Дифференциальные уравнения

Конспект лекций

по теме: «Дифференциальные уравнения»

Волгодонск

Введение

При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удаётся описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции , в уравнение входит производная этой функции.

Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и её производные называется дифференциальным уравнением. В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так:

F(x;y(x);;;...;y⁽ⁿ⁾)=0

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.

- дифференциальное уравнение 1 порядка

- дифференциальное уравнение 3 порядка

Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1. Дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение: Уравнение вида =f(x;y) или F(x;y;)=0 называется дифференциальным уравнением 1 порядка.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=г(x;c), где (с -const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.

Определение: Интегральная кривая, проходящая через точку плоскости с координатами (х₀;y₀) соответствует частному решению дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: y(x₀)=y₀

Примеры:

2. Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка и функция f(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М₀(х₀;y₀)D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x₀)=y₀

Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.

Если не удаётся получить общее решение дифференциального уравнения 1 порядка в явном виде, т.е , то его можно получить в неявном виде:

F(x; y; c) =0 - неявный вид

Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида: называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Подставим

умножим на dx

разделим на

Замечание: обязательно нужно рассматривать частный случай, когда

переменные разделены

проинтегрируем обе части уравнения

- общее решение

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:

Отдельный случай !

Проинтегрируем обе части уравнения:

Примеры:

1)

2) нач. условия:

4. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Определение: Функция называется однородной порядка n, если

Пример: - однородная функция порядка n=2

Т.к

Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной.

Определение: Дифференциальное уравнение называется однородным, если - однородная функция, т.е

Заменим

Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

С помощью замены , где t - функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Замена

- подставим в уравнение

Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения

Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.

Пример:

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0,

где M(x;y) и N(x;y) - однородные функции одинакового порядка.

Разделим на dx и выразим

Пример:

5. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка

Линейные дифференциальные уравнения это вида , где P(x), Q(x) - непрерывные функции.

и входят в уравнение линейно, т.е не перемножаются между собой.

Сделаем замену:

Приравняем скобку к 0

подставим

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

 константу интегрирования не прибавляем, т.к достаточно одного частного решения.

Выразим явно

Подставим в (*)

Выразим

Т.к , то проинтегрируем обе части последнего уравнения по х

Общее решение линейного уравнения:

- всегда получается в явном виде.

1)

2) y(1)=2

6. Уравнения Бернулли

, где ;1

Решаются такие уравнения так же как и линейные

Замена

Явно

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

выразим явно u и найдём общее решение

Примеры:

7. Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение: Дифференциальное уравнение порядка n называется уравнение вида:

уравнение вида: - называется уравнением разрешенным относительно старшей производной. Для такого уравнения справедлива теорема Коши.

Теорема Коши.

Если функция в (*) непрерывна вместе с частными производными:

в области содержащей значения

, то существует единственное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Замечание: для дифференциальных уравнений 2 порядка

начальные условия имеют вид:

Решить дифференциальное уравнение порядка n означает:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее заданным условиям.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2 порядка

 является функция , такая что:

1) при любых значениях с₁ и с₂ эта функция - решение.

2) каковы бы ни были начальные условия на области, в которой выполняется теорема Коши всегда можно подобрать значения с₁ и с₂ удовлетворяющие начальным условиям.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения 2 порядка является решение, при конкретных значениях с₁ и с₂.

Замечание: общее решение дифференциального уравнения 2 порядка может быть получено в неявном виде:

8. Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнения вида:

уравнение решается двукратным интегрированием по переменной х.

Проинтегрируем 1 раз по х.

Проинтегрируем 2 раз по х

общее решение.

Замечание: для дифференциального уравнения порядка n: - интегрировать нужно n раз.

Примеры:

2) Дифференциальные уравнения, не содержащие явно y.

- нет явно y

Замена

Подставим замену в дифференциальное уравнение, получим

получим дифференциальное уравнение 1 порядка.

Найдём решение этого уравнения:

сделаем обратную замену

проинтегрируем обе части по х - общее решение

Пример:

3) Дифференциальные уравнения 2 порядка не содержащие явно х.

- нет явно х.

Замена: у-новая переменная

- новая функция

- её производная

Подставим замену в исходное уравнение

получим дифференциальное уравнение 1 порядка:

- его решение

Сделаем обратную замену -

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

; - общее решение (вид неявный)

Примеры:

1.

2.

9. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, где a₀,а₁,…а_n-функции переменной х или константы, причём a₀,а₁,…а_n и f(x) считаются непрерывными.

Если a₀=1(если то на него можно разделить) уравнение примет вид:

Если уравнение неоднородное.

уравнение однородное.

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n

Уравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядка n.

Для этих уравнений справедливы следующие теоремы:

Теорема 1: Если - решение , то сумма - тоже решение

Доказательство: подставим сумму в

Т.к. производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся, раскрыв скобки:

т.к. y₁ и y₂ - решение.

0=0(верно)сумма тоже решение.

теорема доказана.

Теорема 2: Если y₀-решение , то - тоже решение .

Доказательство: Подставим в уравнение

т.к. С выносится за знак производной, то

т.к решение, 0=0(верно)Сy₀-тоже решение.

теорема доказана.

Следствие из Т1 и Т2: если - решения (*) линейеая комбинация -тоже решение (*).

11. Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства

Определение: Система функций - называется линейно независимой , если линейная комбинация коэффициенты .

Определение: Систему функций - называют линейно зависимой, если и есть коэффициенты .

Возьмём систему двух линейно зависимых функций т.к или - условие линейной независимости двух функций.

Примеры:

1) линейно независимы

2) линейно зависимы

3) линейно зависимы

Определение: Дана система функций - функций переменной х.

Определитель - определитель Вронского для системы функций .

Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:

Свойства определителя Вронского:

1) Если - линейно зависимы на [a;b]на этом отрезке.

2) Если - линейно независимые, решения дифференциального уравнения при любых значениях х в области, где определены функции а₁…а_n

Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.

Если y₁ и y₂ - линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то

общее решение имеет вид:

Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.

Если даны начальные условия то и должны находится однозначно.

- начальные условия.

Составим систему для нахождения и . Для этого подставим начальные условия в общее решение.

определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х₀

т. к и линейно независимы(по 2⁰)

т. к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и находятся из системы однозначно.

12. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n

(*)

Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений

Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решения.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n, т.е (*) - линейная комбинация фундаментальной системы решений:

,

где - фундаментальная система решения.

13. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где p и g - числа(*)

Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) - обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0 - один действительный корень кратности 2.

3)D<0- два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать, что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+ p+g=0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: - ФСР (*) общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

подставим в ДУ

- решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0- 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. Уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б) - решение ДУ

верное равенство- решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод: ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у:

14. Линейные однородные ДУ порядка n с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где а_i - числа.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Слева стоит многочлен степени n, который имеет n корней с учётом их кратности и комплексности, следовательно, ФСР будет состоять из n решений:

1) Каждому простому корню характеристического уравнения , (имеющему кратность 1) ставится в соответствие

2) Каждому действительному корню кратности r ставится в соответствие r решений:

3) Каждой паре комплексно сопряжённых корней 2 фундаментальных решения:

4) Если пара комплексно сопряжённых корней имеет кратность 2 и выше, то ФСР строятся аналогично 2 случаю.

Общее решение уравнения - линейная комбинация фундаментальных решений

Основная трудность состоит в том, чтобы правильно решить характеристическое уравнение.

Пример:

15. Линейные неоднородные ДУ

Это уравнения вида:

Теорема об общем решении ДУ: Общее решение ДУ(*) имеет вид:

,

где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство: подставим в

раскроем скобки и перегруппируемся:

Если даны н.у

нужно показать, что все константы находятся однозначно

, где ФСР

Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у

получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы

- определитель Вронского системы функций .

Т.к - ФСР линейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.

Конец доказательства.

Замечание: Общее решение соответствующего однородного уравнения

- линейная комбинация ФСР - известно

Основная трудность нахождения y_ч - решения неоднородного уравнения.

16. Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Рассм. ДУ

Общее решение такого уравнения:

, где

ФСР - уже рассматривали

Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения

, если f(x) имеет специальный вид.

Рассмотрим следующие случаи:

I. , где - многочлен степени n.

а) - не корень характеристического уравнения

,

где - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.

б) - корень характеристического уравнения кратности 1

в) - корень характеристического уравнения кратности 2

II. , где M, N числа

a) не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты. Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при

находим А и В

б) корень характеристического уравнения кратности 1

Замечание: Если в правой части есть только или

в частном решении должны быть и sin и cos , т.е тригонометрия должна быть полной.

III.

Где ,-многочлены степеней m и n

a) не корень характеристического уравнения

многочлены степени к с неопределенными коэффициентами

б) корень характеристического уравнения

17. Метод вариации

Рассмотрим ДУ:

Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

, где и - произвольные const, - ФСР.

Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:

(*)

объединим и в систему

 - эта система для нахождения и имеет единственное решение, т.к определитель системы ,

для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера

, где

, где

решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.

- проинтегрируем по х

, где А и В - константы интегрирования

Таким образом общее решение неоднородного уравнения:

Пример:

18. Решение систем линейных ДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки

Рассмотрим систему ДУ

, где a,b,c,d - числа.

- искомая функция - функции переменной х

продифференцируем по переменной х первое уравнение системы:

теорема дифференциальный уравнение вронский

Дифф.(1)

Подставим из (2)

подставим из (1)

перенесем слагаемые с и налево

получим линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение получим , продифференцируем и найдём .

Пример:

1) начальные условия: .

Размещено на Allbest.ru