Три загадки древности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Три загадки древности

С древнейших времен остались нам три “вечные” геометрические задачи: построение квадрата, равного площади заданного круга (квадратура круга), удвоение объема куба и деление утла на три равные части (трисекция угла). Все они должны решаться с помощью циркуля и линейки без делений - таково условие. В этом требовании - вся загвоздка. Две заостренные палочки, насажанные на гвоздик, и одна полоска -- вот и весь допустимый реквизит. Много античных ученых пробовали здесь свои силы, но безуспешно.

Квадратура круга, задача построить при помощи циркуля и линейки квадрат, равновеликий по площади данному кругу. Множество попыток, сделанных для решения этой задачи, повлияли в древности на успехи элементарной геометрии, а в новейшее время закончились доказательством ее невозможности.

Квадратура круга, задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под квадратурой круга понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной квадратуре круга пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную. Попытки решения задачи о квадратуре круга, продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных квадратуре круга Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость квадратуры круга с помощью циркуля и линейки

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна x = r. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число ( ).Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число - корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Таким образом, окончательная ясность в вопросе о квадратуре круга могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и ) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греческим геометрам было известно, что квадратуру круга можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о квадратуре круга было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой - так называемые квадратрисы.

Задача трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитекруры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем было также доказано, что угол вида a =p /2n, где nI N , можно разделить на три равные части. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек.

Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем.

Трисекция угла (от лат. tri-, в сложных словах - три и sectio - разрезание, рассечение), задача о разделении угла на три равные части

Трисекция угла сыграла большую роль в развитии математических методов. Первоначально решение трисекции угла стремились найти с помощью простейших геометрических средств - циркуля и линейки (без делений, рассматриваемой как инструмент для проведения прямых линий), что удавалось, однако, лишь в отдельных случаях (например, для углов в 90° и 90°/2n, где n - натуральное число). Строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки (то есть неразрешимости в квадратичных радикалах кубического уравнения, к которому сводится Т. у.) дано лишь в 19 в. Задача о трисекции угла становится разрешимой, если для неё расширить средства построения. Так, в сочинениях Архимеда (3 в. до н. э.) трисекция угла производится с помощью так называемого приёма "вставки", осуществляемого циркулем и линейкой с делениями. Именно (рис.) решение задачи о трисекции угла ABC приводится к вставке отрезка EF = BA (для этого точки Е и F отмечаются на линейке) между

круг квадратура угол трисекция

продолжением диаметра AD и окружностью так, чтобы продолжение EF прошло через С, тогда РAEF = eq \f (1;3) РABC.

Следствия, открытые в процессе решения задачи о трисекции угла.В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц . В 16 веке французский математик Ф Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.В работе рассмотрено четыре способа построения трисектрисы угла :

1. при помощи циркуля и линейки без засечек

2. решение Гиппея при помощи квадратриссы (рис.1 и 2).

3. решение Паппа Александрийского при помощи конхоиды Никомеда

4. решение Архимеда при помощи циркуля и линейки с двумя засечками .

При изучении первого способа построения автором были самостоятельно решены следующие задачи:

1. трисекция угла в 900, 450, 22,50,... p /2n, где nI N (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2).

2. трисекция угла в 1800.

3. трисекция угла в 3600.

Рис 1 Квадратриса

Рис 2. Трисекция угла при помощи квадратрисы

Удвоение куба. Классическая задача древности о построении куба, имеющего объём вдвое больший, чем данный куб. Задачу об удвоении куба нередко называют делийской (иногда - делосской) задачей, так как, по преданию, для избавления от эпидемии на острове Делос (Эгейское море) оракул потребовал вдвое увеличить кубический жертвенник, не меняя его формы. Задача сводится к построению отрезка, численно равного , что (как доказано в 19 в.) не может быть выполнено при помощи только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если для её решения привлечь, например, конические сечения.

Литература

Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия.

Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.

Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992

Размещено на Allbest.ru