Линейные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Линейные уравнения

Введение

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x - 1)2 = (x - 1)(x - 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак ?, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.

Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений

Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.

Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

ao(x)e(n) + a1(x)y(n-1) + ...+an-l(x)y' + aa{x)y=r(x), (1)

где ai(x) (i = 0, 1, ..., п) и r(х) -- известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у -- искомая функция аргумента x; y`(n) -- ее производные по х.

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.

Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на ao(x) и обозначим новые коэффициенты через

ai(x) = ai(х) / а0(х) (I = 1, ...n), а новую правую часть -- через f(x)= r(х) /а0(х)/

Тогда уравнение (1) запишется в виде

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = f(x) (2)

а соответствующее ему однородное уравнение -- в виде

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = 0 (3)

Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства

Рассмотрим уравнение

y`` + p(x)y` + q(x)y = 0 (4)

где р(х) и q(x) -- функции, непрерывные при всех допустимых значениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравнением вида (3), где п = 2, а1(х)=р(х), а2(х)=а(х). Оно имеет очевидное решение y(x)=0 (нулевое решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).

Пусть у1=у1(х), у2 = y2(x) -- два решения уравнения (4), отличные от нулевого.

Определение 2. Два решения у1 и y2 уравнения (4) называются линейно зависимыми, если существуют постоянные a1 и а2, не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом значении х справедливо соотношение

A1y2(x) + a2y2(x) = 0 (5)

Если же таких чисел a1 и а2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a1 = a2 = 0, то решения у1 и у2 называются линейно независимыми.

Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид

y `` + py` + qy = 0 (6)

где р и q -- постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y -- ekx, где k -- некоторое пока неизвестное число (действительное или мнимое). Тогда y' = kekx, у" = k2ekx. Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель ekx, отличный от нуля для всех х, получим

k2 + pk + q = 0 (7)

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле

k1,2 = - p/2 ± v p2/4 - q (8)

В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.

1. Корни действительные и различные: k =/= k2. В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

y = C1ek1x + C2ek2x

2. Корни действительные и равные: k1 = k2 = k. В этом случае одно частное решение имеет вид y1 = ekx. Если взять y2 = ekx , то решения у1 и y2 окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y2 = x ekx. Решения у1 и у2 линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид

у = ekx (С1 + C2x). (9)

3. Корни комплексные: k1 = a + ib, k2 = a - ib, где a = - p/2 - действительная, ав = vq - P2/4 - мнимая часть комплексного числа.

Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями уравнения (6) являются частные решения у1=еах sin вx и у2 = еах cos вx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид

Y = еах (C1 sin вx + C2cos вx). (10)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко составить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить производные соответствующими степенями показателя k.

Глава 3. Линейные уравнения высших порядков

Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.

Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка вида (3):

y(n) + a1(x)y(n-1) +... + an-1(x)y` + an(x)y = 0

Частные решения у1, y2, … yn, уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотношения

A1y1 + a2y2 + … + anyn = 0

где постоянные a1, а2, ..., аn одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп -- линейно независимые частные решения уравнения (3), то его общее решение задается формулой

y = C1y1 + C2y2 + … Cnyn, (11)

где С1 С2, ..., Сn -- произвольные постоянные.

Если коэффициенты а1, а2, ..., ап уравнения (3) постоянны, то его частные решения у1, у2, ..., уп находятся с помощью характеристического уравнения

kn + a1kn-1 + … + an-1k+an = 0 (12)

При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имеющему кратность т, соответствуют т частных решений вида ekx, xm-1, ..., xm-1 ekx уравнения (3).

Заключение

Подведем итог вышесказанному.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение -- это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения - составляют один из множества разделов современной математической науки.

Список использованной литературы

линейный уравнение корень

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982, 1987.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. - Минск: Высшая школа, 1979.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1978.

8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981.

Размещено на Allbest.ru