. Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики. Обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа для заданої функції. Виконання обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона.

    контрольная работа [67,1 K], добавлен 27.03.2012

  • Випадок однорідної крайової задачі. Розв’язання виродженого крайового виразу. Теорема Коші, іі доведення. Означення узагальненої функції Гріна крайової задачі. Формулювання алгоритму відшукання узагальненої функції Гріна. Приклади роз'язання завдань.

    лекция [108,5 K], добавлен 24.01.2009

  • Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.

    курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014

  • Історія виникнення відсотків, сутність цього терміна. Розв’язання задач на їх визначення за допомогою пропорцій. Добірка текстових завдань, які розв’язуються шляхом розрахунку розміру складних відсотків. Методи вирішення задач на суміші та сплави.

    реферат [72,7 K], добавлен 02.12.2015

  • Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.

    контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016

  • Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.

    курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011

  • Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.

    курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010

  • Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.

    практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009

  • Математична постановка задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування. Представлення систем диференційних рівнянь управління в просторі станів. Достатні умови в критеріях повної керованості Е. Гільберта.

    дипломная работа [2,0 M], добавлен 16.06.2013

  • Поняття та значення симплекс-методу як особливого методу розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального рішення. Розв'язання задачі з використанням програми Simplex Win.

    лабораторная работа [264,1 K], добавлен 30.03.2015

  • Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.

    задача [320,6 K], добавлен 31.05.2010

  • Суть інтерполяції - у відшуканні значень функції в деякій проміжній точці. Лінійна інтерполяція, в основі якої лежить наближення кривої на ділянці між заданими точками прямою, що проходить через ті ж точки. Інтерполяція за Лагранжем. Практична формула.

    презентация [92,6 K], добавлен 06.02.2014

  • Виключення третього як фундаментальний принцип логіки, істинність і хибність як логічні значення пропозиції. Таблиці істинності, поняття тавтології і еквівалентності. Властивості функцій множин і запереченням гіпотези Гольдбаха в термінах квантифікаторів.

    реферат [82,7 K], добавлен 03.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.