Элементы теории ошибок измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Элементы теории ошибок измерений

Общие сведения об измерениях

Численное значение любой физической величины получается в результате ее измерения. Под измерением следует понимать определение численного значения физической величины с помощью специальных технических средств, или это есть процесс сравнения какой-либо величины с другой ей однородной величиной, принятой за единицу.

В процессе измерения участвуют следующие элементы: объект измерения, наблюдатель, инструмент, внешняя cреда. Все это образует условия измерения, которые и являются источниками возникновения ошибок.

Любое измерение, как бы оно тщательно не выполнялось, сопровождается ошибкой, численно равной разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Это значение можно назвать истинной ошибкой измерения

, (3.1)

гдe xi - результаты измерения;

X - истинное значение измеряемой величины.

Значения большинства величин получают как в результате непосредственных измерений, так и с помощью вычислений, т.е. прямым и косвенным способами.

Объектами измерений могут быть как однородные, так и неоднородные величины. Например, в триангуляции измеряются однородные величины (углы), а в полигонометрии - неоднородные (углы и длины линий). Вместе с тем основные определяемые величины - координаты пунктов - в том и другом случае являются однородными.

Различают необходимые и избыточные измеренные величины. Необходимыми являются измеренные величины, достаточные для однозначного определения значений искомых величин. Измерения, выполненные сверх необходимых, будут избыточными. Они играют в теории ошибок важную роль, так как позволяют:

контролировать качество выполненных работ, выявляя результаты с грубыми ошибками;

оценить точность выполненных измерений;

определять наиболее надежные значения измеряемых величин.

По отношению к точности результаты измерений можно подразделить на равноточные и неравноточные. Равноточными являются такие измерения, которые выполняются

а) одним и тем же инструментом или разными инструментами, но с одинаковой точностью;

б) одними и теми же методами или способами;

в) в одних и тех же условиях.

Если какое-либо из перечисленных пунктов не соблюдается, то измерения относятся к неравноточным.

Классификация ошибок измерений

Причинами возникновения ошибок в результате измерений являются:

1) изменение величины или состояния объекта в процессе измерения;

2) личные ошибки наблюдателя;

3) инструментальные ошибки измерений;

4) влияние внешней cреды.

Возникшие при этом ошибки можно подразделить на три вида: грубые, систематические и случайные.

К грубым ошибкам относятся промахи, просчеты при измерениях, а также ошибки, превосходящие допустимые значения. Грубые ошибки выявляются повторными измерениями и исключаются из результатов. Следовательно, задача сводится к организации контроля наблюдений.

К систематическим ошибкам относятся составляющие общей ошибки измерений, которые постоянны или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Анализ причин возникновения систематических ошибок позволяет частично или полностью исключить их из результатов измерений. Величина систематических ошибок зависит от методики измерений.

Случайная ошибка является той частью общей ошибки, которая меняется при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные ошибки по величине чаще всего больше систематических, но из-за взаимных компенсаций их влияние на окончательный результат может быть слабее.

Свойства случайных ошибок

1. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превзойти по абсолютной величине определенного предела.

2. Малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие. измерение вычисление арифметический

3. Положительные ошибки появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные ошибки.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений, т.е.

. (3.2)

Если то в этом случае систематическое влияние полностью не исключено.

Меры точности результатов измерений

В качестве меры точности, характеризующей надежность результатов измерений, используют среднюю квадратическую m, среднюю , вероятную r и предельную пр ошибки.

Средняя квадратическая ошибка результата измерения вычисляется по формулам (3.3)

или

, (3.4)

где i - истинная ошибка измерения,

i = xi - X ;

vi - отклонение от арифметической средины,

;

n - число измерений;

X - истинное значение измеряемой величины;

среднее арифметическое из результатов измерений;

xi - результаты измерений.

При этом значение данной ошибки определяется с некоторой надежностью, значения которой вычисляется согласно формулам:

(3.5)

и, соответственно,

, (3.6)

а также вероятностно статистическими методами.

Средняя ошибка - это среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок данного ряда

= . (3.7)

При n между величинами m и существует устойчивая зависимость

= = 0,798 m . (3.8)

Вероятная - это такая ошибка, которая делит пополам ряд случайных ошибок, расположенных в порядке возрастания их абсолютных значений.

При n между величинами m и r существует устойчивая зависимость

r = 0,674 m . (3.9)

За предельную ошибку принимают утроенное значение средней квадратической ошибки, т.е.

пр = 3m . (3.10)

Определение ошибок функций измеренных величин

Средняя квадратическая ошибка функции вида

Y = F(x1, x2, …, xn) (3.11)

вычисляется по формуле

, (3.12)

где xi - результаты непосредственных измерений независимых величин;

mi - средние квадратические ошибки этих измерений.

На основании формулы (3.12) получены следующие средние квадратические ошибки:

средняя квадратическая ошибка линейной функции вида

Y = k1x1 k2x2 . . . knxn, (3.13)

где ki - постоянные коэффициенты;

xi - измеренные величины со средними квадратическими ошибками mi,

. (3.14)

При k1 = k2 = . . . = kn = 1

. (3.15)

Если принять m1 = m2 = . . . = mn = m, то

, (3.16)

т.е. средняя квадратическая ошибка суммы равноточно измеренных величин в больше ошибки одного измерения.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического из результатов равноточных измерений

. (3.17)

Средняя квадратическая ошибка функции вида

(3.18)

определится с помощью натуральных логарифмов:

. (3.19)

Применяя формулу (3.12), получим

. (3.20)

Неравноточные измерения

Вес измерения является степенью доверия к результату измерения и выражается следующими соотношениями:

, (3.21)

где С - произвольное число, постоянное для данного ряда измерений;

mi - средняя квадратическая ошибка результата измерения;

- ошибка единицы веса, которая вычисляется по формулам:

(3.22)

или принимается априорно согласно условиям измерений.

В случае неравноточных измерений арифметическая средина определяется как весовое среднее по формуле:

. (3.23)

При этом вес общей арифметической средины будет равен сумме весов результатов измерений, т.е.

Po = [ p ] . (3.24)

Средняя квадратическая ошибка этой величины вычисляется по формуле:

. (3.25)

Используя формулу вычисления обратного веса функции независимых величин

, (3.26)

можно определять веса различных значений.

Обратный вес суммы неравноточных слагаемых

. (3.27)

Вес суммы равноточно измеренных величин в n раз меньше веса одного измерения, т.е.

. (3.28)

Вес простой арифметической средины в n больше веса одного измерения

P = pn . (3.29)

Задача 1.

Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку этого угла, если ошибка единицы веса равна 15.

Решение. Из выражения (3.21) получим значение средней квадратической ошибки, т.е.

.

Подставив в равенство числовые значения, вычислим величину ошибки измеренного угла

.

Ответ: m = 5.

Задача 2.

Веса независимо измеренных углов соответственно равны 5, 3 и 2. Определить вес суммы измеренных углов.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.27), найдем вес суммы неравноточно измеренных углов

или

1.

Ответ: = 1.

Задача 3.

Сторона квадрата а = 10 м измерена с весом ра = 20. Определить вес вычисленной площади.

Решение. Площадь квадрата вычисляется по формуле

S = a2 .

Так как функциональная зависимость между определяемой величиной и измеряемым параметром известна, то для нахождения веса площади воспользуемся формулой (3.26)

.

Подстановка исходных данных приводит к следующему результату:

.

или

.

Ответ: pS = 0,05.

Задача 4.

Угол получен со средней квадратической ошибкой М 1 = 4,5. Сколько приемов нужно сделать инструментом, дающем результат одного измерения со средней квадратической ошибкой m2 =11,2, чтобы веса углов оказались одинаковыми?

Решение. Если веса Р 1 = Р 2, то и М 1 = М 2 = 4,5. Тогда, используя формулу (3.17), будем иметь

.

Ответ: n2 = 6.

Обработка результатов равноточных измерений одной величины

1. Определяют вероятнейшее из всех результатов измерений значение, т.е. арифметическое среднее:

.

2. Вычисляют отклонения от арифметической средины vi = xi -x . Для контроля подсчитывают [ v ] = 0.

3. Определяют величину [ vv ].

4. Вычисляют средние квадратические ошибки результатов измерений и полученных значений по формулам, приведенным в п. 3.5.

Обработка результатов неравноточных измерений одной величины

1. Устанавливают веса согласно выражениям:

или в зависимости от видов работ и применяемых методов измерений.

2. Вычисляют наиболее надежное значение согласно формуле:

.

3. Определяют отклонения от арифметической средины и вычисляют pivi и [ pv ]. Контролем служит равенство [ pv ] = 0.

4. Вычисляют значение ошибки единицы веса, ее надежность, а также среднюю квадратическую ошибку наиболее надежного значения

,ее надежность

,

среднюю квадратическую ошибку наиболее надежного значения определяют по формуле

.

Размещено на Allbest.ru

...