Отображение метрической проекции на замкнутые выпуклые множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

метрический проекция банаховый

Многозначные отображения естественно возникают в различных разделах математики: в теории игр, математической экономике, оптимальном управлении и т.д. Многозначные отображения естественно возникают также и в некоторых классических задачах функционального анализа, например, а задачах теории приближения и в теории аппроксимации.

Настоящая работа посвящена изучению некоторых свойств отображения метрической проекции на замкнутые выпуклые множества.

Состоит из 4 параграфов.

В §1 изучаются свойства метрической проекции в гильбертовом пространстве. Доказывается, что метрическая проекция в этом случае является однозначным отображением, липишцевым с константой 1. Изучены также другие свойства этого отображения.

В §2 дается определение и изучаются свойства метрики Хауедорфа в пространстве замкнутых подмножеств. В нем даются также основные определения и свойства полунепрерывных сверху многозначных отображений.

§3 посвящен изучению метрической проекции в банаховом пространстве. Он состоит из двух пунктов. В пункте 3.1 изучается метрическая проекция на компактное выпуклое подмножество в банаховом пространстве, показывается, что метрическая проекция является многозначным полунепрерывным сверху отображением. Посчитан пример. В пункте 3 изучаются свойства метрической проекции на замкнутое ограниченное множество в банаховом пространстве.

В §4 рассматриваются некоторые приложения метрической проекции в различных задачах. В пункте 4.1 метрическая проекция применяется для доказательства существования непрерывного сечения непрерывного многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами. В пункте 4.2 метрическая проекция применяется для доказательства одной теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений.

1. Метрическая проекция в гильбертовом пространстве

Пусть Е - линейное пространство.

Определение. Говорят, что в линейном пространстве Е определено скалярное произведение, если каждой паре векторов x,y поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (x,y), причем это соответствие обладает следующими свойствами:

1) для любого вектора числопричем тогжда и только тогда, когда ;

2) для любых ;

3) , где - действительно число;

4) - дистрибутивность.

Определение. Линейное пространство Е называется нормированным, если в нем каждому вектору х поставлено в соответствие число, называемое нормой х и обозначаемое причем это соответствие обладает свойствами:

1) , причем тогда и только тогда, когда ;

2) для любых

3) для любых .

Пусть Е - пространство со скалярным произведением, тогда положим

Очевидно, что удовлетворяет всем свойствам нормы.

Последовательность точек пространства Е будем называть фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.е. если для любого существует такое число ? Xnj для всех,.

Определение. Если в пространстве Е любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Определение. Гильбертовым пространством Н называется пространство, полное относительно нормы, порожденной введенным в этом пространстве скалярным произведением.

Определение. Полное нормированное пространство называется Банаховым пространством.

Лемма. Каковы бы ни были элементы , для них справедливо равенство параллелограмма

Доказательство. По определению нормы имеем

Определение. Пусть К - непустое замкнутое множество в пространстве Н. Для положим Очевидно, что Неотрицательное число d называется расстоянием от точки х до множества К.

Теорема. Пусть Р - гильбертово пространство, Л - непустое выпуклое замкнутое множество в Р. Тогда для существует и единственная точка такая, что выполняется равенство

(1.1)

Доказательство. Пусть - минимализирующая последовательность, т.е. В силу выпуклости множества К точка , откуда Положим Используя правило параллелограмма, распишем следующее выражение .Подставляя вместо указанные выше обозначения, получим так как вычитаемое имеет нижний предел , а уменьшаемое стремиться к . Следовательно, последовательность является фундаментальной. Поскольку К - замкнутое множество, а пространство Н полно, то при этом Покажем, что точка Тогда в силу выпуклости множества К, так что . Однако и потому Это равенство, как легко видеть, возможно только в том случае, когда Следовательно, и . Теорема доказана.

Пусть К - выпуклое замкнутое множество пространства Н. Согласно доказанной теореме каждому однозначно соответствует точка такая, что выполняется равенство (1.1). Тем самым в Н определен оператор который называется метрической проекцией пространства Н на множество К.

Изучим свойства метрической проекции.

Лемма. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда для любой точки выполняется неравенство

(1.2)

Доказательство. Необходимость. Предположим, что Возьмем произвольную точку . В силу выпуклости множества К точка Рассмотрим функцию Функция имеет минимум на отрезке [0,1] в точке 0, так как расстояние является кратчайшим при . Вычислим производную в точке 0: тогда для любого . Из последнего неравенства вытекает, что для любого

Достаточность. Предположим, что для любой точки выполнено (1.1). Свернем это неравенство, тогда Откуда, воспользовавшись неравенством , получим . Возможны два случая: 1) , тогда и кратчайшее расстояние 2) Получим Следовательно, откуда Утверждение доказано.

1.10. Теорема. Пусть - метрическая проекция гильбертова пространства Н на выпуклое замкнутое множество . Тогда для любых точек выполняется неравенство

(1.3)

Доказательство. Обозначим В силу доказанной леммы для любой точки справедливо неравенство Положив получим (1.4)

Для любой точки справедливо неравенство Положив , получим (1.5)

Сложим неравенства (1.5) и (1.4)

Откуда Возможны два случая:

1) если то

2) если то Теорема доказана.

Следствие. Метрическая проекция является непрерывным отображением.

Доказательство. Отображение , если для любого числа найдется такое, что как только Положив в неравенстве (1.2) получим требуемое утверждение.

2. Многозначные отображения. Основные свойства

Теорема.

(в)

(г)

(д)

Доказательство. (а) вытекает непосредственно из определения.

(б)

(в)

.

(г) Тогда

(д)

Теорема доказана.

Рассмотрим функцию Эта функция является метрикой на множестве Действительно, для любых выполнено

1)

2)

3)

4)

Определение. Функция h называется метрикой Хаусдорфа.

Заметим, что из п.(д) теоремы 2.1 вытекает, что для любых выполнено

Пусть X,Y - произвольные множества; многозначные отображения F множества X в множестве Y - это такое соответствие, которое сопоставляет каждой точке

Пусть

Определение. Множество

называется графиком многозначного отображения F/

Определение. Многозначное отображение F называется полу непрерывным сверху в точке

Определение. Многозначное отображение F называется полу непрерывным сверху, если оно полу непрерывно сверху в каждой точке .

Определение. Многозначное отображение F называется замкнутым, если его график

Пусть X,Y - нормированные пространства.

Теорема. (критерий полу непрерывности сверху).

Пусть - многозначное отображение, X - замкнутое подмножество в Y, пусть существует компактное подмножество такое, что для любого Отображение

Доказательство. Необходимость. Пусть F - полу непрерывно сверху. Докажем замкнутость графика

, норма в этом пространстве определяется условием

Индуцирует покоординатную сходимость точек. Рассмотрим произвольную последовательность точек Если эта последовательность то это значает, что

график - не замкнут. Это означает, что существует последовательность где Следовательно, Согласно условии теоремы имеем

компактного множества есть компакт, то Рассмотрим

последовательность

Тогда

необходимость.

Достаточность. Пусть график

сверху. Предположим, что F не является полунепрерывным сверху, тогда существуют точка

т.е. существует

ограничения общности можно считать, что

покоординатной сходимости, то

доказывает теорему.

Определение. Многозначное отображение называется непрерывным в метрике Науедорфа, если оно непрерывно как однозначное отображение в метрическое пространство

3. Метрическая проекция в баннаховым пространстве

Метрическая проекция на компактное множество.

Пусть Е - баннахово пространство, К - выпуклое компактное подмножество в пространстве Е. Для произвольной точки

Доказательство. Пусть

под последовательность

Таким образом, кратчайшее расстояние на компакте всегда реализуется. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим вещественное пространство в котором норма произвольного элемента

Найдем множество, на котором реализуется кратчайшее расстояние от точки до множества

Чтобы найти точки, в которых реализуется кратчайшее расстояние, нужно решить уравнение:

Оно эквивалентно уравнению:

Очевидно оно возможно, когда

В банаховом пространстве в отличие от гильбертова пространства кратчайшее расстояние может достигаться на множестве.

Изучим свойства метрической проекции

Теорема. Для любой точки множеством.

Доказательство. Докажем сначала выпуклость множества

точку

В силу выпуклости множества

Так как d - это кратчайшее расстояние, то С другой стороны оценим Итак, получили

Для доказательства замкнутости множества перейдя к пределу при Теорема доказана.

Определим функцию

Лемма. Функция

Доказательство. Предположим противное, тогда существуют точка последовательность В определении функции расстояние всегда реализуется, поэтому для любой

(3.1.1)

И для любого Так как последовательность к пределу в равенстве (3.1.1) получим . Следовательно, . Возьмем . Оценим расстояние так как Итак, . Получили противоречие. Следовательно, функция непрерывна. Лемма доказана.

Теорема. Отображение

Доказательство. Так как доказать замкнутость графика этого отображения. Пусть

Следовательно, . Теорема доказана.

Метрическая проекция на замкнутое множество.

Пусть У - баннахово пространство.

Определение. Совокупность всех непрерывных линейных функционалов образует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается .

Пространство , сопряженное к , - это есть совокупность всех линейных непрерывных функционалов на .

Поскольку можно каждый элемент из Е рассматривать еще и как элемент пространства , удобно для значений линейного функционала вместо записи ввести обозначение:

Рассмотрим каноническое вложение

Определение. Банахово пространство Е называется рефлексивным, если , т.е. Е изометрично при каноническом вложении i.

Определение. Последовательность

Любого линейного функционала последовательность чисел .

Теорема. В рефлексивном банаховом пространстве любое ограниченное замкнутое выпуклое множество является слабо компактным.

Лемма (Мазура). Пусть Е - рефлексивное банахово пространство, С - замкнутое выпуклое множество в Е, последовательность … Тогда существует последовательность что выполняются следующие условия: 1)

Теорема. Пусть Е - рефлексивное банахово пространство, С - замкнутое выпуклое множество в Е. Тогда для любой точки .

Доказательство. Пусть

. Возьмем минимизирующую последовательность

Так как

общности можно считать, что слабо сходится к В силу леммы Мазура найдется последовательность

В полученном неравенстве Теорема доказана.

Возникает отображение

Лемма. Для любого является ограниченным выпуклым замкнутым множеством.

Доказательство. Выпуклость и замкнутость множества доказывается аналогично теореме 3.1.3.

Представляет интерес изучение непрерывности многозначного отображения .

4. Некоторые приложения метрической проекции

Непрерывное сечение многозначного отображения

В Гильбертовом пространстве.

Пусть Х - метрическое пространство, - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение.

Определение.

Однозначное отображение называется сечением многозначного отображения F, если

f(X) F(X) для каждой точки x X.

Докажем теорему о существовании сечения отображения F.

Возьмем точку D Н и определим отображение по следующему правилу: для любого выполнено , т.е. m(K) - это точка К такая, на которой реализуется кратчайшее расстояние до нуля пространства H.

Лемма. Для любых , где h - метрика Хаусдорфа, выполняется неравенство

.

Доказательство.

По определению . Это означает, что . Для любой найдется точка такая, что и для любой найдется точка такая, что . Обозначим . Тогда для найдется точка ,

для .

Воспользовавшись леммой 1.6 получим

Откуда

Сложим последние два неравенства .

Следовательно, . Итак, получим, что . Лемма доказана.

Теорема.

Отображение является непрерывным отображением.

Доказательство.

Докажем, что для любого открытого множества V в Н его прообраз является открытым множеством. Это означает, что какое бы мы не взяли - существует число такое, что -окрестность тогда и только тогда, когда . Так как V - открытое множество, то существует число такое, что . Выберем так, чтобы выполнялось неравенство: . Тогда для любого множества выполнено . В силу леммы 4.1.1, то есть для любого выполняется включение . Итак, для любого , а следовательно, множество W открыто. Теорема доказана.

Следствие.

Пусть X - метрическое пространство, Н - гильбертово пространство -непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение. Тогда для любых

Существует непрерывное сечение такое, что для любого и выполняется равенство .

Доказательство.

Возьмем два случая:

1)Пусть , тогда возьмем непрерывное отображение такое, что для любого . Рассмотрим композицию . Это отображение удовлетворяет условию . Однозначное отображение для любого является сечением многозначного отображения F. Отображение f непрерывно, так как является композицией двух непрерывных однозначных отображений. Если , то ,то есть мы построили однозначное отображение .

2)Пусть - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение, причем . Тогда в силу первого случая существует непрерывное отображение такое, что . Рассмотрим непрерывное, для любого хХ. Следствие доказано.

Неподвижные точки многозначных

Сжимающих отображений.

Пусть -полное метрическое пространство; , как и прежде, обозначает совокупность всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств X; h - метрика Хаусдорфа в

Определение. Многозначное отображение называется к-липшецевым, если существует число к0 такое, что для любых х, у Х выполнено неравенство

Если к < 1, то к-липшецего многозначное отображение F называется сжимающим (к- сжимающим).

Теорема. Если F - сжимающее многозначное отображение, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку, то есть точку такую, что .

Пусть Н - гильбертово пространство, - замкнутый шар с границей .

Лемма. Если , то для любой точки точка представляется в виде .

Доказательство. Возможны два случая:

1)Если, то .

2)Пусть . Предположим . Согласно лемме 1.9 тогда и только тогда, когда для любого выполняется неравенство

. Докажем это неравенство для точки . Тогда

Лемма доказана.

Пусть - многозначное сжимающее отображение, . Пусть

Лемма. Отображение является многозначным сжимающим отображением.

Доказательство. Так как , выполнено включение . Это означает, что для любой точки существует точка такая, что . В силу теоремы 1.10 выполняется неравенство . Тогда для любой найдется такая, что . Откуда Следовательно, .

Аналогично доказывается, что из включения следует

Таким образом, получим неравенство . Следовательно, в силу свойств метрики Хаусдорфа будет выполнено неравенство . Так как отображение Так как отображение -сжимающее, то существует число , для которого справедливо , то есть отображение сжимающее. Лемма доказана.

Теорема. Пусть - многозначное сжимающее отображение такое, что для любой точки . Тогда имеет неподвижную точку.

Доказательство. Пусть тогда в силу теоремы 4.2.2 существует точка . Возможны два случая.

1) Пусть является неподвижной точкой отображения F. Если это выполнено, то теорема доказана.

2) Пусть x является неподвижной точкой . Предположим, что х не является неподвижной точкой F, то есть и . Тогда существует точка такая, что , так как в противном случае .

Тогда в силу леммы существует такое, что , следовательно, . Тогда , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

метрический проекция банаховый

Размещено на Allbest.ru

...