Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Дифференциальное уравнение как соотношение между функциями и их производными в основе математического моделирования. Особенности уравнения в полных дифференциалах. Условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах).
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.08.2017 |
| Размер файла | 98,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Содержание
- Введение
- 1. Уравнение в полных дифференциалах
- 2. Интегрирующий множитель
- Заключение
- Список использованной литературы
Введение
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.
Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.
Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 2002. - 304 с..
Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).
1. Уравнение в полных дифференциалах
Пусть уравнение вида f (t, x) dx + g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что
dF (t, x) = f (t, x) dx + g (t, x) dt ( (t, x) О D (f) = D (g)).
Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:
F (t, x) = C (t, x О D1).
Доказательство. Пусть функции t = y (s), x = j (s) определены на некотором промежутке J М R. Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения
f (t, x) dx + g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C эквивалентен тождеству
[f (t, x) dx + g (t, x) dt] |t = y, dt = yўds, x = j, dx = jўdsє 0,
которое, в свою очередь эквивалентно тождеству
[dF (t, x)] |t = y, dt = yўds, x = j, dx = jўdsє 0.
Последнее в точности означает, что
d [F (t, x)] |t = y, x =--j--є 0 и y, j О D1,
или, что, то же,
F [y (s), j (s)] є C и y, j О D1.
Таким образом,
f (t, x) dx + g (t,x) dt = 0, F (t, x) = CЫ F (t, x) = C (t, x О D1).
Для уравнения с разделяющимися переменными f (x) dx - g (t) dt = 0 существует функция F (t, x) = F (x) - G (t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.
Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 2001. 416 с.. Пусть в уравнении
f1 (x) dx1 + f2 (x) dx2 +. + fn (x) dxn = 0
функции fi (x) = fi (x1,., xn) непрерывны вместе со своими частными производными ¶fi/¶xk (i № k) на декартовом произведении интервалов J1 Ч J2Ч. Ч Jn = D.
Тогда левая часть уравнения f1 (x) dx1 + f2 (x) dx2 +. + fn (x) dxn = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F (x) в том и только том случае, если
|
¶Fi ¶xk |
=-- |
¶Fk ¶xi |
--(i,--k--=--1,--2,.,--n;--i--№--k;--x--О--D).-- |
При этом функция F--находится по формуле
|
F--(x)--=-- |
n--е--k--=--1 |
т |
xk--x_k |
f--(x1,.,--xk-1,--x,--x_k+1,.,--x_n)--dx |
(x0k О Jk - произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения f1 (x) dx1 + f2 (x) dx2 +. + fn (x) dxn = 0 можно записать в виде:
F (x) = C (x О D1).
В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными
f1 (x1) dx1 + f2 (x2) dx2 +. + fn (xn) dxn = 0,если функции fk: Jk ® R непрерывны; полный интеграл имеет вид
F1 (x1) + F2 (x2) +. + Fn (xn) = 0,где Fk - первообразная fk (k = 1,., n).
2. Интегрирующий множитель
Итак, если для уравнения f (t, x) dx + g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:
|
¶f ¶t |
= |
¶g ¶x |
((t, x) О J1ЧJ2). |
не выполнено, то иногда удается найти функцию ? = ? (t, x), такую, что для уравнения
m · f (t, x) dx + m · g (t, x) dt = 0
оно уже выполнено. В этом случае функция m называется интегрирующим множителем. Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t.
Если, например, считать, что m зависит только от x, то
|
¶m--·--f ¶t |
=--m |
¶f ¶t |
=-- |
¶m--·--g ¶x |
=--mў--+--m |
¶g ¶x |
, |
и аналог условия
|
¶f ¶t |
--=-- |
¶g ¶x |
--(--(t,--x)--О--J1ЧJ2).-- |
для m · f (t, x) dx + m · g (t, x) dt = 0 выглядит так:
|
mў = |
й |
ж |
¶f ¶t |
- |
¶g ¶x |
ц |
/ |
g |
щ |
· m. |
Если выражение в квадратных скобках не зависит от t, то
|
mў = |
й |
ж |
¶f ¶t |
- |
¶g ¶x |
ц |
/ |
g |
щ |
· m. |
уравнение полный дифференциал
есть линейное однородное уравнение относительно m = m (x); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f (t, x) dx + g (t,x) dt = 0, F (t, x) = C.
Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t.
Найдем интегрирующий множитель m = m (x) для уравнения
(3t2/x2 - 1) dt + (3 - 2t/x) dx = 0
(оно получено почленным делением уравнения (3t2 - x2) dt + (3x2 - 2tx) dx = 0 на x2, поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель m = x2 существует). Выпишем для уравнения (3t2/x2 - 1) dt + (3 - 2t/x) dx = 0, умноженного почленно на m, условие полного дифференциала:
|
¶m · (3 - 2t/x) ¶t |
= m · |
ж |
- |
2 x |
ц |
; |
|
¶m · (3t2/x2 - 1) ¶x |
= mў(3t2/x2 - 1) + m · |
ж |
- |
6t2 x3 |
ц |
; |
|
mў = |
й |
ж |
- |
2 x |
+ |
6t2 x3 |
ц |
/ |
(3t2/x2 - 1) |
щ |
· m = |
2 x |
m. |
Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t, искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения:
|
¶m m |
= |
2dx x |
; m = Cx2. |
В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель--m = x2.
Заключение
Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1999. - 332 с..
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.
Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
Если в дифференциальном уравнении
функции М (х, у) и N (x, y) удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что
Тогда из уравнения
следует, что
что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U. Ее можно найти в виде:
любые числа, входящие в область определения функций М и N, а - произвольная постоянная.
Интегрирующий множитель, множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения
обращается в полный дифференциал (дифференциальное исчисление) некоторой функции V (x, y). T. о., если
Если множитель мю (x,y) известен, то задача интегрирования уравнения (*) сводится к квадратурам, т.к. остаётся найти функцию U (x, y) по её полному дифференциалу Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М., Высш. школа, 2001..
В нашем реферате мы рассмотрели уравнение в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.
Список использованной литературы
1. Берман Г. Н Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 2005. 384с.
2. Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 2002. - 304 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 2002.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 2003.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 2001, ч. I, II.
6. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 2001. 416 с.
7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М., Высш. школа, 2001.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. - М.: Наука, 2002.
9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1999. - 332 с.
10. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 2003. - 383 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
курсовая работа [657,0 K], добавлен 11.02.2014Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.
курсовая работа [979,1 K], добавлен 24.12.2014Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Основные элементы теорий однородных и краевых задач Римана, Гильберта, Нетера. Использование различных способов регуляризации полных особых интегральных уравнений. Некоторые основные свойства особых союзных операторов. Уравнения Фредгольма и Пуанкаре.
курсовая работа [565,3 K], добавлен 17.02.2014Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Методы решений иррациональных уравнений. Метод замены переменных. Линейные комбинации двух и более радикалов. Уравнение с одним радикалом. Умножение на сопряженное выражение. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.
контрольная работа [116,6 K], добавлен 15.02.2016Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Область, ограниченная ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти и прямой. Сведение двойных интегралом к повторному. Неоднородное дифференциальное уравнение. Сумма решений соответствующего однородного и любого частного решения уравнения.
контрольная работа [65,1 K], добавлен 05.12.2010Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013Дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка для заданной электрической цепи. Применение преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Решение уравнения операторным методом. Построение частотных характеристик цепи. Ее динамика.
курсовая работа [721,0 K], добавлен 27.05.2008Понятие иррационального уравнения. Применение формул сокращённого умножения. Посторонние корни и причины их появления. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Метод замены переменной. Иррациональные уравнения, не имеющие решений.
презентация [94,6 K], добавлен 08.11.2011Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.
контрольная работа [97,5 K], добавлен 31.10.2010Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009
