8

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ростовский государственный университет путей сообщения

Моделирование 3-ткани на поверхностях

Ю.М. Бельченко, Н.М. Шумун

Аннотация: Предложен способ задания поверхности определенной дискретным каркасом при помощи плоской 3-ткани. Задано однопараметрическое не параметризованное семейство кривых, т.е. дискретный каркас линий. Возможны два случая задания линий дискретного каркаса поверхности: точечными рядами или уравнениями.

Ключевые слова: Дискретный, каркас, поверхность, плоская, 3-ткань, сплайн, уравнения, 3-ткани, поверхности.

Известно, что поверхность не может быть задана однозначно дискретным каркасом.

Здесь предлагается способ задания поверхности определенной дискретным каркасом при помощи плоской 3-ткани.

Положим, что каркас упорядочен, т.е.:

во-первых, линии каркаса являются плоскими;

во-вторых, проекции линий каркаса на плоскость XOY представляют собой пучок прямых с собственным или несобственным центром; в этом случае, между элементами пучка устанавливается линейная зависимость.

Пусть в пространстве задано однопараметрическое не параметризованное семейство кривых, т.е. дискретный каркас линий. Проекции линий каркаса на плоскости XOY изобразятся семейством параллельных прямых с уравнением - . Тогда уравнение дискретного каркаса поверхности можно записать в следующем виде:

, , (1)

где

Если использовать элементарное преобразование вращения так, чтобы прямые семейства стали параллельными оси OY, то уравнение (1) можно упростить:

,. (2)

Возможны два случая задания линий дискретного каркаса поверхности: точечными рядами или уравнениями. Во втором случае уравнение каркаса поверхности соответствует уравнению (2). В первом случае точечные ряды можно задать любыми интерполяционными полиномами, в частности, параметрическими В-сплайнами, уравнения которых записывается следующим образом:

. (3)

Сплайн, записанный в виде (3), непрерывен в узлах сетки, которой являются проекции точек каркаса на плоскость XOY. Коэффициенты C_i и D_i определим так, чтобы были непрерывными его первая и вторая производные.

, (4)

,

Обозначая , , получаем уравнения

, .

Из уравнений вычисляем

,

. (5)

Формулы (5) являются следствием непрерывности . Далее, дифференцируя (4), получаем:

(6)

Отсюда следует

,

,

и условие непрерывности в точке имеет вид

.

Подставляя сюда и из (5), получаем

(7)

,

где , ,

,

.

Для сокращения записи будем обозначать левую и правую части (7) соответственно через и .

Для задания 3-ткани на дискретной поверхности введем на плоскости XOY еще два семейства параллельных прямых - одно семейство прямых параллельных OX с уравнением , а второе семейство диагональных прямых с уравнением . Третье семейство будет диагональным (рис.1).

Рис.1. - 3-ткань на плоскости XOY

Семейства 1 и 2 являются проекциями плоскостей, которые пересекают линии каркаса в точках , , . Эти множества точек позволяют провести интерполяцию рядов в ортогональном и диагональном направлениях.

Тогда уравнения каркаса линий в ортогональном направлении (вдоль семейства 1 на рис.1.) будут иметь следующий вид (см. уравнения 3 - 6)

, , , , (8)

а уравнения каркаса линий в диагональном направлении (вдоль семейства на рис.2) запишем в виде

, , , , . (9)

Таким образом, уравнения 3-ткани поверхности (рис.2), опустив уравнения первых и вторых производных, можно записать так

, ; , ; , (10) или

, ; , ; , . (11), где .

Рис.2. - Нахождение точки М по ее проекции М₁

Следовательно, не имея уравнения поверхности, мы можем определить любую точку М лежащую на поверхности по ее проекции М₁. При этом существует возможность управлять формой диагональной сплайн-кривой.

Другим вариантом дискретного каркаса является радиальное расположение его линий. При этом пучки прямых на плоскости XOY, определяющих проекции "несущих" плоскостей линий каркаса, можно расположить в вершинах треугольника или на окружности через 120⁰. Уравнения пучков запишутся в виде

, , (12)

где .

Остальные уравнения 3-ткани поверхности для определения точек М… по их проекциям М₁. аналогичны рассмотренным выше.

дискретный каркас поверхность ткань

Литература

1. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Конструирование плоскостей на базе плоской шестиугольной 3-ткани // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 (часть 2). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2p2y2015/2884/.

2. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Моделирование 3-ткани для минимальных поверхностей // Инженерный вестник Дона, 2015, №4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2015/3371/.

3. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499.

4. Рачковская Г.С. Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения // Инженерный вестник Дона, 2016, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2016/3635/.

5. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов // Инженерный вестник Дона, 2016, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2016/3634/.

6. Толстихина Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размермерностей: автореф. дис. д-р физ. - мат. наук: 01.01.04. - Казань, 2007. - 29 с.

7. Гольдберг В.В. О существовании паратактических три-тканей // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - №4 (551). - С.22-27.

8. Пиджакова Л.М. Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения: автореф. дис. канд. физ. - мат. наук: 01.01.04. - Тверь, 2009. - 20 с.

9. Шестакова М.А. Шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны: автореф. дис. канд. физ. - мат. наук наук: 01.01.04. - Тверь, 2003. - 116 с.

10. Жан Гастон Дарбу Лекции по общей теории поверхностей и геометрические приложения анализа бесконечно малых. В 4 томах. Том 1. Общие понятия. Криволинейные координаты. Минимальные поверхности. М.: Институт компьютерных исследований, 2013.620 с.

11. Rachkovskaya G. S., Harabaev Ju. N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14^th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

12. Rachkovskaya G. S., Harabaev Ju. N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15^th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.

Размещено на Allbest.ru