Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова и Найквиста

Размещено на http://www.allbest.ru/

Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова и Найквиста



Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости - позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик.

Принцип аргумента

Частотные критерии устойчивости основаны на следствии из принципа аргумента, который состоит в следующем:

Пусть характеристический полином имеет следующий вид:

(1)

Согласно теореме Безу этот полином можно предоставить в следующем виде:

(2)

где - корни характеристического уравнения

На комплексной плоскости каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке (рис.а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа , т.е. , а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, - аргументу или фазе комплексного числа , т.е. .

рис. а) рис. б ) рис. в)

Величины геометрически изображаются векторами, проведенными из точки к произвольной точке (рис.б). В частном случае при получим

(3)

Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке (рис. в).

В выражении (3) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов и действительного числа .

(4)

а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:

(5)

Условимся считать вращение вектора против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении от - до +каждый элементарный вектор повернется на угол , если его начало, т.е. корень , расположен слева от мнимой оси, и на угол , если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 1).



Рисунок 1

Предположим, что полином имеет m правых корней и n-m левых (n-общее число корней). Тогда при изменении от до изменение (приращение) аргумента вектора , равное сумме углов поворота элементарных векторов , равно

(6)

Очевидно, что при изменении частоты от до + изменение аргумента вектора будет вдвое меньше:

. (7)

В основу всех частотных критериев устойчивости положены либо уравнение (6) либо (7).

Критерий устойчивости Михайлова (1938г)

Позволяет судить об устойчивости САУ по виду некоторой кривой называемой годографом Михайлова. Критерий устойчивости А.В.Михайлова является, по существу, геометрической интерпретацией принципа аргумента, рассмотренного выше.

Пусть дано характеристическое уравнение САУ

(8)

Если подставить в полином чисто мнимое значение , то получим комплексный полином

(9)

где (10)

называется соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.

При изменении частоты вектор , изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

В соответствии с (7) угол поворота вокруг начала координат при изменении частоты от до + равен

(11)

Так как для устойчивых САУ m=0, то

(12)



Условие (12) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней характеристического уравнения были левыми, т.е. среди них не было нулевых.

Последнее условие можно записать так:

при любом (13)

Формулы (12) и (13) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова:

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении от до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол где степень характеристического уравнения.

Так как комплексная плоскость разделяется на 4 квадранта осями расположенными под углом то удобнее использовать такую формулировку критерия:

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от до, начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где степень характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.



Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4

(на границе апериодической устойчивости)

(на границе колебательной устойчивости)

На рис.2 показаны типичные кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого и кончая пятым порядком. Для удобства сравнения коэффициенты во всех случаях приняты одинаковыми.

САУ - неустойчива (рис.3)

САУ - на границе устойчивости (рис.4)

Достоинства критерия Михайлова:

а) пригодность для анализа устойчивости систем любого порядка;

б) наглядность, т.к. по виду годографа можно судить не только об устойчивости системы, но и наметить пути для обеспечения устойчивости.

По данным таблицы на комплексную плоскость наносят координаты и точек, соответствующих значениям частот и т.д. Полученные точки соединяют плавной кривой, по виду которой и судят об устойчивости САР.

Пример. Провести анализ устойчивости САР с помощью критерия Михайлова.



Решение: Характеристическое уравнение

Подставляем , тогда

Группируем

Задаваясь значениямиподсчитываем значения и .

	0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,5
	1	0,7	0	-0,55	0	9
	0	0,45	0,63	0,23	-1	-7,1

По данным таблицы строим годограф Михайлова

Рисунок 5

Как видно из рисунка САР устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста

Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932 г. американским ученым Г.Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

(14)

Подставляя в (14) , получаем частотную передаточную функция разомкнутой системы

(15)

При изменении частоты от до вектор меняясь по величине и направлению будет описывать в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую АФЧХ разомкнутой системы (рис.6).

Рисунок 6

Передаточная функция замкнутой системы

Рассмотрим вспомогательную функцию

(16)

где характеристический полином замкнутой системы; характеристический полином разомкнутой системы.

Подставляя в (16) , получим

.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет правых корней и левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет правых и левых корней.

При изменении частоты от до изменение угла поворота вектора на основе принципа аргумента будет

(17)

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т.е. . Отсюда суммарный поворот вектора устойчивой системы вокруг начала координат должен равняться

(18)

где -число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Таким образом, если разомкнутая система является неустойчивой и имеет правых корней, то замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ вспомогательной функции при изменении частоты от до охватывает начало координат в положительном направлении раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора вокруг точки .

На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста:

Если разомкнутая САР неустойчива, то для того, чтобы замкнутая САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку в положительном направлении раз, где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

а) б)

Рисунок 7

На рис.7а показана АФЧХ , а на рис.7б - АФЧХ , соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней . Обычно в реальных системах и поэтому .

Если САР в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. , то приращение аргумента вектора равно нулю:



(19)

Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ не охватывала начало координат (рис. 8а), а АФЧХ не охватывала точку с координатами (рис. 8б).

a) б)

Рисунок 8

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста:

Если разомкнутая САР устойчива, то замкнутая САР будет устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку .

Рассмотренные выше рис. (а, б), показывают, что АФЧХ разомкнутых статических САУ при изменении частоты от до образуют замкнутый контур.

У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, АФЧХ претерпевает разрыв и непонятно охватывает ли она критическую точку или нет.

Передаточная функция разомкнутой астатической системы, содержащей интегрирующие звенья, имеет вид



(20)

где - степень астатизма-количество интегрирующих звеньев, включенных последовательно; - полином, не имеющий корней, равных нулю.

Очевидно, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевых корней

(21)

Элементарные векторы , соответствующие нулевым корням, при изменении частоты от до изменяют при переходе через начало координат фазовый угол скачком с до , но в каком направлении («+» или «-») происходит их поворот в момент перехода через начало координат, сказать невозможно.

Для устранения этой неопределенности условимся считать нулевой корень - левым и дающим положительный поворот при изменении от до . Графически это означает условную деформацию оси ординат в начале координат (рис. 9), т.е. вместо корня , мы приняли корень: ( ).

Таким образом, идя по мнимой оси при изменении частоты от до , обходят начало координат в плоскости корней справа по полуокружности бесконечно малого радиуса . Тогда все нулевые корни дадут такой же угол поворота, как левые корни, т.е. , и формулы (18) и (19) сохраняют свою силу.

Рассмотрим как поворот элементарного вектора в плоскости корней отобразится на комплексной плоскости 

Рисунок 9

(22)

где и - свободные члены полиномов и .

Из выражения (22) видно, что при модуль , а аргумент меняется от до при изменении от до . Таким образом, при движении по полуокружности бесконечно малого радиуса в плоскости корней АФЧХ разомкнутой системы может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный ( до ). На рисунке 10 показана АФЧХ разомкнутой астатической системы с астатизмом первой степени.



Рисунок 10 Рисунок 11

В дальнейшем строим только одну ветвь АФЧХ разомкнутой системы при изменении от до . Дополняем ее дугой окружности бесконечно большого радиуса и затем можно применить критерий устойчивости Найквиста.

На рисунке 11 приведена АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом второго порядка . Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как АФЧХ разомкнутой САУ, дополненная дугой бесконечно большого радиуса, охватывает точку в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Рисунок 12 Рисунок 13



На рисунке 12 приведена АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом второго порядка, которая после дополнения ее дугой бесконечно большого радиуса не охватывает точку (число положительных и отрицательных переходов через отрезок равно нулю). Следовательно, замкнутая система будет устойчива.

САУ устойчива (рис.13) при .

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что он может быть применен и в тех практически важных случаях, когда неизвестны уравнения некоторых звеньев САР, либо даже неизвестно уравнение всей разомкнутой САР в целом, но АФЧХ может быть получена экспериментально.

Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления АФЧХ разомкнутой системы от точки . Это удаление определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты , при которой .

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абцисс , заключенного между критической точкой и АФЧХ (рис. 14).

С ростом коэффициента разомкнутой САР модуль АФЧХ также растет и при некотором значении коэффициента усиления , называемого критическим коэффициентом усиления, АФЧХ пройдет через точку , т.е. САР будет на границе устойчивости.

При САР будет неустойчива.

Рисунок 14

михайлов найквист разомкнутый амплитуда

Литература 1осн [131-154]; 3осн [137-154]

Контрольные вопросы

В чем заключается следствие из принципа аргумента, лежащее в основе частотных критериев устойчивости?

Достоинства и недостатки критерия устойчивости Михайлова.

Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста для случая, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Дать формулировку критерия Найквиста в случае устойчивости или нейтральности разомкнутой системы.

Преимущество критерия устойчивости Найквиста в сравнении с критерием Михайлова.

Как определяются запасы устойчивости по фазе и по амплитуде?

Понятие критического коэффициента передачи разомкнутой системы.

Размещено на Allbest.ru

...