Комплексные числа
Общее понятие и признаки комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Произведение двух комплексных чисел, формула его вычисления. Корни n-ой степени комплексного числа. Действительная и комплексная степень комплексного числа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.08.2017 |
| Размер файла | 36,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Комплексные числа
План
1. Понятие комплексного числа
2. Целые комплексные числа
3. Произведение двух комплексных
4. Деление комплексных чисел
5. Корни n-ой степени комплексного числа
6. Действительная степень комплексного числа
7. Комплексная степень комплексного числа.
Литература
1. Понятие комплексного числа
Комплексные числа, числа вида х + iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа - частный случай коплексных чисел (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у № 0), называют мнимыми числами; при х = 0 комплексных чисел. Называют чисто мнимым. Копмлексные числа z = х+iy и z = х-iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над комплексными числами производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i2=-1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у. Если полярные координаты этой точки обозначить через r и j:, то соответствующее копмлексное число. можно представить в виде:
r (cos j + i sin j)
(тригонометрическая, или полярная, форма комплексного числа);
называют модулем копмлексного числа х+iy, а j = arg z - аргументом его. Тригонометрическая форма копмплексного числа особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:
[r (cos j + i sin j)] n = rn (cos nj + i sin nj),
в частности
k = 0, 1, …, n-1
По своим алгебраическим свойствам совокупность комплексных чисел образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an =0; где a1,..., an -комплексных чисел, имеет (при учёте кратности) среди коплексных чисел точно n корней.
Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений, оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над комплексными числами. Это содействовало признанию коплексных чисел. Первое обоснование простейших действий с копмплексными числами встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к комплексным числам относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". В 1748 Л.Эйлер нашёл замечательную формулу eij = cosj + isinj, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер комплексных чисел выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин "Копмплексные числа" предложен К. Гауссом в 1831. Введение комплексных чисел делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе. Комплексные числа употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании комрлексных чисел, чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного.
2. Целые комплексные числа
Целые комплексные числа, гауссовы числа, числа вида а + bi, где а и b - целые числа (например, 4 - 7i). Геометрически изображаются точками комплексной плоскости, имеющими целочисленные координаты. Целые комплексные числа введены К. Гауссом в 1831 в связи с исследованиями по теории биквадратичных вычетов. Успехи, достигнутые в теории чисел (в исследованиях по теории вычетов высших степеней, теореме Ферма и т.д.) с помощью применения Целых комплексныъ чисел, способствовали выяснению роли комплексных чисел в математике. Дальнейшее развитие теории Целых комплексных чисел привело к созданию теории целых алгебраических чисел. Арифметика целыъ комплексных чисел аналогична арифметике целых чисел. Сумма, разность и произведение целого коплексного числа являются целым комплексным числом (иными словами, целые комплексные числа образуют числовое колъцо).
3. Произведение двух комплексных
Произведение двух комплексных чисел вычисляется по формуле:
e+if=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
4. Деление комплексных чисел
Процедура находит частное от деления двух комплексных чисел
Вычисления проводятся по формулам:
5. Корни n-ой степени комплексного числа
Процедура вычисляет все n корней комплексного числа z=r+iu:
Вычисления производятся по формулам
6. Действительная степень комплексного числа
Определяется соотношением.
zw=(x+iy)w=rw(cos(wa)+i sin(wa))
a - главное значение аргумента z.
Если w=1/n, то процедура вычисляет главное значение корня n -ой степени из z.
7. Комплексная степень комплексного числа
Пусть заданы комплексные числа
- главное значение аргумента числа z, n- колличество оборотов.
Тогда
Процедура производит вычисления по данной формуле.
комплексный число тригонометрический формула
Литература
Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960
Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008Геометрическое представление комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая формы. Свойства арифметических операций над комплексными числами: правила сложения (вычитания) их радиус-векторов, произведение (частное) модуля числа; формула Муавра.
презентация [147,4 K], добавлен 17.09.2013Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.
контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Число как основное понятие математики. Натуральные числа. Простые числа Мерсенна, совершенные числа. Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме. Отрицательные числа. Комплексные, векторные, матричные, трансфинитные числа.
реферат [104,5 K], добавлен 12.03.2004Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011Определение операций сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел. Определение модуля и сопряжённого числа. Деление на дуальное число. Определение делителя нуля. Запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа.
курсовая работа [507,8 K], добавлен 10.04.2011Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.
презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.
контрольная работа [444,4 K], добавлен 13.12.2012Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Анализ формул числа е с помощью рядов и пределов функции. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Применение числа e в математических задачах.
курсовая работа [352,9 K], добавлен 17.05.2021Возведение в степень комплексного числа. Бинарная алгебраическая операция. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на элементарные дроби.
контрольная работа [247,0 K], добавлен 25.03.2014Понятие сходящихся рядов с комплексными числами. Действительные и мнимые части комплексной последовательности. Сумма и разность рядов в комплексными членами. Переход при помощи Эйлера от тригонометрической формы комплексного числа к показательной.
презентация [110,0 K], добавлен 17.09.2013Нахождение производных заданной функции. Частные производные первого и второго порядка. Вычисление неопределенных интегралов. Решение задачи комбинаторики. Расчет коэффициентов прямых материальных затрат с помощью межотраслевого балансового метода.
контрольная работа [359,1 K], добавлен 15.04.2013Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Письменная история числа "пи", происхождение его обозначения и "погоня" за десятичными знаками. Определение числа "пи" как отношения длины окружности к её диаметру. История числа "е", мнемоника и мнемоническое правило, числа с собственными именами.
реферат [125,9 K], добавлен 28.11.2010История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.
реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012Простое расширение Q+(a). Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. Однопорожденные полуполя. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел.
дипломная работа [223,9 K], добавлен 08.08.2007Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.
реферат [75,3 K], добавлен 22.02.2010
