Понятие тензора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие тензора

1.Тензоры первого и второго ранга

Многие величины задаются в виде числовых функций от точки в пространстве. В трёхмерном пространстве для полной характеризации точки необходимо знать значение не менее трёх числовых функций, именуемых координатами точки (х¹, х², х³). Каждая из этих координат есть функция точки, а совокупность (х¹, х², х³) полностью определяет эту точку. Тем не менее, понятие числовой функции точки или совокупности таких функций недостаточно для изучения многих задач. Многие геометрические и физические величины могут быть описаны в виде набора числовых функций после того, как в пространстве уже задан какой-то набор координат (х¹, х², х³). Числовая запись этих величин может измениться, если мы зададим другие координаты, например (z¹, z², z³), где xⁱ = xⁱ(z¹, z², z³), i = 1, 2, 3.

Рассмотрим вектор скорости при движении вдоль некоторой кривой , ; . В координатах (z) компоненты вектора скорости будут . В координатах (х) этот же вектор имеет другие координаты

, где

;

; , .

Тензоры - это важнейший класс из величин, числовая запись которых меняется при изменении координат. Вектор - простейший пример тензора. Скалярная величина - тривиальный пример тензора, так как его числовая запись при изменении координат не изменяется.

Рассмотрим другие примеры тензоров.

1. Градиент числовой функции.

Если задана числовая функция , то

.

Как выглядит градиент этой функции в координатах (z¹, z², z³), где каждая xⁱ = xⁱ(z¹, z², z³); i = 1, 2, 3?

Итак, =,

где

, i =1, 2, 3.

Таким образом, , . Итак, градиент функции, как видим, иначе преобразуется при заменах координат, чем вектор скорости.

Сравним формулы преобразования числовой записи для вектора скорости кривой и градиента функции:

- вектор скорости (1)

- градиент (2)

Пусть матрица , , , где , , , а вектор . Если матрица имеет обратную матрицу, то из имеем (). Итак, получим, что . В каком случае законы преобразования (1) и (2) при переходе совпадут? Из и , (вектор скорости), (градиент функции). Следовательно, для совпадения нужно иметь , . Такие матрицы , для которых , называются ортогональными. Итак, градиент функции иначе преобразуется при заменах координат, чем вектор скорости. Это другой вид тензора, который называют ковектором в отличие от вектора скорости.

2. Риманова метрика

Метрические понятия (длины и углы) задаются с помощью набора функций , если заданы координаты (х¹, х², х³). Для длины кривой имеем

,

где и квадратичная форма положительна определена. Это квадратичная форма, определённая на векторах типа векторов скорости в каждой данной точке (x) = (х¹, х², х³) и зависящая от точки. Наборы () назывались римановой метрикой. При заменах координат xⁱ = xⁱ(z¹, z², z³), , , где , причём . Таким образом, это ещё один тип тензора.

Риманова метрика () в данных координатах х¹, х², х³ была нужна для того, чтобы определить понятие длины вектора в данной точке (х): если вектор в точке (х¹, х², х³), то .

Определим инвариантное понятие квадрата длины ковектора, который преобразуется по закону . Для этого введём компоненты , положив при этом, что в заданной точке , , . При замене координат , получим закон преобразования и . В этом случае длина не будет зависеть от выбора системы координат , где - запись ковектора в координатах х¹, х², х³ в точке (х), - запись того же ковектора в той же точке, но в координатах (z¹, z², z³). Закон преобразования дает ещё один тип тензора второго ранга.

3. Линейные операторы на векторах

Пусть в каждой точке пространства с координатами (х¹, х², х³) задана матрица , которая определяет линейное преобразование векторов в каждой точке x = (х¹, х², х³). Это линейное преобразование имеет вид: , где ; - вектор в точке х. Эта же самая матрица определяет линейное преобразование ковекторов по формуле , где . При замене координат xⁱ = xⁱ(z¹, z², z³) из формул , можно получить, что элементы матрицы преобразуются по закону ~; : , где , , . При этом .

Подведём итоги.

1) Скалярная величина - тензор нулевого ранга. Он не преобразуется при замене координат.

2) Вектор (типа скорости) ; .

3) Ковектор (типа градиента функции) ; .

2) и 3) - есть тензоры первого ранга.

4) Скалярное произведение векторов

: , .

5) Скалярное произведение ковекторов

: .

6) Линейные операторы на векторах (ковекторах)

: ;, ,

; .

Примеры 4), 5) ,6) - есть тензоры второго ранга.

4. Общее определение тензора

тензор алгебра дифференцирование

Определение. Тензором (тензорным полем) типа ранга называется объект, который задаётся набором чисел в произвольной системе координат (х¹, …, хⁿ), числовая запись которого зависит от системы координат по следующему закону: если xⁱ = xⁱ(z¹, …, zⁿ), z^j = z^j(x¹, …, xⁿ), , то имеет место следующая формула:

, (1)

где - числовая запись тензора в координатах (z), а - числовая запись тензора в координатах (х). Индексы , , , меняются от 1 до n.

Таким образом, вектор скорости - это тензор типа (1, 0), ковектор - это тензор типа (0, 1), квадратичная форма на векторах - это тензор типа (0, 2), а квадратичная форма на ковекторах - это тензор типа (2, 0); линейный оператор на векторах и ковекторах - это тензор типа (1, 1).

Теорема. Компоненты можно выразить через компоненты по следующей формуле:

.

<Доказательство:

Известно, что и , так как преобразования и обратны друг к другу. Рассмотрим (1) как линейное уравнение с правыми частями и неизвестными . Решая это уравнение, получаем:

.

>

В любой точке пространства тензоры образуют линейное пространство:

если и - тензоры типа , то их линейная комбинация тоже есть тензор типа в этой же самой точке. Отметим, что тензор есть объект, прикреплённый к точке, и не существует правила сложения тензоров, прикреплённых к разным точкам.

Если базисные координатные векторы в n-мерном пространстве с системой координат x¹, …, xⁿ обозначить через е₁, е₂, …, е_n - базисные векторы, а базисные ковекторы обозначить через е¹, е², …, еⁿ, то любой тензор можно записать в следующем виде:

вектор , ковектор , квадратичная форма для векторов , квадратичная форма для ковекторов , линейный оператор .

Любой тензор можно записать в виде:

.

Порядок индексов в этой записи существенный. Итак, базис в линейном пространстве тензоров типа в данной точке этого пространства (х) имеет вид

,

где . Базис состоит из элементов.

Пример 1. Тензор напряжения.

Сила давления в каждой точке , действующая на малую площадку площади , ортогональную единичному вектору n, находится по формуле , где - линейный опрератор . Тензор - называется тензором напряжения. Пусть . Тогда .

Пример 2. Тензор деформации.

Если сплошная среда в координатах подвергалась смещению , то будем говорить, что среда подвергалась деформации. Первоначальное расстояние между близкими точками среды - . Найдём расстояние между этими точками после деформации:

,

где .

При . А так как , то .

Определение. Разность называется тензором деформации среды, где . Если - малые смещения, то получаем тензор малой деформации .

Пусть в системе координат задан тензор типа . И пусть задана другая система координат , где. Компоненты этого тензора в новой системе координат будут . Закон преобразования компонент тензора будет:

или

.

1) Перестановка индексов.

Компоненты тензора, например , можно рассматривать как элементы матрицы . Если в тензоре поменять местами индексы, то получится новый тензор , матрица которого .

Итак, простейшая операция (перестановка индексов) приводит к построению нового тензора. Пусть - перестановка чисел : . Перестановка действует на наборах по правилу . Будем говорить, что тензор получается из тензора перестановкой нижних индексов, если . Перестановка верхних индексов определяется аналогично. Нельзя переставлять между собой верхние и нижние индексы.

2) Сложение тензоров.

Мы отмечали, что если и , то .

Пусть и - тензоры второго ранга. Составим . Числа образуют тензор второго ранга:

; ;

- тензор второго ранга.

Определение. Суммой тензоров типа называется тензор типа , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых.

Аналогично сумме тензоров определяется и их разность. Таким образом, складывать и отнимать тензоры можно только одного и того же ранга.

3) Умножение тензоров.

Пусть дан тензор и тензор . Составим в каждой координатной системе всевозможные произведения:

.

Так как А и В тензоры, то и . Перемножив, получаем:

,

то есть .

В результате этой операции мы получили тензор четвёртого ранга.

Произведением тензоров типа и типа , называется тензор типа c компонентами . Таким образом, можно перемножить тензоры любого ранга и типа. Здесь порядок сомножителей существенен.

Пример. Пусть задан вектор и задан ковектор . Если мы перемножим , то получим тензор второго ранга.

4) Свёртывание тензоров (свёртка).

Определение. Для тензора типа его свёрткой по индексам будем называть тензор типа , который определяется следующей формулой:

По дважды входящему сверху и снизу индексу мы производим суммирование от 1 до n.

Пример. Пусть задан тензор типа (1, 1). Произведём его свёртку, тогда - след линейного оператора . Умножим вектор на линейный оператор . Получаем - тензор типа (2, 1).

Теорема. В результате перечисленных выше операций 1) - 4), получаем тензор, причём результаты их применений не зависят от выбора системы координат.

<Доказательство:

1) Пусть . Тогда . Перейдём к штрихованной системе координат:

.

Сменим обозначения: обозначим через , а обозначим через . Это не изменит всего выражения, так как по этим индексам мы производим суммирование:

.

Таким образом , - компоненты тензор типа .

2) Для тензора, свёрнутого по индексам и , ( и означает, что эти индексы пропущены) будем иметь:

.

.

.

Здесь

Доказательство тензорности произведения следует из определения. >

5) Поднятие и опускание индексов

В присутствии метрики можно определить операцию опускания индексов. Если - тензор типа (p, q), то можно определить тензор типа (р - 1, q + 1), полагая, что .

Определение. Переход от тензора к тензору называется опусканием индекса с помощью метрики .

Если - вектор, то после опускания индекса мы получим ковектор : .

Для поднятия нижних индексов при наличии метрики необходимо рассмотреть обратную матрицу , то есть если . По определению . Это операция поднятия индексов.

Теорема. Если индекс опустить, а потом его поднять, то получим исходный тензор.

<Доказательство. Имеем тензор . Опустим индекс . Получим . Поднимем теперь индекс :

. >

5.Тензоры типа (0, k)

Рассмотрим тензор типа (0, 1) - это ковектор (пример - градиент функции ). Если взять дифференциал от функции f, то . Пусть задана замена координат . Тогда

, .

Мы видим, что выражение инвариантно относительно замены координат. Точно также, если каждому ковектору мы поставим в соответствие выражение (дифференциальную форму), то это выражение будет инвариантно относительно замены координат. Что такое символ ? Базисные ковекторные поля преобразуются по закону: , . Базисные ковекторы преобразуются по тому же закону, что и :

; , ,

Таким образом, можно сказать, что символы есть базисные ковекторы . Дифференциальная форма соответствует разложению ковектора по базису.

Рассмотрим тензор типа (0, 2).

Базис в пространстве таких тензоров составляет всевозможные произведения . Разложение любого тензора по этому базису имеет вид: .

Известно, что любой тензор типа (0, 2) распадается на сумму симметрического и кососимметрического :

.

Это следует из того, что ; .

В дифференциальной форме базис в пространстве симметрических тензоров будет записываться в виде , а в пространстве кососимметрических тензоров .

Пример. Риманова метрика есть пример симметрического тензора типа (0, 2). Его разложение по базису имеет вид: .

Определение. Кососимметрическим тензором типа (0, k) называется такой тензор , что , где - знак перестановки .

Базис в пространстве таких тензоров состоит из элементов

где и

.

Для кососимметрического тензора получаем дифференциальную форму:

.

Определим теперь внешнее произведение двух кососимметрических тензоров типа (0, р) и (0, q) (дифференциальных форм ранга р и q соответственно). Пусть

и

Определим форму ранга (p + q) следующим образом:

,

где .

Величины образуют тензор, который получается из тензоров и комбинацией операций тензоров произведения и перестановки индексов.

Какие существуют дифференциальные операции над тензорами, которые не зависят от системы координат? Пусть заданы функция и тензорное поле , где х = (х¹, х², х³) - точки пространства, а - некоторый параметр, не связанный с пространством. Тогда можно взять частную производную по параметру : , в каждой заданной точке.

Эта операция не связана с геометрией пространства. Другой дифференциальной операцией, не связанной с римановой метрикой, является операция взятия градиента.

Если задана функция , то . Это ковектор. Введём многомерное обобщение градиента на кососимметрические тензоры.

Определение. Пусть - кососимметрический тензор по всем индексам в n-мерном пространстве с координатами (х¹, ..., хⁿ). Его градиентом называется кососимметрический тензор типа (0, k + 1) с компонентами .

Здесь значок означает, что индекс пропущен.

Примеры. 1) Пусть к + 1 = 1. В этом случае - функция. По определению имеем: - обычный градиент функции.

2) Пусть - ковектор. Тогда

. Этот тензор называется ротором ковекторного поля и обозначается . Это есть кососимметрический тензор типа (0, 2).

Если n = 3, пространство и координаты (х¹, х², х³) евклидовы, то тензору ставится в соответствие вектор , где

, ,

.

3) Пусть n = 3 и задан кососимметрический тензор . Кососимметрический тензор третьего ранга dT здесь имеет вид:

.

Если координаты евклидовы (х¹, х², х³) и , то в соответствии с указанным правилом сопоставления вектора кососимметрическому тензору, имеем .

Определение. Операция, сопоставляющая в евклидовых координатах векторному полю число называется дивергенцией.

Теорема 1. Градиент dT кососимметрического тензора ранга к типа (0, к) является кососимметрическим тензором ранга к + 1 типа (0, к + 1).

<Доказательство.

Пусть задана замена , . По определению . Пусть - компоненты тензора в координатах (х) и - компоненты в координатах (). По определению

. (1)

По определению градиента тензора имеем

. (2)

Подставив формулы (2) в (1), после преобразования убеждаемся, что выражается через по тензорному закону. Покажем это для к =1, к + 1 = 2. Пусть - ковектор, тогда , , .

Имеем, что:

. >

Приведём другое определение градиента кососимметрического тензора.

Тензору соответствует форма

.

Определим форму степени к + 1 следующим образом:

.

Если , мы имеем - дифференциал функции.

Теорема 2. Имеет место следующее тождество:

<Доказательство.

Из определения dT имеем, что

.

Отметим, что

.

Переобозначим индексы суммирования: в q-ом слагаемом положим, что , , …, . В этом случае выполняется неравенство , и индекс пробегает все значения от 1 до n. >

Теорема 3. Дважды взятая операция градиента кососимметрического тензора даёт нуль: ,

<Доказательство.

Пусть

,

,

.

Выражение симметрично по индексам и , а выражение кососимметрично, то есть . Поэтому их свертка даёт тождественный нуль. >

Теорема 4. Пусть и дифференциальные формы степени и соответственно. Тогда .

<Доказательство: Доказательство проведём для случая, когда формы и одночлены. , . Тогда . Поэтому

, так как

6.Ковариантное дифференцирование

Операция взятия градиента кососимметрического тензора приводит к кососимметрическому тензору ранга на единицу большего:

.

Отмечалось, что dT снова являлась тензором. Операция d единственная, не связанная ни с какой геометрией дифференциальная операция над тензорами в том смысле, что все остальные операции сводились к данной чисто алгебраическими операциями (перестановкой индексов, сложением, произведением, свёрткой). Обозначим результат операции

.

В пространстве с декартовыми координатами (х¹, …, хⁿ) он не является тензором типа (p, q + 1) в общем случае.

Теорема 1. Если в пространстве заданы координаты и тензорное поле , то поле преобразуется как тензор типа (p, q + 1) при всех линейных заменах координат , где , , где .

<Доказательство. Для линейных преобразований и , , . Из определения тензора имеем, что . Так как , , то, дифференцируя последнюю формулу, имеем:

- закон преобразования тензора.

Сделаем предположения: 1)операция взятия градиента существенно связана с евклидовой геометрией, 2) она применяется по формуле

только в евклидовой геометрии, 3) результат этой операции есть тензор.

По каким формулам эта операция должна применяться в других системах координат, связанных с евклидовыми нелинейной заменой? Для этого мы должны вычислить результат применения этой операции к тензорному полю T в евклидовых координатах (х¹, …, хⁿ), затем преобразовать этот результат в другую систему координат xⁱ = xⁱ(z¹, …, zⁿ). Итак, по определению считается тензором.

Тогда , где . То же для и . Какой же операцией в системе координат (z) компоненты получаются из компонент ? Рассмотрим для простоты векторные поля и ковекторные поля :

; .

Так как , но из предыдущих формул вытекает, что

. Но .

Поэтому

.

Так как , то получаем .

Введём обозначения: . Тогда, . Итак, получили теорему.

Теорема 2. Если градиент векторного поля преобразуется как тензор при любых заменах координат и в евклидовых координатах (х) вычисляется по формулам , то в любой другой системе координат (z) градиент вычисляется следующим образом:

, где .

Аналогичную теорему можно доказать и для ковекторного поля: если градиент ковекторного поля преобразуется как тензор при любых заменах координат и в евклидовой системе координат вычисляется по обычной формуле , то в любой другой системе координат (z) он вычисляется по формуле:

.

Как видно, это разные формулы. Однако наборы здесь общие. Можно получить и общую теорему: Если градиент тензорного поля типа (р, q) преобразуется как тензор при любых заменах координат и в евклидовой системе координат вычисляется по формуле: , то в любой другой системе координат х = х(z) он вычисляется по формуле:

.

(запись означает, что в наборе следует вместо взять ).

Например, для тензора второго ранга имеем:

, ,

.

Выясним, каким образом набор меняется при замене координат.

Пусть заданы евклидовы координаты (х¹, …, хⁿ), xⁱ = xⁱ(z()).

Тогда

.

В системе координат () имеем:

.

Из этих формул имеем:

,

так как

.

Поэтому

 и

.

Итак, . (1)

Определение. Будем говорить, что задана операция ковариантного дифференцирования (взятия градиента) тензоров любого типа, если в любой системе координат (z¹, …, zⁿ) задан набор функций , который при замене координат z = z() преобразуется по формуле (1). Величины называются символами Кристоффеля.

Операция ковариантного дифференцирования называется также дифференциально-геометрической связностью. Связность называется евклидовой, если существуют такие координаты (х¹, …, хⁿ), что , то есть в этих координатах. Такие координаты называются также евклидовыми. Операцию ковариантного дифференцирования обозначим символом : .

Пусть в каждой системе координат (х¹, …, хⁿ) заданы величины . Зададим ковариантную производную векторных и ковекторных полей. Покажем, что закон преобразования (1) при заменах координат для величин определяется исходя из требования, что результат операции ковариантного дифференцирования есть тензор.

Теорема 3. При замене координат величины преобразуются по формуле: .

<Доказательство. Так как есть тензор , то

.

Следствие 1. Символ преобразуются как тензор только при линейных или аффинных преобразованиях координат хⁱ = хⁱ(,…,), где .

Следствие 2. Альтернированное выражение образует тензор, который называется тензором кручения.

Доказательство. Из формулы в условии теоремы видно, что при перестановке индексов и слагаемое не изменится. Поэтому закон преобразования для не будет содержать этого слагаемого, то есть будет тензорным.

Определение. Связность называется симметричной, если тензор кручения тождественно равен нулю, то есть .

Ковариантное дифференцирование тензоров любого ранга однозначно определяется следующими требованиями:

1) ковариантное дифференцирование есть линейная операция;

2) ковариантная производная тензора нулевого ранга, есть обычная производная ;

3) ковариантная производная векторного и ковекторного полей определяется формулами: ; .

4) ковариантная производная произведения:

Теорема 4. При выполнении перечисленных выше условий 1-4 ковариантная производная тензоров второго ранга задаётся следующими формулами:

, ,

.

Для тензоров типа (p, q) ковариантная производная вычисляется по формуле:

.

<Доказательство. Проведём для тензоров типа (0, 2). Пусть - базисные векторные поля, - базисные ковекторные поля. Поэтому имеем:

, .

Любой тензор . Тензор типа (0, 2): . Тогда

=.

Значит, компоненты тензора имеют вид: , а это и есть по определению.

Пусть задан вектор в некоторой точке P. Производная тензора по направлению определяется формулой: . Это есть тензор того же типа в точке Р. Пусть теперь в пространстве заданы координаты (х¹, …, хⁿ), ковариантное дифференцирование и произвольная кривая на некотором отрезке .

Определение. Будем говорить, что векторное (тензорное) поле Т ковариантно постоянно или параллельно вдоль кривой на отрезке , если ковариантная производная этого поля Т в точках кривой по направлению вектора скорости этой кривой равна нулю:

,.

Пример. Если мы двигаемся вдоль кривой и если производная функции f по направлению вектора скорости этой кривой равна нулю, то функция не меняется вдоль кривой:

, где ,

то .

Для векторных полей мы имеем:

.

Понятие параллельности зависит от кривой. Исключение представляет лишь евклидова геометрия: в евклидовых координатах (х¹, …, хⁿ) определяются параллельные векторные поля, имеющие постоянные компоненты в этих координатах. Эти поля параллельны вдоль любой кривой. Так как результат ковариантного дифференцирования не зависит от выбора координат, то те же поля будут параллельны в любой системе координат (z), хотя у них в новой системе координат компоненты будут зависеть от точки. Итак, понятие параллельности векторов в разных точках зависит как от способа ковариантного дифференцирования, так и от пути, соединяющего эти две точки.

Определение. Параллельным переносом вектора из точки в точку вдоль кривой , , ведущей из Р в Q, называется векторное поле , которое задано во всех точках кривой и параллельно вдоль этой кривой: , .

При векторное поле в точке Р должно совпадать с исходным вектором . При векторное поле в точке Q есть вектор , называющийся результатом переноса вектора вдоль заданной кривой из Р в Q. В координатах (х¹, …, хⁿ) получаем:

.

Это есть уравнение параллельного переноса.

Из теории дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что вдоль любой фиксированной гладкой кривой результат параллельного переноса существует, однозначно определяется начальным вектором и линейно зависит от начального вектора .

Если связность евклидова, то есть для них в евклидовых координатах, то уравнение параллельного переноса имеет вид: . Значит, в евклидовой геометрии и евклидовых координатах параллельными вдоль любой кривой являются векторы, прикреплённые к разным точкам и имеющие одинаковые компоненты. В любых координатах результат параллельного переноса вектора вдоль кривой не зависит от кривой, если геометрия евклидова.

Рассмотрим линии, являющиеся аналогом прямых для случая произвольной связности. Это геодезические линии.

Определение. Линия называется геодезической, если её вектор скорости параллелен вдоль неё самой, то есть . В координатах имеем, что

. (2)

Если , то решениями этого уравнения есть обыкновенные прямые линии, как и должно быть в евклидовой геометрии. Для произвольной связности уравнение (2) есть система дифференциальных уравнений второго порядка. В окрестности точки существует единственное решение этого уравнения с начальными условиями , , , для любых и по теореме существования и единственности. Поэтому в некоторой окрестности любой точки Р и для любого вектора в этой точке существует единственная геодезическая линия связности , которая начинается в точке Р с начальным вектором скорости .

Приведем еще одно определение геодезической линии (рис. 46).

Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если её главная нормаль во всех точках линии совпадает с нормалью к поверхности.

Прямая линия считается геодезической, так как любая нормаль к прямой может быть принята за главную. На сфере геодезическими линиями являются окружности больших кругов, т. к. главная нормаль такой окружности в каждой её точке проходит через центр сферы и совпадает с нормалью к сфере. Выведем формулу для нахождения геодезической линии.

Пусть задана поверхность , а геодезическая линия на поверхности задана уравнениями и . Будем считать, что поверхность отнесена к ортогональной системе координат, то есть

, , . (3)

Вектор направлен по главной нормали к линии, а так как линия геодезическая, то он перпендикулярен касательной плоскости поверхности.

Таким образом, ; .

Вектор ;

.

Умножим последнее равенство сначала на , а потом на поочерёдно.

.

Дифференцируем по u и v равенства (3):

; ; ; ;

; .

Из последних равенств имеем, что:

; ; , ; ;

Следовательно,

(4)

(5)

При интегрировании (4) и (5) следует учесть, что

или (6)

Уравнения (4), (5), (6) позволяют выразить вдоль геодезической координаты u, v как функции от параметра . Более простым уравнением является следующее дифференциальное уравнение, непосредственно связывающее u и v:

; : .

С помощью этих равенств находим из 4) и 5)

.

Согласно теории дифференциальных уравнений последнее равенство определяет однозначно v как функцию от u, если при некотором u = u₀ будут заданы значения v = v₀ и . Так как задаёт направление геодезической, то через каждую точку поверхности в данном направлении проходит одна и только одна геодезическая линия.

Мы встретились с двумя определениями евклидовых координат:

1) координаты евклидовы, если метрика в них имеет евклидов вид ;

2) координаты евклидовы, если компоненты связности в этих координатах нулевые: , .

Понятие связности и понятие римановой метрики не связаны между собой. Однако существует способ сопоставить метрике связность.

Определение. Связность называется согласованной с метрикой , если ковариантная производная метрического тензора тождественно равна 0: , .

Связности, согласованные с данной метрикой, описываются следующей теоремой.

Теорема 5. Если метрика невыраждена (то есть ), то существует и единственна связность, симметричная и согласованная с этой метрикой . Эта связность в любой системе координат (х¹, …, хⁿ) задаётся формулами: - формулы Кристоффеля.

<Доказательство. По определению , - (1). Решим это уравнение относительно . По определению опускания индекса имеем . Тогда .

Здесь , . Переставляя циклически индексы , получим, что

= , = , =, и в силу симметричности связности. Поэтому, . Поднимая индекс , получаем требуемую формулу. >

Следствие. Если координаты выбраны так, что в данной точке все первые производные от равны нулю, то в этой точке символы Кристоффеля равны нулю (для симметричной связности, согласованной с метрикой).

Для векторных полей мы имеем в любых координатах (х¹, …, хⁿ

.

Составим выражение . После сокращения получаем:

.

Обозначим . Тогда получаем формулу:

,

где - тензор кручения. называется тензором Римана или римановой кривизной. Для симметричных связностей . Таким образом, в симметричном случае имеет место

Теорема 6. Для симметричных связностей и для любого векторного поля выражение имеет вид: , где - тензор Римана:

.

Если связность евклидова, то . В точках, где , верно равенство

.

Тензор кривизны обладает следующими свойствами:

1) ;

2) для симметричной связности имеет место ;

3) для связности, согласованной с метрикой , введём тензор

. Тогда ;

4) для тензора кривизны симметричной связности, согласованной с метрикой , имеется симметрия .

Отметим, что, если тензор Римана не обращается в нуль, то нельзя ввести евклидовы координаты, в которых и .

Размещено на Allbest.ru

...