Частные случаи обратных матриц
Определение типа матриц, для которого обратная матрица тот же тип. Анализ условий, обеспечивающих невырожденность матрицы. Исследование матриц третьего порядка. Определение характеристик полей, над которыми существуют обратные матрицы исследуемых типов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2017 |
| Размер файла | 209,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Кубанский государственный аграрный университет
УДК 519.612 (075)
01.00.00 Физико-математические науки
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
Хлонь Иван Дмитриевич
Студент
Сергеев Александр Эдуардович
к. ф.-м. н., доцент
Рождественская Евгения Васильевна
Преподаватель
Краснодар, Россия
Обратная матрица для квадратичной матрицы А порядка n с коэффициентами из некоторого поля существует, как известно, тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Если матрица А имеет определенный вид (определенную структуру), то обратная матрица А-1 совсем не обязана иметь ту же структуру. Поэтому представляет интерес описание таких квадратичных матриц А, у которых при определенных условиях существует обратная матрица А-1, имеющая аналогичную структуру, что и матрица А. Например, нижняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали имеет обратную матрицу над полем характеристики 0, имеющую также вид нижней треугольной матрицы. Аналогично, обратная матрица к симметрической или кососимметрической матрице также является соответственно симметрической или кососимметрической. Также матрица обратная к невырожденному циркуленту сама будет циркулянтом и наконец матрица обратная к невырожденной квазидиагональной матрице D сама будет квазидиагональной, причем имеет тоже клеточное строение, что и D. Таким образом, имеется проблема определения таких типов невырожденных матриц, которые имеют обратную матрицу того же типа, что и данная. В русле этой проблемы в данной работе определяется такой тип матриц, для которого обратная матрица тот же тип, при этом определяются условия в явном виде, обеспечивающие невырожденность матрицы. Подробно рассмотрены матрицы третьего порядков. Эти результаты позволяют определить характеристику полей, над которыми существуют обратные матрицы рассматриваемых типов матрица невырожденность поле обратный
Ключевые слова: ОБРАТНАЯ МАТРИЦА, ПОРЯДОК МАТРИЦЫ, СИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА
Если взять матрицу размером и вида А= , при этом и находить ее обратную матрицу А-1= , то элементы c и d можно найти следующим образом: обозначим , . При этом, , , , где .
Проверим. Возьмем матрицу А1= , где , . Подставим в формулы и посчитаем: , , , , .
Получаем матрицу А1-1= . Но существует ряд исключений.
Гипотеза: если увеличивать b на 1 и при этом , то чем больше b, тем больше исключений из правил.
Пример, возьмем , . Начнем постепенно увеличивать a на 1 и находить обратные матрицы.
1) А = > А-1 =
2) В = > В-1 =
3) С = > С-1 =
4) D = > D-1 =
5) E = > E-1 =
6) F = > F-1 =
7) G = > G-1 =
8) H = > H-1 =
Можно заметить, что, если в исходной матрице a-нечетное число, то в обратной матрице c будет рассчитываться, как .
Возьмем матрицу, в которой , . Проделаем такие же операции, как и с предыдущими матрицами.
1) А = > А-1 =
2) В = > В-1 =
3) С = > С-1 =
4) D = > D-1 =
5) E = > E-1 =
6) F = > F-1 =
7) G = > G-1 =
8) H = > H-1 =
Можно заметить две закономерности:
1) Начиная с матрицы номер 4 (где , ) и повторяясь через каждые 4 матриц (или через каждые 2 четные матрицы), элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
2) Начиная с матрицы номер 2 () и повторяясь через каждые 4 матриц (или через каждые 2 четные матрицы), элементы c и d вычисляются как .
Возьмем матрицу, в которой . Аналогично проделаем те же самые действия. На этот раз можно будет заметить уже 3 закономерности:
1) Начиная с матрицы номер 3 () и повторяясь через каждые 18 матриц, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
2) Начиная с матрицы номер 6 () и повторяясь через каждые 12, а потом через каждые 6 и опять через 12 матриц, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
3) Начиная с матрицы номер 12 () и повторяясь через каждые 18 матриц, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
Во всех нечетных матрицах (кроме тех, что попадают под исключения 1-3) элемент c вычисляется, как .
Возьмем матрицу, в которой . Аналогично проделаем те же самые операции. На этот раз можно будет заметить уже 4 закономерности:
1) Начиная с матрицы номер 4 () и повторяясь через каждые 8 матриц, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
2) Начиная с матрицы номер 8 () и повторяясь через каждые 32 матрицы, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
3) Начиная с матрицы номер 16 () и повторяясь через каждые 16 матриц, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
4) Начиная с матрицы номер 24 () и повторяясь через каждые 32 матрицы, элемент c вычисляется как , а элемент d, как .
Во всех нечетных матрицах элемент c вычисляется, как элемент d, как .
Все элементы исключений можно вычислить по формуле арифметической прогрессии.
Также можно заметить, что в исключениях разность элементов (обозначается буквой d в формуле арифметической прогрессии) кратна числу b в исходной матрице. А также число, которому кратен элемента c в исключениях, кратно элементу b в исходной матрице.
Дальнейшие выводы требуют дополнительных вычислений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М: Наука, 1980.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984.
4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М: Наука, 1970.
5. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М: Добросовет, 1988.
6. Стринг Г. Линейная алгебра и ее применение. М: Мир, 1980.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир, 1989.
8. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М: Наука, 1972.
9. Белеман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1976.
10. Ланкастер П. Теория матриц. М: Наука, 1978.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.
реферат [296,6 K], добавлен 12.06.2010Интерпретация ортогональной и унитарной матрицы. Основные детерминанты матриц. Определение комплексных квадратных невырожденных и вырожденных матриц. Методы нахождения определителя. Метод конденсации Доджсона. Кососимметричная полилинейная функция строк.
курсовая работа [620,9 K], добавлен 04.06.2015Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.
лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014Определение, свойства, виды и историческое происхождение матриц. Расчет определителя третьего порядка. Правило Саррюса для треугольников. Алгоритм построения и единственность обратной матрицы. Исследование линейных отображений векторных пространств.
контрольная работа [308,2 K], добавлен 12.12.2013Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.
презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013Обратимые матрицы над полем Zp. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3. Общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp. Обратимые матрицы над Zn.
дипломная работа [156,7 K], добавлен 08.08.2007Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Определение матрицы, характеристика основных ее видов. Правила транспонирования матриц. Элементы матрицы-произведения. Свойства определителей, примеры нахождения. Формулировка и следствие теоремы о ранге матрицы. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.
реферат [60,2 K], добавлен 17.06.2014Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.
реферат [203,0 K], добавлен 12.08.2009Примеры алгебраических групп матриц, классические матричные группы: общая, специальная, симплектическая и ортогональная. Компоненты алгебраической группы. Ранг матрицы, возвращение к уравнениям, совместимость. Линейные отображения, действия с матрицами.
курсовая работа [303,7 K], добавлен 22.09.2009Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
контрольная работа [26,2 K], добавлен 21.07.2010Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.
контрольная работа [73,5 K], добавлен 21.10.2010Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 02.06.2010
