Модификация метода наименьших квадратов решения системы линейных уравнений с использованием аппарата квантового анализа

Развитие методов регуляризации решения систем линейных уравнения (СЛАУ). Предложение модифицированного метода наименьших квадратов решения СЛАУ, в основе которого лежит использование q-дифференцирования. Выполнение задач в математическом пакете Matlab.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 27.07.2017
Размер файла 85,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Файл не выбран
РћР±Р·РѕСЂ

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модификация метода наименьших квадратов решения системы линейных уравнений с использованием аппарата квантового анализа

В.А. Есаулов

Аннотация

Цель и задачи данной работы состоят в развитии методов регуляризации решения систем линейных уравнения (СЛАУ). Для их достижения в работе предложен модифицированный метод наименьших квадратов решения СЛАУ, в основе которого лежит использование q-дифференцирования. Расчеты на примере тестовых задач, выполненные в математическом пакете Matlab, подтвердили адекватность метода и в ряде случаев показали его преимущество перед традиционными способами регуляризации СЛАУ. линейный уравнение дифференцирование

Ключевые слова: система линейных уравнений, целевая функция, метод наименьших квадратов, предобуславливание, алгоритм, метод регуляризации, q-производная, относительная погрешность, норма вектора, число обусловленности.

Введение

Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения систем линейных уравнений (СЛАУ) является метод наименьших квадратов (МНК). Это связано с тем фактом, что в настоящее время имеется достаточное число высокоэффективных алгоритмов для МНК, а также, что многие статистические свойства оценок решений, полученных на основе МНК для приближенных стохастических СЛАУ при решении задач регрессионного анализа, не зависят от функций распределений возмущений [1]. Рассмотрим суть метода наименьших квадратов и варианты его модификаций.

Построение итерационного метода решения СЛАУ с использованием q-градиента

Для заданных -матрицы и -вектора линейной задачей о наименьших квадратах называют задачу отыскания такого вектора , который доставляет минимум квадрата евклидовой нормы невязки . Ясно, что для матриц A полного ранга в случае, когда число строк матрицы не превосходит числа столбцов, искомый минимум, как правило, равен нулю [1].

Таким образом, линейная задача на метод наименьших квадратов имеет вид:

(1)

Для поиска экстремума (1) составим систему уравнений вида [6]:

, , (2)

В матричной форме (2) сведется к системе линейных уравнений:

, (3)

Наиболее общий прямой метод решения СЛАУ (3) состоит в применении метода обратной матрицы. В таком случае решение (3) имеет вид

, (4)

Если матрица плохо обусловлена, формула (4) перестает давать адекватную оценку решения [2, 3]. Для стабилизации оценок МНК при решении (3) в методе регуляризации по Тихонову в качестве главной матрицы (3) используется матрица вида , где - единичная матрица, - параметр регуляризации. Недостатком метода регуляризации является сложность поиска оптимального значения параметра регуляризации. Другой существенный недостаток метода связан с самой идеей регуляризации: сглаживания решения в пределах погрешности измерений. При росте погрешности в качестве решения можно получить более гладкую кривую, все в большей степени отклоняющуюся от истинной [4].

Наряду с постановкой задачи на метод наименьших квадратов и его модификациями представляет интерес исследование методов, использующих неклассическое определение производной. В [5] показано, что обобщение метода Ньютона-Канторовича решения систем нелинейных уравнений, выражающееся в использовании q-градиента, может существенно повысить скорость сходимости процесса поиска решения и повысить его точность. Использование q-градиентных методов показало высокую эффективность для решения задач фильтрации сигналов и параметрической идентификации [6].

Определение q-производной имеет следующий вид [7, 8]:

, (5)

Геометрическая интерпретация q-производной (1) приведена на рис. 1 [7].

Рис. 1. Геометрическая интерпретация q-производной

Из рис. 1 видно, что, в отличие от производной, которая определяет положение касательной в точке, q-производная при значениях задает угол наклона секущей линии. Такое обстоятельство позволяет рассматривать численные методы, использующие q-производную, как некоторую разновидность метода хорд и секущих.

Рассмотрим перспективы использования аппарата q-анализа при решении задачи наименьших квадратов (1). Центральным вопросом будет являться существование q-аналога необходимого условия экстремума (2). На то, что оно может существовать, указывает тот факт, что производная, используемая в (2), является частным случаем производной (5).

Если функция в окрестности точки может быть разложена в формальный степенной ряд, то она может быть аппроксимирована разложением в ряд Тейлора с использованием q-производных [8, 9]:

, (6)

где - частная производная в точке , определяемая как

, , (7)

где .

Если - точка экстремума, то для случая максимума в ней функции должно выполняться условие . Рассуждая аналогично [9], получим, что необходимым условием экстремума является равенство нулю ее первых частных q-производных в точке , то есть

, (8)

Записав условие (8) для (1), получим следующее соотношение:

(9)

Из вида (9) можно сказать, что в случае плохой обусловленности главной матрицы (3) матрица может улучшать свойства СЛАУ, увеличивая величину диагональных элементов.

Вычислительный эксперимент

Инструментальным средством реализации изложенных алгоритмов являлась среда. В качестве тестовых задач использовались примеры из библиотеки Regularization Tools для среды MATLAB [10]. Она содержит большой набор различных инструментов решения некорректных задач.

При этом выполнялись следующие действия:

1. Оценка оптимального параметра регуляризации для методов (9), Тихонова и его модификации для МНК;

2. Решение СЛАУ с оптимальными параметрами регуляризации для каждого из методов;

3. Вычисление погрешности, описывающей отклонения полученного решения от известного точного.

Параметр регуляризации задавался в диапазоне значений от 0 до 0.01. Оптимальным считался параметр регуляризации, при котором решение СЛАУ доставляет функции (1) минимум из всего диапазона значений. Погрешность решения СЛАУ определялась как относительная погрешность приближенного решения по отношению к тестовому в смысле нормы .

В качестве первой тестовой задачи бралась СЛАУ, описывающая задачу Fox&Goodwin [11]. Порядок главной матрицы задавался равным 100, а ее число обусловленности составило .

В табл. 1 приведены значения относительных погрешностей решений для задачи Fox&Goodwin.

Таблица № 1.

Сводная таблица погрешностей решения задачи Fox&Goodwin

Метод решения СЛАУ

Погрешность, %

Формула (9)

5.3

Метод Тихонова с МНК

0.49

Метод Тихонова

34.2

По данным табл. 1 можно видеть, что метод Тихонова для МНК дает наименьшую погрешность. Решение по методике (9) дает удовлетворительное совпадение с точным решением, гораздо большее по точности по сравнению со случаем использования традиционного метода Тихонова.

В качестве второй тестовой задачи выступила СЛАУ с двухдиагональной матрицей из примера Годунова [12]. Этот пример интересен тем, что является достаточно сложной задачей для метода Тихонова и его вариаций [4]. Порядок главной матрицы из примера Годунова задавался равным 100. Число обусловленности главной матрицы составило .

В табл. 2 приведены значения оптимального параметра регуляризации для разных методов расчета

Таблица № 2.

Значения параметра регуляризации для примера Годунова

Методика регуляризации

Значения параметра регуляризации

Значение функции (1)

Формула (9)

1.9073e-06

1.0185e-06

Метод Тихонова с МНК

1.9083e-06

1.7229e-07

Метод Тихонова

1.4901e-08

4.7303e+23

Из данных в табл. 2 можно сделать вывод, что метод Тихонова с найденным значением оптимального параметра регуляризации не может обеспечить адекватного решения данной задачи. Ввиду этого при решении СЛАУ метод Тихонова не применялся.

В табл. 3 приведены значения относительных погрешностей решений для примера Годунова.

Таблица № 3

Значения погрешностей решений примера Годунова

Методика регуляризации

Погрешность, %

Формула (9)

13.48

Метод Тихонова с МНК

52.3

Из табл. 4 видно, что, решение СЛАУ [12] по методике (9), обеспечивает наименьшую погрешность в сравнении решением, полученным при использовании метода Тихонова с МНК.

Из представленных результатов можно сделать вывод о адекватности методики (9) в отношении ее применения к решению плохо обусловленных задач.

Заключение

В статье предложена (9) решения СЛАУ на основе использования q-градиента в необходимом условии экстремума для (1). Вычислительный эксперимент показал ее применимость в отношении решения плохо обусловленных задач. Следующими шагами в развитии предложенной методики могут стать получение итерационных методов на основе (9), а также разработка способов адаптивного определения порядка q- градиента для них.

Литература

1. Шарый С.П. Курс вычислительных методов. Учеб. пособие. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2014 г., 279 с.

2. Целигоров Н.А., Целигорова Е.Н., Мафура Г.В. Математические модели неопределённостей систем управления и методы, используемые для их исследования. Инженерный вестник Дона, 2012, № 4(часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n4p2y2012/1340.

3. Бегляров В.В., Берёза А.Н. Гибридный эволюционный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений, описывающих электрические цепи. Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n1y2013/1540.

4. В.В. Дикусар. Некоторые численные методы решения линейных алгебраических уравнений // Соросовский образовательный журнал, № 9, с. 111-120.

5. Predrag M. Rajkovicґ, Sladjana D. Marinkovicґ, Miomir S. Stankovicґ. On q-Newton-Kantorovich method for solving systems of equations. // Applied Mathematics and Computation 168 (2005), pp. 1432-1448

6. Ubaid M. Al-Saggaf, Muhammad Moinuddin, Muhammad Arif, Azzedine Zerguine. Theq-Least Mean Squares algorithm // Signal Processing 111 (2015), pp. 50-60.

7. Soterroni, Aline Cristina. O mґetodo do q-gradiente para otimizaёc˜ao global // Aline Cristina Soterroni - S˜ao Josґe dos Campos: INPE, 2012. - 151 p.

8. В.Г. Кац, П.Чен. Квантовый анализ / Перевод с англ. Ф.Ю. Попеленского и Ж.Г. Тотровой. М.: МЦНМО, 2005. 128 с.

9. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 336 c

10. P. C. Hansen. Regularization of discrete ill-posed problem // Numerical Algorithms 46 (2007), pp. 189-194.

11. C. T. H. Baker. The Numerical Treatment of Integral Equations, Clarendon Press, Oxford, 1977; p. 665.

12. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. - Новосибирск: Наука, 1980. - 178 с.

References

1. Sharyj S.P. Kurs vychislitel'nyh metodov. Ucheb. Posobie [The course of computing methods. Tutorial.]. Novosibirsk: Novosib. gos. un-t., 2014 g., 279 p.

2. Celigorov N.A., Celigorova E.N., Mafura G.V. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, № 4(part 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1340.

3. Begljarov V.V., Berjoza A.N. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n1y2013/1540.

4. V.V. Dikusar. Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal, № 9, pp. 111-120.

5. Predrag M. Rajkovicґ, Sladjana D. Marinkovicґ, Miomir S. Stankovicґ. On q-Newton-Kantorovich method for solving systems of equations. Applied Mathematics and Computation 168 (2005), pp. 1432-1448.

6. Ubaid M. Al-Saggaf, Muhammad Moinuddin, Muhammad Arif, Azzedine Zerguine. Theq-Least Mean Squares algorithm. Signal Processing 111 (2015), pp. 50-60.

7. Soterroni, Aline Cristina. O mґetodo do q-gradiente para otimizaёc˜ao global Aline Cristina Soterroni - S˜ao Josґe dos Campos: INPE, 2012. 151 p.

8. V.G. Kats, P. Chen. Kvantovyy analiz [Quantum analysis]. Perevod s angl. F. Yu.Popelenskogo i Zh.G. Totrovoy. M.: MTsNMO, 2005. 128 p.

9. Gavrilov, V.I. Matematicheskij analiz: Uchebnoe posobie dlja studentov uchrezhdenij vysshego professional'nogo obrazovanija [Mathematical analysis: Textbook for students of institutions of higher education]. V.I. Gavrilov, Ju.N. Makarov, V.G. Chirskij. M.: IC Akademija, 2013. 336 p.

10. P. C. Hansen. Regularization of discrete ill-posed problem. Numerical Algorithms 46 (2007), pp. 189-194.

11. C. T. H. Baker. The Numerical Treatment of Integral Equations, Clarendon Press, Oxford, 1977; p. 665.

12. Godunov S.K. Reshenie sistem linejnyh uravnenij [Solving systems of linear equations]. Novosibirsk: Nauka, 1980. 178 p.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): Гаусса и Холецкого, их применение к конкретной задаче. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Borland C++ Builder 6. Понятие точного метода решения СЛАУ.

    реферат [58,5 K], добавлен 24.11.2009

  • Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

    контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010

  • Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.

    лабораторная работа [4,9 M], добавлен 06.12.2011

  • Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.

    курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014

  • Методы решения систем линейных уравнений. Метод Якоби в матричной записи. Достоинство итерационного метода верхних релаксаций, вычислительные погрешности. Метод блочной релаксации. Разбор метода релаксаций в системах линейных уравнений на примере.

    курсовая работа [209,1 K], добавлен 27.04.2011

  • Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.

    курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011

  • Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.

    курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011

  • Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов как наилучшей оценки. Прямая и обратная регрессии. Общая линейная модель. Многофакторные модели. Доверительные интервалы для оценок метода наименьших квадратов. Определение минимума невязки.

    реферат [383,7 K], добавлен 19.08.2015

  • Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.

    контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014

  • Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.

    контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013

  • Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.

    курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013

  • Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.

    курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009

  • Основные задачи регрессионного анализа в математической статистике. Вычисление дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсии прогнозирования эндогенной переменной. Установление зависимости между переменными. Применение метода наименьших квадратов.

    презентация [100,3 K], добавлен 16.12.2014

  • Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.

    контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016

  • Математические модели явлений или процессов. Сходимость метода простой итерации. Апостериорная оценка погрешности. Метод вращений линейных систем. Контроль точности и приближенного решения в рамках прямого метода. Метод релаксации и метод Гаусса.

    курсовая работа [96,7 K], добавлен 13.04.2011

  • Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.

    курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013

  • Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

    реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009

  • Изучение аппроксимации таблично заданной функции методом наименьших квадратов при помощи вычислительной системы Mathcad. Исходные данные и функция, вычисляющая матрицу коэффициентов систему уравнений. Выполнение вычислений для разных порядков полинома.

    лабораторная работа [166,4 K], добавлен 13.04.2016

  • Характеристики метода Эйлера. Параметры программы, предназначенной для решения систем линейных уравнений и ее логическая структура. Блок-схема программы и этапы ее работы. Проведение анализа результатов тестирования, исходя из графиков интераций.

    курсовая работа [866,0 K], добавлен 27.03.2011

  • Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.

    лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.