Формы записи линейных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Формы записи линейных дифференциальных уравнений. Передаточные функции

2. Временные и частотные характеристики

3. Типовые звенья САР



1. Формы записи линейных дифференциальных уравнений. Передаточные функции

При описании автоматических систем управления широко используют символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (1.6). Перепишем его, опустив для сокращения записи знак ? и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные:

(2.1)

Введем для операции дифференцирования обозначение р, т.е. d/dt=p, di/dti =pi. Используя его, уравнение (2.1) можно записать в виде

(2.2)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования) р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение рy - как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая это замечание, перепишем (2.2), вынеся у и х за скобки:

(2.3)

Введем обозначения , , . С помощью этих обозначений уравнение (2.3) можно записать в более компактной форме



. (2.4)

В уравнении (2.4) Q(p) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, a R1(p) и R2(p) (дифференциальные операторы при входных величинах) -- операторами воздействия.

Передаточные функции. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением (2.1) или, то же самое, уравнениями (2.2) -- (2.4), можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией W1(p) по входной величине х

(2.5)

и передаточной функцией W2(p) по входной величине z, т.е.

. (2.6)

Используя передаточные функции, уравнение (2.1) записывают в виде

y=W1(p)x+W2(p)z. (2.7)

Это уравнение представляет условную, более компактную форму записи исходного уравнения (2.1). Уравнения (2.3), (2.4) и (2.7) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Используя запись дифференциальных уравнений в символической ферме (2.3) или (2.4) и рассматривая формально собственный оператор и оператор воздействия как обычные алгебраические сомножители, передаточную функцию в операторной форме также можно определить как отношение выходной величины к входной.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные входные величины полагают равными нулю.

Пример. Найдем передаточные функции в форме изображений Лапласа

.

Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала (свойства 1 и 2 преобразования Лапласа), при нулевых начальных условиях получим

, (2.8)

где Y(s)=L{y(t)}, X(s)=L{x(t)}, Z(s)=L{z(t)}.

Полагая последовательно Z(s)=0, X(s)=0 и определяя каждый раз, отношение выходной величины к входной получим:

, . (2.9)

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку р=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала -- символическому умножению оригинала на р -- при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем). Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.1) зависят от времени, формула (2.9) неверна.

Используя передаточные функции (2.9), уравнение (2.8) в изображениях Лапласа можно записать

. (2.10)

Это уравнение, как и уравнение (2.8), адекватно исходному дифференциальному уравнению (2.1) только при нулевых начальных условиях. Если начальные условия не равны нулю, то уравнениями (2.8) и (2.10) как математическими описаниями исходного звена пользоваться нельзя.

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены -- в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной величине выносят за скобки.

Уравнение (2.1) в стандартной форме принимает вид



, (2.11)

где ; ; ; ; .

В уравнении (2.11) постоянные Т0, T1 и T2 имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты k1 и k2 -- передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.1) не содержит у (а2=0), то в стандартной форме коэффициент при производной у должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент а1.

В символической форме уравнение (2.11) принимает вид

.

Временные и частотные характеристики

Динамические свойства линейных звеньев и САУ в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями и представлены графическими характеристиками. Применяют два типа таких характеристик - временные (переходные) и частотные. Характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. С помощью этих характеристик можно определить реакцию звена (САУ) и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена (САУ).

2. Временные характеристики

Рассмотрим некоторое динамическое звено (рисунок 2.1)

Рисунок 2.1



Различают два вида временных характеристик: переходная функция и функция веса.

Переходная функция звена представляет собой график изменения во времени выходной величины звена, вызванного подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Единичное ступенчатое воздействие можно аналитически записать:

-реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, которое моделирует различные переключения в системах. Следовательно, это при .

Наряду с переходной функцией существует импульсная переходная функция (функция веса), представляющая собой реакцию звена на единичный импульс.

Единичный импульс это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Площадь этого импульса равна единице при длительности равной нулю и высоте, равной бесконечности. На рис 2.3 единичный импульс условно показан в виде утолщения на оси ординат. - дельта функция, - весовая функция 

Рисунок 2.3

Аналитическое выражение для - функции имеет вид:

; .

На практике возмущения сходные с - функцией имеет место при ударах, действующих на объект. Следовательно, функция веса - характеризует реакцию звена на ударное воздействие. Примерами таких воздействий могут быть, например, порывы ветра, действующие на самолет, гидравлические удары, возникающие при включении насосов в гидросистемах.

Так как

, то

, и наоборот

.

Зная переходную или весовую функцию звена, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие с помощью следующих формул:

(2.12)

где - значение при

(2.13)

Выражения (2.12) и (2.13) представляют собой различные формы интеграла Дюамеля или интеграла свертки и могут быть получены одно из другого.

Частотные характеристики

О динамических свойствах звеньев и САУ можно судить не только по их временным характеристикам, характеризующим переходные режимы. Для этой цели можно пользоваться также зависимостями, характеризующими периодические режимы, устанавливающиеся в этих системах под воздействием гармонически изменяющегося возмущения. Такие зависимости называются частотными характеристиками.

Запишем уравнение линейной системы в общем, виде

(2.14)

В символической форме

(2.15)

Передаточная функция по определению равна



. (2.16)

Путем подстановки в (2.16) формально можно получить комплексную функцию вида

, (2.17)

которая называется частотной передаточной функцией (ЧПФ).

Функцию можно представить в виде

,

где - вещественная часть, - мнимая часть ЧПФ.

Частотную передаточную функцию можно представить в полярных координатах

(2.18)

где (2.19)

; (2.20)

- называется модулем частотной передаточной функции.

- аргументом частотной передаточной функции.

Физический смысл частотной передаточной функции заключается в следующем. Если подать на вход звена или системы (рис. 2.4) гармоническое возмущение, то после окончания переходного процесса, т.е. в установившемся режиме, на выходе звена или системы установятся также гармонические колебания с той же частотой, но с другой амплитудой и фазой (рис. 2.5).

Рисунок 2.5

Отношение амплитуд выходной Y и входной X величин равно модулю , а сдвиг фазы - аргументу частотной передаточной функции

(2.21)

Указанные соотношения справедливы после окончания переходного процесса, т.е. частотная передаточная функция, характеризует связь между входными и выходными величинами звена или системы в установившемся периодическом режиме.

Приложение. Дадим более строгий вывод соотношений между входной и выходной гармоническими величинами системы (рис. 2.4).

Пусть

(2.22)

после окончания переходного процесса

(2.23)

где - угловая частота колебаний сигналов x, y;

- сдвиг фазы выходного сигнала относительной фазы входного сигнала.

На основании известной формулы Эйлера

; (2.24)

. (2.25)

Сложив (2.24) и (2.25) можно получить:

Тогда уравнения (2.22) и (2.23) запишутся, соответственно:

; а) (2.26)

. б)

Рассматриваемое звено можно представить в виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

На основании принципа суперпозиции, справедливого для линейных систем, достаточно рассмотреть прохождение только составляющей x1, которая дает в выходной величине составляющую y1. Соотношение между составляющими x2 и y2 получается таким же, как между x1 и y1. Тогда символически и

. (2.27)

Для нахождения соотношения между входными и выходными величинами системы воспользуемся ее дифференциальным уравнением (2.14).

Сначала для выражений (2.27) вычислим производные:

. (2.28)

.

Подставив в уравнение (2.14) соотношения (2.27) и (2.28) получим:

.

Откуда после сокращения на общий множитель найдем:



.

Отсюда получаем уравнения (2.18) и (2.21)

, (2.29)

. (2.30)

В дальнейшем для получения выражения для частотной передаточной функции такие выкладки делать не будем, а используем подстановку .

Как видно из (2.29), (2.30) соотношение между входными и выходными величинами, т.е. частотная передаточная функция, является функцией частоты , при изменении частоты входного сигнала изменяется амплитуда выходного сигнала системы и его фаза.

Характер изменения связи между входными и выходными величинами при изменении частоты для различных звеньев и систем отличен, т.е. последние обладают определенными частотными свойствами.

Для наглядного представления частотных свойств звеньев и систем используются так называемые частотные характеристики.

По уравнению частотной передаточной функции на комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до (рис. 2.6).



Рисунок 2.6

По оси абсцисс откладывается вещественная часть , а по оси ординат мнимая часть . Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой.

Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующей какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и вещественной осью равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, АФЧХ дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия отношение амплитуд выходных и входных величин и сдвиг фаз между ними.

АФЧХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции + на - получится сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное отображение относительно вещественной оси АФЧХ, построенной для положительных частот.

Положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как функция времени является вещественной и каждому элементарному вектору , вращающемуся против часовой стрелки (>0), должен соответствовать элементарный сопряженный вектор , вращающийся по часовой стрелке (<0). В этом случае сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной.

Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов, вращающихся в разные стороны, может служить изображение гармонических функций по формулам Эйлера (13 а), б)).

В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот.

Вместо АФЧХ можно построить отдельно АЧХ и ФЧХ (рис. 2.7).

АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

Рисунок 2.7

Частотные характеристики можно строить экспериментальным путем. Для этого необходима специальная аппаратура, в состав которой входят генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.



Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)

Построение рассматриваемых частотных характеристик производится по точкам, что требует много вычислений. Необходимость сокращения трудоемкости построения частотных характеристик привела к использованию ЛЧХ.

При построении ЛЧХ используются следующие термины:

Если частота одного сигнала превышает частоту другого сигнала в 10 раз, то говорят, что они отличаются на 1 декаду, декада.

Декада представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению частоты.

1 декада (;2 дек (; 3 дек () и. т. д.

Если мощность одного сигнала превышает мощность другого сигнала в 10 раз, то говорят, что эти мощности отличаются друг от друга на 1 бел .

Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности, т. е.

1 бел 2 бел 3 бел и т.д. или

1 бел .

Поскольку мощность периодического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды

, то [бел]

Выражение [бел], учитывая, что 1 бел = 10 децибел [дб], запишется

[дб] - называется ЛАЧФ.

График зависимости от называется ЛАЧХ, график зависимости от ЛФЧХ.

При исследовании динамических свойств САУ удобно строить ЛАЧХ и ЛФЧХ на одном чертеже. Для этого на оси ординат наносится равномерная шкала децибел, а также фаза в градусах. Практически удобно положительную фазу откладывать вниз от нуля шкалы, а отрицательную - вверх, совмещая при этом с осью абсцисс ту точку ординат, где фаза равна минус -. Ось частот (абсцисс) для ЛАЧХ и ЛФЧХ используется общая. На оси абсцисс указывается обычно сама частота, а не ее десятичный логарифм.



Рисунок 2.10

Особенностью оси частот является то, что начало ее лежит в т.к. при , поэтому, ось ординат проводится через любую (.) оси абсцисс, но так, чтобы ЛАЧХ охватывала бы все интересующие нас частоты. Удобство использования ЛАЧХ состоит в том, что они достаточно точно аппроксимируются отрезками прямых линий - асимптотами, что значительно упрощает их построение. Наклон асимптот выражают в децибелах на декаду.

Рассмотрим построение ЛАЧХ для типовых модулей частотной передаточной функции:

Пусть модуль ЧПФ равен постоянному числу

1) ,

тогда .

ЛАЧХ представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (прямая 1, рис. 2.10) с наклоном ноль дб/декаду.

2) ,

а) при ордината

;

б) при

.

Тогда приращение ординаты при изменении частоты на 1 декаду

т.е. наклон ЛАЧХ равен минус 20дб/дек (прямая 2).

Точку пересечения ЛАЧХ с осью частот можно найти, положив , или .

.

Отсюда получаем - так называемую частоту среза ЛАЧХ.

3)

(прямая 3).

Вообще для ЛАЧХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном дб/дек. Частота среза .

4)

(прямая 4)

для ;

Удобство использования логарифмических частотных характеристик при исследовании САУ, связано с двумя обстоятельствами. Во первых, благодаря тому, что в логарифмических координатах кривизна характеристик изменяется, возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать ЛАЧХ ломаными линиями.

Второе удобство связано с построением ЛАЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев.

. (2.31)

Если прологарифмировать выражение (2.31), получим



т.е. в логарифмическом масштабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев.

ЛФЧХ обычно строится в полулогарифмических координатах, в виде зависимости от , так как фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях.

3. Типовые звенья САР

При изучении динамических свойств САР можно заметить, что большое число различных по конструкции и назначению элементов систем, оказываются сходными по характеру возникающих в них переходных процессов, т. е. одинаковыми по своим динамическим свойствам. Такие элементы системы называются типовыми динамическими звеньями САР. Они описываются простыми алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями, обычно не выше второго порядка. Следовательно, любую сложную САР можно разбить на небольшое число таких динамических звеньев и изобразить ее в виде структурной схемы, что значительно упрощает изучение динамики САР.

Динамические звенья характеризуются передаточными функциями, временными и частотными характеристиками.

Пропорциональное звено

Уравнение пропорционального звена:

,

где x,y - входные и выходные величины;

- коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция звена:

При подаче на вход пропорционального звена скачкообразной функции выходная величина y также мгновенно, скачком возрастает до величины (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 Рисунок 2.12

АФЧХ звена: . АФЧХ звена вырождается в точку (рис. 2.12а). ЛАЧХ представлена на рис.2.12б.

Примерами конструктивного исполнения пропорционального звена могут служить рычаг, шестеренчатый редуктор, электронная лампа и др.

Иногда пропорциональное звено называют безинерционным, усилительным, безъемкостным звеном.

Апериодическое звено первого порядка

Дифференциальное уравнение этого звена

. (2.32)

где Т - постоянная времени; - коэффициент передачи звена.

Передаточная функция

Решение уравнения (2.32) имеет вид:

. (2.33)

Формула (2.33) является уравнением экспоненты. Здесь при t=0 выходная величина y=0, а при t>? выходная величина y стремиться к своему установившемуся значению (рис.2.13).

Рисунок 2.13 Рисунок 2.14

ЛАЧХ строится по выражению:

. (2.34)

Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая ЛАЧХ (рис.2.15).

Рисунок 2.15

На стандартной сетке проводится вертикальная прямая через точку с частотой, называемой сопрягающей частотой . Для частот меньше, чем сопрягающая, т.е. при , можно пренебречь вторым слагаемым под корнем в выражении (2.34). Тогда (прямая об параллельная оси частот является первой асимптотой).

Для частот больших, чем сопрягающая (), в выражение (2.34) можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с . Тогда

,

Чему соответствует прямая (вс) с отрицательным наклоном-20дб/дек, являющаяся второй асимптотой.

Ломаная линия авс и называется асимптотической ЛАЧХ.

Действительная ЛАЧХ (показана на рисунке 2.15 пунктиром) будет отличатся от асимптотической max на 3дб, так как

На этом же рисунке показана ЛФЧХ. Она симметрична относительно сопрягающей частоты (сдвиг по фазе при , так как ).

Примерами конструктивного исполнения апериодического звена первого порядка могут служить: RC и LR-цепи, термопара, резервуар, нагревательная печь и т.п. (рис.2.16).

Рисунок 2.16

Колебательное звено, консервативное, апериодическое звено второго порядка

Колебательное звено

. (2.35)

При этом корни и характеристического уравнения комплексные, т.е.

Для колебательного звена часто используют другую форму записи уравнения (2.35):

, (2.36)

где , - называют коэффициентом демпфирования (характеризует затухание):

если - апериодическое звено;

если - колебательное звено;

если , то звено называется консервативным.

Передаточная функция:

Характеристическое уравнение:

,

при .



Мнимая часть корня представляет собой частоту свободных (затухающих) колебаний звена, а вещественная часть - коэффициент затухания этих колебаний.

Сопряженные комплексные корни дают в решении уравнений (2.35) или (2.36) гармоническую составляющую, т.е. решение этих уравнений при и нулевых начальных условиях имеет следующий вид:

, (2.37)

где ; ; .

Уравнение (2.37) показывает, что при подаче на вход колебательного звена скачкообразной функции его выходная величина будет стремится к установившемуся значению (при ), совершая относительно его затухающие синусоидальные колебания с переменной амплитудой (рис.2.17).

Рисунок 2.17

ЧПФ звена ()



Рисунок 2.18 Рисунок 2.19

ЛАЧХ:

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

где



Рисунок 2.20

Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ при малых значениях коэффициента демпифрования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических.

Примерами конструктивного исполнения колебательного звена могут служить, например, центробежный маятник, электрический колебательный контур (LRC), сообщающиеся сосуды, соединенные трубопроводом с сужающим устройством и.т.п.

Рисунок 2.21

Интегрирующее звено

Дифференциальное уравнение:

. (2.38)

Проинтегрировав уравнение (2.38), получим

(2.39)

при решение уравнения (2.39) имеет вид

- уравнение прямой

Примером конструктивного исполнения интегрирующего звена является маломощный электродвигатель, у которого угловая скорость строго пропорциональна напряжению, приложенному к якорю (рис.2.22).



Рисунок 2.22

ЛАЧХ

ЛФЧХ



Дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение звена:

Как видно из этого уравнения, в случае подачи на вход звена на выходе его возникает импульс бесконечно большой величины, соответствующий бесконечно большой скорости нарастания входной величины. Это звено называется идеальным дифференцирующим звеном.

В САР применяются звенья, которые выполняют дифференцирующее действие приближенно. Они называются реальными дифференцирующими звеньями.

Уравнение

(2.40)

Решение уравнения (2.40)

При подаче на вход реального дифференцирующего звена на выходе звена возникает затухающий импульс (рис.2.23).



Рисунок 2.23 Рисунок 2.24

ЛАЧХ

при (прямая с наклоном +20 дб/дек)

при (прямая с наклоном 0 дб/дек)

Рисунок 2.25



Реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот (фазовый сдвиг в этом случае 90°, т.е. такой же как и в идеальном звене).

Реальные дифференцирующие звенья используются в качестве корректирующих устройств при синтезе САУ. Примером конструктивного исполнения служат, например CR и RL- электрические цепи (рис.2.26).

Звено запаздывания

Рисунок 2.28 Структурная схема объекта с запаздыванием

Если на вход звена подать гармоническое возмущение , то на его выходе возникнут также гармонические колебания с той же частотой и амплитудой, но с другой фазой .

ЧПФ звена

(2.41)

Как видно из формулы (2.41), модуль АФЧХ звена запаздывания равен единице и, следовательно, не зависит от частоты щ.

Передаточная функция ().

Рисунок 2.29

передаточный операторный лаплас логарифмический

Литература 1осн [44-91]; 3осн [40-64]

Контрольные вопросы

Что называют собственным оператором, а что - оператором воздействия?

Дайте определение передаточной функции в операторной форме.

Дайте определение передаточной функции в форме изображений Лапласа.

Какие виды временных характеристик Вы знаете и, что они показывают?

Физический смысл частотной передаточной функции.

Какое преимущество дает использование логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) по сравнению с обычными частотными характеристиками?

В чем проявляется удобства использования типовых звеньев при изучении динамики САР?

Размещено на Allbest.ru

...