Алгоритм определения локальных характеристик кривых поверхностей
Графический метод определения локальных характеристик кривых поверхностей сложной геометрической формы, заданных двумя своими изображениями на проекционном чертеже. Определение главных радиусов кривизны поверхности при помощи трех нормальных сечений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2017 |
| Размер файла | 164,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Алгоритм определения локальных характеристик кривых поверхностей
Т.В. Гончарова
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация
В статье рассматривается графический метод определения локальных характеристик кривых поверхностей сложной геометрической формы, заданных двумя своими изображениями на проекционном чертеже. Обосновывается постановка технической задачи по определению главных радиусов кривизны поверхности при помощи трех нормальных сечений. Описанный метод может быть использован при конструировании различных изделий во многих областях техники, строительства и архитектуры.
Ключевые слова: кривизна поверхности, линейчатые поверхности, радиус кривизны, сечение поверхности, радиус-вектор.
Рассмотрим определение локальных характеристик кривых поверхностей графическим методом. Характеристиками являются средняя кривизна поверхности и гауссова кривизна [1-3], для вычисления их находятся главные радиусы кривизны R1 и R2. Если они известны, определяется не только характер и кривизна поверхности в данной ее точке, но и радиус кривизны любого нормального сечения, проходящего через эту точку и наклоненного к одному из главных под некоторым углом.
Часто в технике и строительстве задаются кривые поверхности (крыло самолета и др.) с неизвестными аналитическими формулами (главные радиусы кривизны не определяются). Чаще всего изображение поверхности определяется рядом принадлежащих ей кривых линий, образующих каркас из плоских сечений [4, 5]. На чертеже поверхности можно всегда построить три линии, проходящие через некую точку и принадлежащие этой поверхности. Положим, поверхность в пределах такой точки состоит из точек одного типа. Поэтому не исключается, что они принадлежат границе, разделяющей области эллиптических и гиперболических точек поверхности.
Поставлена задача определения главных радиусов кривизны поверхности по двум проекциям трех инцидентных ей кривых линий, пересекающихся в точке. Положим, кривые - нормальные сечения поверхности. Тогда радиус кривизны ( каждого сечения выражается через главные радиусы кривизны формулы Эйлера (1), где ? - угол наклона плоскости нормального сечения к плоскости одного из главных [6 - 9].
(1)
Положим, что и , подставим в формулу Эйлера, и после преобразований получим формулу (2) , где b2 = a2 - c2.
(2)
кривой поверхность сечение радиус
Так как b2 = ap и с = a?, то формула принимает следующий вид (3).
. (3)
Радиус кривизны нормального сечения, наклоненного плоскостью к плоскости одного из главных под углом ?, равен по длине фокальному радиусу-вектору конического сечения, наклонному к полярной оси его под углом 2?.
Предполагается, что если точка поверхности - эллиптическая (знаки R1 и R2 - одинаковые), то коническое сечение - эллипс (рис.1) с большой осью АВ = 2а = R1 + R2 и межфокусным расстоянием F1F2 = 2c = R1 - R2.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1. Эллиптическая точка
Если же точка - гиперболическая (знаки R1 и R2 - разные), то сечение представляет собой гиперболу с длиной действительной оси АВ = 2а = R1 - R2 и межфокусным расстоянием F1F2 = 2c = R1 + R2 (рис. 2). Радиусы-векторы, проведенные из F к разным ветвям гиперболы, соответствуют радиусам кривизны, имеющим противоположные знаки [1, 3, 6].
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2. Гиперболическая точка
Если исследуется параболическая точка, то коническое сечение представляет собой параболу, с полупараметром , а расстоянием от фокуса до несобственной вершины FB = = R2 (рис. 3).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 3. Параболическая точка
Примем для удобства отсчета углов ?, что полярная ось (х) конического сечения направлена от фокуса F (полюса) вправо (рис. 1-3). Затем, определяя кривизну в точке поверхности при помощи трех нормальных сечений, имеем, следующие данные: радиусы кривизны (?1, ?2, ?3) сечений и два угла между плоскостями первого, второго сечений (?) и первого, третьего (?).
Необходимо определить после нахождения этих величин, является ли исследуемая точка эллиптической, гиперболической или параболической.
Установим признаки типа точки поверхности. У эллиптической точки радиусы кривизны ?1, ?2, ?3 однозначны, можно построить окружность (F1), касающуюся трех окружностей О1, О2, О3 внутренним образом, описанную вокруг них. У гиперболической точки есть два различных случая: 1. Один из радиусов кривизны имеет знак, отличный от знаков двух дуг. 2. Радиусы ?1, ?2, ?3 однозначны, провести окружность (F1), касающуюся окружностей О1, О2, О3 внутренним образом, описанную вокруг них нельзя. У параболической точки характерна общая касательная к окружностям О1, О2, О3 - прямая.
Определив тип точки поверхности, строится соответствующее коническое сечение по заданному его фокусу (F) и трем радиусам-векторам ?1, ?2, ?3 [9, 10]. Вычерчивать сечение полностью нецелесообразно, т.к. для определения R1, R2 достаточно найти только его основные параметры 2а и 2с.
Приведенный в данной работе способ может быть использован в различных областях техники, строительства и архитектуры. Особый интерес представляют использование способа для определения кривизны сложных пространственных поверхностей, т.к. в этом случае значительно упрощаются графические построения и обеспечивается высокая точность результатов.
Литература
1. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. Москва, 1974. 176 с.
2. Фиников С. П. Теория поверхностей. Л.: Наука, 1934. 205 с.
3. Четвертухин Н.Ф. Методы геометрических построений Москва, 1952 147 с.
4. Замятин А.В. Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей // Инженерный вестник Дона, 2010, №3.
5. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. М. - Л.: Гостехиздат, 1949. 511 с.
6. Билимович А.Д. О гауссовой кривизне, Киев, 1904. 220 с.
7. Летников А.В. О кривизне поверхности в данной точке. Москва 1868 140 с.
8. Forsyth A. Lectures on the differential geometry of surfaces, Camdridge, 1920. 564 р.
9. Cesaro E. Vorlesungen uber naturliche Geometrie, Leipzig, 1901. 351 р.
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.
реферат [5,4 M], добавлен 10.01.2009Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 06.06.2011Общие сведения о пересечении кривых поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей с параллельными осями. Применение способа концентрических сфер. Последовательность нахождения горизонтальных проекций заданных точек.
методичка [2,0 M], добавлен 18.02.2015Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 18.05.2013Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Способы формообразования и отображения поверхностей. Закон образования поверхности. Основные свойства, вытекающие из закона образования поверхности вращения. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Образование каркаса циклических поверхностей.
реферат [2,0 M], добавлен 19.05.2014Виды точек регулярной поверхности. Удельная кривизна выпуклой поверхности. Сфера как единственная овальная поверхность постоянной средней кривизны. Основные понятия и свойства седловых поверхностей. Неограниченность седловых трубок и проблема Плато.
лабораторная работа [1,6 M], добавлен 29.10.2014Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Основные свойства векторов. Теории кривых и поверхностей. Натуральная параметризация. Формулы Сере-Френе и Эйлера. Уравнение соприкасающейся окружности. Теорема Менье. Индикатриса Дюпена. Индексные обозначения в дифференциальной геометрии поверхностей.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 01.02.2014Определение понятия элементарной, простой и общей поверхности. Аналитическое задание и специальные параметризации поверхности. Первая квадратичная форма поверхности, расчет кривых и угла между ними. Конформное отображение, изометрические площади.
курсовая работа [407,0 K], добавлен 15.12.2011Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Характеристика спиралей – плоских кривых линий. Кардиоида как плоская линия, описываемая фиксированной точкой окружности. Описание циклоида и астроида. Синусоидальная спираль как семейство кривых.
контрольная работа [268,4 K], добавлен 17.11.2010Система кривых Пирсона. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
дипломная работа [230,5 K], добавлен 13.03.2003Понятие и классификация кривых Безье, их разновидности и методика, основные этапы построения. Порядок и условия применения данных кривых в компьютерной графике. Преобразование квадратичных кривых в кубические. Финитные функции. В-сплайны Шёнберга.
реферат [456,6 K], добавлен 14.01.2011Рассмотрение фрактальной размерности как одной из характеристик инженерной поверхности. Описание природных фракталов. Измерение длины негладкой (изломанной) линии. Подобие и скейлинг, самоподобие и самоаффинность. Соотношение "периметр-площадь".
контрольная работа [1,9 M], добавлен 23.12.2015История возникновения и понятия дифференциальной геометрии, в которой плоские и пространственные кривые и поверхности изучаются с помощью дифференциального исчисления и методами математического анализа. Применение темы "Теория поверхностей " в школе.
реферат [608,8 K], добавлен 23.04.2015Знакомство с примерами возникновения свободных колебаний. Поиск геометрической интерпретации главных координат. Анализ основных формул для нахождения нормальных координат. Поиск коэффициентов распределения, колебание координат на собственной частоте.
курсовая работа [366,2 K], добавлен 11.07.2012Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011
