Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний університет телекомунікацій

Кафедра вищої математики

Тема лекції: Матриці та визначники

з навчальної дисципліни основи вищої математики та теорії імовірностей

напряму підготовки соціологія

освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр

Лекція розроблена

Кандидатом фізико-математичних наук, доцентом Омецінською О.Б.

Київ - 2014

План лекції:

Вступ

1. Матриці, алгебраїчні дії над ними

2. Визначники 2-го та 3-го порядку

3. Розклад визначника вищого порядку за елементами рядка (стовпця)

4. Властивості визначників

Висновок

Література

Вступ

Предметом розгляду лекції є матриці та визначники - об'єкти вивчення з Розділу вищої математики Лінійна алгебра. Основна складова частина цього Розділу - теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), які описують широке розмаїття прикладних задач технічних, економічних тощо.

1. Матриці, алгебраїчні дії над ними

Означення 1. Матриця розмірності mхn - таблиця упорядкованих чисел або інших об'єктів, розташованих в m рядках та в n стовпцях. Матриці позначають великими літерами А, В, С або в розгорненому вигляді вказують в круглих чи квадратних дужках таблицю її елементів.

Матриця називається квадратною порядку n, якщо кількість її рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює n.

Приклад 1. Нехай задані матриці

; ;

Матриця А має розмірність 3х2, матриця В розмірності 1х4 - матриця-рядок, матриця С розмірності 3х1 - матриця-стовпець, матриця D - квадратна порядку 3.

Матриця, всі елементи якої нулі, називається - нульовою або нуль-матрицею. Позначення нульової матриці - 0.

Елементи квадратної матриці, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з лівого верхнього кута до правого нижнього кута, утворюють головну діагональ матриці. Альтернативою є побічна діагональ матриці.

Квадратна матриця є діагональною, якщо всі її елементи дорівнюють 0, крім елементів головної діагоналі, з-посеред яких принаймні один елемент є відмінним від 0.

Діагональна матриця, усі елементи головної діагоналі якої дорівнюють 1, називається одиничною і позначається Е.

У загальному вигляді елементи матриці А позначають літерою із двома індексами а_ij, де перший індекс i вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, а другий індекс j - номер стовпця. Наприклад, а₂₃ - елемент матриці А, який знаходиться на перетині її другого рядка і третього стовпця.

У розгорненому вигляді матриця А розмірності mхn записується

або у компактній формі А=(а_ij), де i =1,2,… m; j=1,2,…n.

Матриці А та В називаються рівними, якщо вони мають однакову розмірність і їхні відповідні елементи рівні, тобто а_ij=в_ij для усіх i та j.

Якщо в матриці А рядки, із збереженням їхньої нумерації, записані відповідними стовпцями, то одержана матриця називається транспонованою і позначається А^Тр. Ця операція називається транспонуванням матриці А.

Наприклад,

Якщо , тоді .

Тобто, матриця А^Тр, транспонована до квадратної матриці А, є симетричним відображенням елементів матриці А відносно її головної діагоналі.

Алгебраїчні дії над матрицями

До лінійних операцій над матрицями відносяться наступні.

1) Множення матриці на число:

k•А=(k•а_ij),(1)

тобто кожний елемент матриці множиться на це число;

2) алгебраїчна сума матриць однакової розмірності:

А±В=(а_ij±в_ij),(2)

тобто відповідні елементи матриць додаються або віднімаються.

Множення матриць є нелінійною операцією. Добуток АВ матриць А та В існує лише при виконанні умов узгодженості: кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнює кількості рядків матриці В (другого множника).

Добутком АВ матриці А розмірності mхр і матриці В розмірності рхn є матриця С розмірності mхn, елементи якої с_ij дорівнюють сумі добутків елементів i-того рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В

с_ij = а_i1в_1j+ а_i2в_2j+ а_i3в_3j+…+а_inв_рj,(3)

тобто елемент с_ij отримують за схемою:

Зауваження 1. Загалом добуток матриці не має властивості комутативності, тобто АВ?ВА. В окремих випадках добуток матриць не залежить від порядку множників. Наприклад, якщо А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця порядку n, тоді АЕ=ЕА=А.

Приклад 2. Знайти добуток матриць

, .

Розмірності: 3х3 3х4

Розмірність: 3х4

Зазначимо: добуток ВА не існує - не виконується умова узгодженості.

Властивості алгебраїчних операцій над матрицями

1. А+В=В+А (комутативність суми)

2. k•(А+В)=k•А+k•В, де k - числовий множник

3. А+(В+С)=(А+В)+С (сполучний закон додавання)

4. А•(ВС)=(АВ)•С (сполучний закон множення)

5. А•(В+С)=А•В+А•С (розподільний закон)

6. А+0=А, де 0 - нульова матриця однакової розмірності із матрицею А.

7. А•Е=А, Е•А=А, де одиничні матриці Е задовольняють умові узгодженості з матрицею А і будуть різного порядку для неквадратної матриці А.

Зауваження 2. Якщо добуток матриць є нульова матриця, то необов'язковим є те, що серед матриць-співмножників є нульова матриця. Справді,

.

2. Визначники 2-го та 3-го порядку

Означення 2. Визначником n-го порядку квадратної матриці А порядку n називають величину (число, якщо елементи матриці - числа), що знаходиться з елементів матриці А за певним правилом. Визначник позначається (А) чи або det(A) (детермінант матриці А). В розгорненому вигляді визначник позначають, вказуючи між двома вертикальними відрізками таблицю усіх елементів матриці А (на відміну від позначення матриці А, таблицю елементів якої вказують в круглих чи квадратних дужках).

Правило обчислення визначника 2-го порядку

Для знаходження визначника 2-го порядку потрібно від добутку елементів головної діагоналі матриці відняти добуток елементів побічної діагоналі, тобто

(4)

Правило обчислення визначника 3-го порядку

Визначник 3-го порядку знаходиться за формулою

(5)

.

Для запам'ятовування правила обчислення визначника третього порядку застосовують таку схему (правило трикутників):

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» у формулі (5) - це добутки елементів a₁₁, a₂₂, a₃₃, розміщених на головній діагоналі визначника, та добутки елементів a₁₃, a₂₁, a₃₂ і a₁₂, a₂₃, a₃₁, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a₁₃, a₂₂, a₃₁, розміщених на побічній діагоналі визначника, та у вершинах трикутників, основи яких паралельні побічній діагоналі визначника -- a₁₁, a₂₃, a₃₂ і a₁₂, a₂₁, a₃₃.

Розклад визначника вищого порядку за елементами рядка (стовпця)

Для обчислення визначників порядку n>3, а також і порядку n=3 (додатково до зазначеного вище правила), використовують поняття алгебраїчного доповнення.

Означення 3. Мінором М_ij елемента а_ij визначника n-го порядку називається визначник (n-1)-го порядку, який одержують із визначника (А) шляхом викреслювання i-того рядка та j-того стовпця, на перетині яких знаходиться цей елемент.

Означення 4. Алгебраїчним доповненням А_ij елемента а_ij визначника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком «плюс», якщо сума індексів (i+j) парна, та зі знаком «мінус», якщо сума індексів (i+j) непарна, тобто

А_ij =(-1)^i+j•M_ij(6)

Правило обчислення визначника n-го порядку

Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення цих елементів.

У випадку використання i-того рядка це правило записується так:

_ij(7)

Формула (7) виражає розклад визначника за елементами i-того рядка.

Зауваження 3. Обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку кожен. Тому визначник доцільно розкладати за елементами а_ij того рядка (стовпця), який містить якомога більшу кількість нулів.

4. Властивості визначників

Наступні властивості визначника дозволяють здійснювати його еквівалентні перетворення, що не змінюють величини визначника, та одержувати якомога більшу кількість нулів в певному рядку (стовпці).

Допоміжні поняття

Нехай є скінченна множина деяких елементів {А₁, А₂, А₃,?А_n}. Це можуть бути многочлени n-го степеню з різними коефіцієнтами чи стовпці матриці або рядки матриці тощо.

Означення 5. Операції множення елемента на число та додавання елементів даної множини називають лінійними операціями.

Означення 6. Елемент даної множини, утворений в результаті лінійних операцій над іншими елементами цієї множини, називають лінійною комбінацією елементів.

Означення 7. Якщо є n елементів множини (серед яких немає нульового елемента) і існують такі n постійних чисел ₁, ₂, ₃,..._n, що лінійна комбінація цих елементів буде рівною нулю, тобто

₁•А₁+₂•А₂+₃•А₃+…+_n•А_n=0,(8)

то елементи А₁, А₂, А₃,…А_n називають лінійно залежними. Якщо рівність (8) має місце лише за нульових значень усіх чисел _j, то елементи А₁, А₂, А₃,…А_n - лінійно незалежні.

Наслідок лінійної залежності елементів.

Якщо елементи А₁, А₂, А₃,…А_n лінійно залежні, то принаймні один із них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Справді, якщо елементи лінійно залежні, то виконується рівність (8). Припустимо, що числовий множник ₂ при елементові А₂ в цій рівності відмінний від нуля. Розглядаючи (8) як рівняння відносно А₂, знайдемо

А₂=(-₁/₂)•А₁+(-₃/₂)•А₃+…+(-_n/₂)•А_n=0, якщо ₂?0.(9)

Властивості визначників

1. Визначник матриці при її транспонуванні не змінюється: (А)=(А^Тр).

Наслідок. Сформульовані нижче властивості визначників стосовно рядків мають місце також і стосовно стовпців.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки, то визначник змінить знак на протилежний.

3. Визначник не змінюється при винесенні за його знак спільного множника усіх елементів рядка визначника.

4. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Визначник з однаковими чи з пропорційними двома рядками дорівнює нулю.

6. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника подано у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перші доданки у першому визначнику і другі доданки у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Наслідки властивостей 6, 5.

а) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

б) Якщо деякий рядок визначника становить лінійну комбінацію інших його рядків, то визначник дорівнює нулю. Доказано, що необхідною і достатньою умовою рівності нулю визначника є лінійна залежність принаймні двох його рядків (чи стовпців).

Приклад 3. Обчислити визначник 4-го порядку

Розв'язання

Перетворимо цей визначник у такий спосіб, щоб отримати якомога більше нулів у 2-му рядку, бо там уже є один нуль і є одиниця, яка спрощує перетворення. Елементи 2-го стовпця, де є 1 в 2-му рядку, помножимо на (2) і додамо до відповідних елементів 3-го стовпця, потім елементи 2-го стовпця помножимо на 4 і додамо до відповідних елементів 4-го стовпця. В результаті одержимо

Зауваження 4. Якщо нулі утворюються в рядках, то для їх утворення використовуються елементи стовпців (і навпаки, якщо нулі утворюються в стовпці, то для їх утворення використовують елементи рядків).

Тепер визначник розкладемо за елементами 2-го рядка

Використовуючи правило обчислення визначників 3-го порядку, (5), одержимо

(А)=-3[7+130-33-(55-42+13)]=-3(179-101)=(-3)•78=-234

Означення 8. Якщо всі елементи визначника, що розташовані вище (нижче) його головної діагоналі, дорівнюють нулю, кажуть, що такий визначник має трикутний вигляд, при цьому величина визначника дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

Висновок

Розглянуто елементи матричного числення: алгебраїчні дії над матрицями та визначники - обчислення визначників 2-го та 3-го порядку. Ці поняття застосовуються зокрема в теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які описують широке розмаїття прикладних задач технічних, економічних тощо.

матриця алгебраїчний визначник

Література

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. К: Ігнатекс-Україна, 2013, 648с.

2. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. Київ. - 2005, 535 с.

Размещено на Allbest.ru