Линейные уравнения
Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения к эквивалентному, основанные на использовании четырех аксиом. Линейные однородные уравнения и их основные свойства, корни действительные и различные. Линейные уравнения высших порядков, их параметры.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 21.08.2017 |
Размер файла | 15,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
Линейные уравнения
Введение
Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x - 1)2 = (x - 1)(x - 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак ?, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.
Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.
Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений
Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.
Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
ao(x)e(n) + a1(x)y(n-1) + ...+an-l(x)y' + aa{x)y=r(x), (1)
где ai(x) (i = 0, 1, ..., п) и r(х) -- известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у -- искомая функция аргумента x; y`(n) -- ее производные по х.
Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.
Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.
Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.
Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на ao(x) и обозначим новые коэффициенты через
ai(x) = ai(х) / а0(х) (I = 1, ...n), а новую правую часть -- через f(x)= r(х) /а0(х)/
Тогда уравнение (1) запишется в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = f(x) (2)
а соответствующее ему однородное уравнение -- в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = 0 (3)
Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства
Рассмотрим уравнение
y`` + p(x)y` + q(x)y = 0 (4)
где р(х) и q(x) -- функции, непрерывные при всех допустимых значениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравнением вида (3), где п = 2, а1(х)=р(х), а2(х)=а(х). Оно имеет очевидное решение y(x)=0 (нулевое решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).
Пусть у1=у1(х), у2 = y2(x) -- два решения уравнения (4), отличные от нулевого.
Определение 2. Два решения у1 и y2 уравнения (4) называются линейно зависимыми, если существуют постоянные a1 и а2, не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом значении х справедливо соотношение
A1y2(x) + a2y2(x) = 0 (5)
Если же таких чисел a1 и а2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a1 = a2 = 0, то решения у1 и у2 называются линейно независимыми.
Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид
y `` + py` + qy = 0 (6)
где р и q -- постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y -- ekx, где k -- некоторое пока неизвестное число (действительное или мнимое). Тогда y' = kekx, у" = k2ekx. Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель ekx, отличный от нуля для всех х, получим
k2 + pk + q = 0 (7)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле
k1,2 = - p/2 ± v p2/4 - q (8)
В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.
1. Корни действительные и различные: k =/= k2. В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид
y = C1ek1x + C2ek2x
2. Корни действительные и равные: k1 = k2 = k. В этом случае одно частное решение имеет вид y1 = ekx. Если взять y2 = ekx , то решения у1 и y2 окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y2 = x ekx. Решения у1 и у2 линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид
у = ekx (С1 + C2x). (9)
3. Корни комплексные: k1 = a + ib, k2 = a - ib, где a = - p/2 - действительная, ав = vq - P2/4 - мнимая часть комплексного числа.
Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями уравнения (6) являются частные решения у1=еах sin вx и у2 = еах cos вx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид
Y = еах (C1 sin вx + C2cos вx). (10)
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко составить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить производные соответствующими степенями показателя k.
Глава 3. Линейные уравнения высших порядков
Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.
Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка вида (3):
y(n) + a1(x)y(n-1) +... + an-1(x)y` + an(x)y = 0
Частные решения у1, y2, … yn, уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотношения
A1y1 + a2y2 + … + anyn = 0
где постоянные a1, а2, ..., аn одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп -- линейно независимые частные решения уравнения (3), то его общее решение задается формулой
y = C1y1 + C2y2 + … Cnyn, (11)
где С1 С2, ..., Сn -- произвольные постоянные.
Если коэффициенты а1, а2, ..., ап уравнения (3) постоянны, то его частные решения у1, у2, ..., уп находятся с помощью характеристического уравнения
kn + a1kn-1 + … + an-1k+an = 0 (12)
При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имеющему кратность т, соответствуют т частных решений вида ekx, xm-1, ..., xm-1 ekx уравнения (3).
Заключение
Подведем итог вышесказанному.
Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.
Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.
Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение -- это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).
Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения - составляют один из множества разделов современной математической науки.
Список использованной литературы
линейный уравнение корень
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982, 1987.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.
5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. - Минск: Высшая школа, 1979.
7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1978.
8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Система линейных уравнений. Векторная алгебра, линейные операции для векторов, векторное (линейное) пространство. Случайные события и величины, плотность распределения вероятности, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
методичка [232,1 K], добавлен 18.05.2010Ф.В. Бессель как немецкий математик и астроном XIX века. Описание уравнения Бесселя, его свойства и функции, характеристика частных случаев. Ортогональность функций Бесселя и их корни. Направления применения теории данных функций к анализу скин-эффекта.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.08.2012Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 25.06.2010Понятие иррационального уравнения. Применение формул сокращённого умножения. Посторонние корни и причины их появления. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Метод замены переменной. Иррациональные уравнения, не имеющие решений.
презентация [94,6 K], добавлен 08.11.2011Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.
реферат [111,0 K], добавлен 24.08.2015Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестным параметром (подстановка, метод сложения уравнений и графический). Выявление алгоритма действий. Поиск значения параметров, при которых выражение определяет корень уравнения.
контрольная работа [526,5 K], добавлен 17.02.2014Решение кубического уравнения на основе современных методов: разложение левой части на линейные множители; с помощью формулы Кардана; специальных таблиц. Рассмотрение метода решения кубических уравнений, включая неприводимый случай формулы Кардана.
задача [276,1 K], добавлен 20.02.2011Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Условия существования и единственности задачи Коши. Понятие дифференциальных уравнений, их применение в моделях экономической динамики. Однородные линейные ДУ первого и второго порядка.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012