Программная реализация численного решения обратной задачи транспорта веществ
Проблемы математической физики прямых и обратных задач. Разработка программного комплекса, позволяющего моделировать возможные сценарии развития экосистем. Экспериментальное решение прямой и обратной задачи транспорта веществ на примере модельной задачи.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.07.2017 |
| Размер файла | 703,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Южный федеральный университет
Программная реализация численного решения обратной задачи транспорта веществ
Х.А. Кажаров, И.А. Ляпунова, А.Е. Чистяков
Таганрог
Разработан программный комплекс, позволяющий моделировать возможные сценарии развития экосистем и поставлен численный эксперимент. Численно решена прямая и обратная задачи транспорта веществ. Численные эксперименты проводились на примере модельной задачи. задача транспорт прямой обратный
Ключевые слова: обратная задача, численное решение, концентрация веществ, распределение, водная среда, загрязнение.
К настоящему моменту предложен ряд подходов для решения проблем математической физики для прямых и обратных задач, в том числе и описываемых уравнением диффузии-конвекции [1-4]. На основе данных подходов для постановки прямой задачи, изучаемый физический процесс описывается дифференциальным уравнениям в частных производных с заданными начальными и краевыми условиями, а поставленную задачу решают на основе различных численных методов.
Исходными уравнениями модели являются [5-7]:
- задача транспорта веществ может быть представлена уравнением диффузии-конвекции:
(1)
с граничными условиями:
, (2)
здесь u,v - составляющие вектора скорости, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников, м - коэффициент диффузионного (турбулентного) обмена;
- некорректная эволюционная задача с обратным временем, получаемая из соответствующей прямой задачи заменой временной переменной на ее обратную величину (т.е. выполняется переход к обратному времени):
, (3)
где - компоненты вектора скорости, м - горизонтальная составляющая коэффициента турбулентного обмена.
Применение попеременно-треугольных методов, в частности, адаптивного модифицированного попеременно-треугольного метода вариационного типа наиболее эффективно для численного исследования [8].
Основной алгоритм программы состоит из трех частей:
1) инициализация (init)
2) транспорт веществ (direct)
3) обратный транспорт веществ (inverse).
На всех этапах генерируются массивы для отображения рисунков, которые сохраняются в соответствующих каталогах.
Характеристики вычислительных ресурсов: AMD Athlon(tm) Neo Processor, MV-40, 1.60 ГГц, 1.87 Гб ОЗУ.
Время работы программы не превышает 7 минут при ht=0.001.
Шаг выполнения тестов 1 - 4 составляет ht=0.01.
Шаг выполнения тестов 5 - 10 составляет ht=0.001.
Расчетная область представляет собой квадрат 100х100.
Для шага ht=0.01 начальное распределение; распределение концентрации загрязняющих веществ через заданный интервал (t=200), а также восстановленное распределение (решение обратной задачи), когда источник движения водной среды расположен на краю расчетной области, приводится на рисунке 1.
Рисунок 1 Начальное распределение, перемещение и восстановленное распределение веществ
Рисунок 2 Движение и восстановленное состояние среды и загрязняющего вещества на области с препятствиями
Значение концентрации загрязняющих веществ для прямой и обратной задач составляет 10%. На рисунке 2 стрелками показано движение водной среды и участка загрязнения на области с препятствиями.
Как видно по рисункам 1 - 2, при небольшом перемещении загрязняющих веществ, вне зависимости от расположения в заданной области источника, стока и препятствий, решение обратной задачи транспорта веществ довольно точно восстанавливает начальное расположение участка загрязнения.
Выводы
Результаты расчетов обратной некорректной задачи транспорта вещества демонстрируют, что исходное поле концентрации восстанавливается лишь частично. Следует заметить, что разработанная математическая модель позволяет, с определенной степенью точности, получать решения на основе которых можно восстановить сценарий распространения загрязняющих веществ.
На основе решения обратной задачи транспорта веществ можно сделать вывод, что происходит локализация области, где с определенной вероятностью, изначально была утечка загрязняющих веществ в целях локализации вредоносных выбросов. Также отметим, что точность восстановления исходной области, где расположены загрязняющие вещества как правило, зависит от расчетного временного интервала и структуры течения, а также значения регуляризирующего параметра [9-10].
Работа выполнена при частичной поддержке задания №2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.
Литература
1. Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Моделирование транспорта наносов по данным экспериментальных исследований в Азовском море// Известия ЮФУ. Технические науки. 2012. №2 (127). С. 112-118.
2. Сухинов А.И., Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов// Известия ЮФУ. Технические науки. 2012. №6 (131). С 57-62.
3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов // Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 12. С. 65-82.
4. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Выч. мет. и программирование, 2014, Т 15, №4, 610-620.
5. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно- треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Математическое моделирование. 2012. Т.24, №1, С. 3-20.
6. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды// Инженерный вестник Дона. 2012, Т.20, №2, С. 335-339.
7. Дегтярева Е.Е., Проценко Е.А., Чистяков А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях// Инженерный вестник Дона. 2012. Т. 23. № 4-2 (23), С. 30.
8. Кажаров Х.А., Ляпунова И.А. Анализ эффективности параллельного алгоритма для одной модели таксиса// Nova Info.Ru. 2015. Т. 1. № 34, С. 1-4.
9. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах// Выч. мет. и программирование. 2015. Т 16. №3. С. 328-338.
10. Лапин Д.В., Чистяков А.Е., Сухинов А.А. Численное решение прямых и обратных задач диффузии-конвекции на многопроцессорных системах для прогноза и ретроспективного анализа водных экосистем// Известия ЮФУ. Технические науки. 2014. № 12 (161), С. 230-242.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015Применение метода дискретной регуляризации Тихонова А.Н. для нахождения решения обратной задачи для однородного бигармонического уравнения в круге. Сведение дифференциальной задачи к интегральному уравнению; корректно и некорректно поставленные задачи.
курсовая работа [280,2 K], добавлен 20.10.2011Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013Теория задач на отыскание наибольших и наименьших величин. Достаточные условия экстремума. Решение гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств. Конечномерная теорема об обратной функции. Доказательство теоремы Вейштрасса.
курсовая работа [148,9 K], добавлен 19.06.2012О происхождении задачи удвоения куба (одной из пяти знаменитых задач древности). Первая известная попытка решения задачи, решение Архита Тарентского. Решение задачи в Древней Греции после Архита. Решения с помощью конических сечений Менехма и Эратосфена.
реферат [630,3 K], добавлен 13.04.2014Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. Доказательство существования решения задачи Коши. Постановка задачи численного расчёта. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. Программа и её описание.
дипломная работа [5,7 M], добавлен 25.05.2014Решение систем уравнений по правилу Крамера, матричным способом, с использованием метода Гаусса. Графическое решение задачи линейного программирования. Составление математической модели закрытой транспортной задачи, решение задачи средствами Excel.
контрольная работа [551,9 K], добавлен 27.08.2009Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013Применение математических и вычислительных методов в планировании перевозок. Понятие и виды транспортных задач, способы их решения. Особенности постановки задачи по критерию времени. Решение транспортной задачи в Excel, настройка параметров решателя.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 12.01.2011Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.
лабораторная работа [4,9 M], добавлен 06.12.2011Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.
лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014Методы решения задачи коммивояжера. Математическая модель задачи коммивояжера. Алгоритм Литтла для нахождения минимального гамильтонова контура для графа с n вершинами. Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Крускала и "деревянного" алгоритма.
курсовая работа [118,7 K], добавлен 30.04.2011Гиперкомплексные числа: общее понятие и основные свойства. Нахождение корней трансцендентного уравнения в комплексных числах на примере уравнения классической задачи теории флаттера в математическом виде. Программная реализация решения в среде Maple.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 28.06.2013
