Гомотетия и подобие плоскости. Приложения к решению задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ФИЗИКИ

Кафедра математики и методики преподавания математики

Курсовая работа

Гомотетия и подобие плоскости. Приложения к решению задач

Выполнила: Кормановская И.С.

Вологда 2014

Содержание

Введение

1. Гомотетия

2. Подобие плоскости

3. Приложения к решению задач

Литература

Введение

Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в 1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований.

Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (1849-1927) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси.

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др.

Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.

1. Гомотетия

Гомотетией с центром O и коэффициентом k ? 0 называется преобразование, при котором каждой точке X ставится в соответствие точка X' так, что = k.

рис. 1

Способы задания гомотетии.

1) Центром О и коэффициентом k не равному 0.

2) Центром О и парой соответствующих точек.

3) Двумя парами соответствующих точек.

Теорема 1. При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на число k.

Доказательство.

Пусть O - центр гомотетии, а точки A и B при гомотетии с коэффициентом k переходят в точки A' и B'. Тогда = k, = k. Поэтому = - = k - k = k() = k.

Теорема 2. Гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом .

Доказательство.

По теореме 1 для любых двух точек A, B и их образов A' и B' при гомотетии верно, что = k. Из этого равенства следует, что A'B' = AB, а это означает, что гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом .

Теорема 3. Подобие с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

Доказательство.

Пусть F' получена из фигуры F подобием с коэффициентом k (см. рисунок 2).

рис. 2

Гомотетией с коэффициентом k (и любым центром) переведем фигуру F в фигуру F₁. Тогда любым точкам X, Y фигуры F ставят в соответствие такие точки X₁, Y₁, что X₁Y₁ = kXY. Но и для точек X', Y' фигуры F' соответствующих точкам X, Y, также X'Y' = kXY. Поэтому X'Y' = X₁Y₁ Это равенство верно для любых точек X₁, Y₁ фигуры F₁. Следовательно, фигуры F₁ и F₁ можно некоторым движением перевести в фигуру F'.

Теорема 4. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Доказательство.

Пусть гомотетия переводит концы отрезка AB в точки A', B'. (см. рисунок 3).

рис.3

Точка X принадлежит AB тогда и только тогда, когда = л, где 0 ? л ? 1. При этом, если л возрастает от 0 до 1, то X пробегает отрезок AB от A к B.

По свойству гомотетии = k и = k. Из этих равенств = , = . Подставляя эти значения в равенство = л, получим = л , откуда = л . А это равенство означает, что когда число л возрастает от 0 до1, точка X' пробегает отрезок A'B'.

Теорема 5. Гомотетия сохраняет величину угла.

Доказательство.

Пусть A, B, C - заданные точки, а A', B', C' - их образы при гомотетии f с коэффициентом k. Пусть = , = , = , = . Тогда = ? и = ?. (см. рис. 4).

рис. 4

По основному свойству гомотетии = k, = k. Отсюда получаем, что = , = . Кроме того, • = = . Тогда = = = Из равенства косинусов и следует равенство углов. Теорема доказана.

Теорема 6. Гомотетия треугольник переводит в треугольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Доказательство.

Пусть дан треугольник ABC, и гомотетия переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда ДABC переходит в Д A'B'C' так как отрезок AB переходит в отрезок A'B', AC - в A'C', BC - в B'C'. Из теоремы 1 следует, что = k, = k, = k. Отсюда = , = , = , и окончательно = = . Равенство углов треугольника вытекает из теоремы 5. Теорема доказана.

Свойства подобия следуют из свойств гомотетии на основании теоремы 3:

· Подобие отрезок переводит в отрезок, прямую - в прямую, луч - в луч;

· Подобие сохраняет величину угла;

· Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Теорема 7. Композиция подобий с коэффициентами k?, k? есть подобие с коэффициентами k?· k?.

Доказательство.

Пусть фигура P подобием f с коэффициентом k₁ переводится в фигуру P₁, а затем фигура P₁ подобием g с коэффициентом k₂ переводится в фигуру P₁ (рис. 5).

рис. 5

Пусть точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₁, Y₁ фигуры P₁. Тогда X₁Y₁ = kXY. Пусть далее точкам X₁, Y₁ фигуры P₁ соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂. Тогда X₂Y₂=k₂X₁Y₁. Тем самым точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂, и из приведенных равенств следует, что X₂Y₂ = k₁k₂XY. В силу произвольности точек X и Y фигуры P это означает, что преобразование g _ f - подобие с коэффициентом k₁k₂.

2. Подобие плоскости

Определим сначала преобразование плоскости гомотетию с центром в точке O и коэффициентом гомотетии k ? 0, как аффинное преобразование, заданное парой систем координат R = (O, i, j) и Rґ = (O, ki, kj). Первая система координат - правая и декартова, вторая - ”почти декартова.” Начало координат O является неподвижной точкой гомотетии.

Обозначим базисные векторы второй системы координат через

e₁ = ki и e₂ = kj,

запишем формулы, задающие гомотетию в системе координат R:

xґ = kx.

yґ = ky.

Отсюда следует, что для соответствующих по гомотетии точек Mґ(xґ, yґ), M(x, y), заданных в системе координат R, выполняется соотношение

OMґ = kOM. (1)

Это равенство часто принимают за определение гомотетии.

Так как гомотетия есть аффинное преобразование, то она обладает всеми свойствами аффинного преобразования. Укажем характерное свойство гомотетии. Из равенства (1) следует, что для любых точек M, N и их образов Mґ, Nґ при гомотетии, MґNґ = OMґ ? ONґ = kOM ? kON = kMN. Отсюда следует основное свойство гомотетии. Длины соответствующих при гомотетии отрезков связаны соотношением:

MґNґ= |k|MN. (2)

Подобие плоскости - это аффинное преобразование плоскости, заданное системами координат R = (O,i, j) и Rґ = (Oґ,kiґ,kjґ), где число k ? 0. Модуль |k| - называется коэффициентом подобия. Здесь система координат R - правая декартова, базис {iґ, jґ} - декартов.

Гомотетия - частный случай подобия.

Пусть f - подобие заданное парой систем координат R = (O,i, j) и Rґ = (Oґ,kiґ,kjґ).

Обозначим через g - движение, заданное парой декартовых систем координат R = (O,i, j) и R? = (Oґ, iґ, jґ), а через h - гомотетию, заданную парой систем координат

R₁ = (Oґ, i, jґ) и Rґ = (Oґ,kiґ,kjґ). Тогда

f = h ? g.

Таким образом, любое подобие есть композиция движения и гомотетии. Отсюда, следует, что для подобия справедливо равенство (2), что и является основным свойством подобия. Ясно, что подобие обладает всеми свойствами аффинного преобразования. Из основного свойства подобия следует, что подобие переводит треугольник в подобный ему треугольник, угол в равный ему угол, в частности, перпендикулярные прямые преобразует в перпендикулярные прямые и так далее.

Аналитическое задание подобия. Пусть f подобие с коэффициентом k, заданное парой систем координат R = (O, i, j) и Rґ = (Oґ, kiґ, kjґ). Обозначим через: e? = kiґи e₂ = kjґ.

Если б = <(i, iґ), то можно записать, что

iґ= cosбi+ sinбj,

jґ= ?еsinбi+еcosбj,

где е = +1, если базис {iґ, jґ} - правый и е = ?1 в противном случае.

Отсюда получаем:

e₂ = k(cosбi+ sinбj);

e? = k(?еsinбi+еcosбj).

Теперь можно записать аналитическое задание подобия в системе координат R:

xґ = k(xcosб?еy sinб) +x?,

yґ = k(xsinб +еy cosб) +y?.

Здесь Oґ(x?, y?) в системе координат R.

Лемма. Отображение f плоскости на себя, заданное в декартовой системе координат R = (O, i, j) формулами вида:

xґ = c₁₁x+c₁₂y +x₀,

yґ = c₂₁x+c₂₂y +y₀,

есть подобие с коэффициентом |k| ? 0, если

cІ?? +cІ?? = kІ, cІ?? +сІ?? = kІ, c??c?? +c??с?? = 2.

3. Приложения к решению задач

Задача 1.

Дан произвольный треугольник ABC, A₁, B₁, C₁ - середины его сторон BC, CA и AB соответственно. Доказать, что аффинное преобразование, при котором точки A, B, C переходят соответственно в точки A₁, B₁, и C₁, является гомотетией с коэффициентом k = - . Найти центр гомотетии.

Рис. 6

Решение.

AA₁, BB₁, CC₁ - медианы, O - центр ABC. Известно, что AO = 2AO1. Значит существует гомотетия, с центром в точке O и, k = -, OA1 = -OA.

Задача 2.

В плоскости четырехугольника дана точка М. Доказать, что точки, симметричные с точкой M относительно середин сторон четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Решение.

Рассмотрим гомотетию f с центром в точке М и R = 2, f(M?) = Mґ? (т. к. MMґ? = 2MM?), f(M?) = Mґ, т. е. f(M1M2M3M4) = Mґ?Mґ?Mґ?Mґ? , но M1M2M3M4 - параллелограмм в силу свойства средней линии треугольника => Mґ?Mґ?Mґ?Mґ? - параллелограмм.

Рис. 7

Задача 3.

Выяснить, какие из преобразований являются: 1) движениями, 2) подобиями, если они заданы в прямоугольной декартовой системе координат следующими соотношениями:

а)xґ = 2x, yґ=2y;

б)xґ= , yґ= - 15;

в) xґ=8x - y + 1, yґ=x + 8y;

г)xґ=x, yґ= - y.

гомотетия геометрия математический плоскость

Решение.

а) f₁: составим матрицу преобразования - аффинное преобразование. A=, д= = 4 > 0, ?1 , т. е. это не движение. Сравнивая с аналитическим выражением гомотетии, убедимся, что это гомотетия с коэффициентом k = 2 . Пусть A(x₁, y₁) A'(x'₁, y'₁), B(x₁, y₁) B'(x'₁, y'₁). = = == = 2AB

б) f₂: составим матрицу A = , д = = = 1 > 0, т. е. данное преобразование не меняет ориентацию плоскости и возможно является движением. Проверим ортогональность матрицы A.

1) + = 1(выполняется);

2) (-)І + (выполняется);

3) + * = 1 (выполняется).

Т.е. A - ортонормированная и ее определитель равен единице, значит f? - движение первого рода. Определим какое именно. Это может быть: 1) параллельный перенос, инвариантных точек нет. 2) поворот, одна инвариантная точка. 3) тождественное преобразование, бесконечное множество инвариантных точек.

умножим первое уравнение на и сложим со вторым, получим 10x + 65 = 0, откуда получим, что x = -6,5. Второе уравнение системы умножим на и сложим с первым уравнением, получим 10y + 155 = 0, откуда получим, что y = -15,5. Итак получили инвариантную точку O(-6,5; -15,5) - центр поворота.

в) f₃: составим матрицу A = , д= = 65 > 0 ? 1, т. е. это не движение. Пусть A(x₁, y₁) A'(x'₁, y'₁), B(x₁, y₁) B'(x'₁, y'₁). = == = = 8AB, убедились, что это гомотетия с коэффициентом k = 8.

Рассмотренная в данной работе тема является одним из основных разделов геометрии. На основе теории преобразований решается большой круг геометрических задач и доказывается много теорем. Преобразования получили широкое применение во многих видах деятельности. Эта теория используется при проектировании зданий и сооружений, деталей машин, во многих прикладных науках, например, в картографии. В третьем веке до нашей эры Евклид в своих знаменитых «Началах» посвятил шестую книгу изучению подобных фигур. В 1826 году математик Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, в которой также существуют преобразования. В 1872 году математик Ф. Клейн сформулировал новую теорию об общих принципах геометрии. Ее смысл состоит в том, что каждую геометрию следует называть геометрией данной группы преобразований. На сегодняшний день эта тема получила своё развитие в крупном разделе современной математики - топологии.

Литература

1. Болтянский В.Г., Волович М.Б. Геометрия: 6-8 кл. - М.: Просвещение, 1979. - 272с.

2. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы. - М.: Наука, 1981. - 400с.

3. Прохоров Ю.В. Большой энциклопедический словарь (математика). - М.: Большая Российская Энциклопедия, 1998. - 850с.

Размещено на Allbest.ru