Евклидовы и псевдоевклидовы пространства
Понятие системы координат в геометрии. Анализ примеров положительного и неположительного скалярного произведения векторов четырехмерного пространства. Псевдоевклидово пространство, особенности его движения. Кривые в псевдоевклидовом пространстве.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.09.2017 |
| Размер файла | 391,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
59
Размещено на http://www.allbest.ru/
Евклидовы и псевдоевклидовы пространства
Содержание
- Тема. Риманова и псевдориманова метрика
- Тема. Псевдоевклидово пространство
- Тема. Движение псевдоевклидового пространства
- Тема. Кривые в псевдоевклидовом пространстве
Тема. Системы координат
Школьная геометрия изучает различные метрические свойства простейших геометрических фигур, то есть в основном находит соотношения между длинами и углами треугольников и многоугольников, а также на базе этого вычисляются площади, поверхности и объёмы некоторых тел. Центральными понятиями, на которых строится геометрия, являются длина отрезка или кривой, угол между двумя пересекающимися линиями.
Целью аналитической геометрии было описание геометрических фигур при помощи уравнений в декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве. Дифференциальная геометрия изучает то же, но в ней глубоко будут использоваться как средства аналитической геометрии, так и дифференциального исчисления и линейная алгебра.
Итак, геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из точек P, Q, R, …. В это пространство введём декартовы координаты (х1, …, хn), то есть поставим в соответствие каждой точке пространства определённые наборы чисел (х1, х2, …, хn), которые будем называть координатами. Число координат есть размерность пространства. Потребуем также, чтобы разным точкам соответствовали разные наборы чисел. Две точки P (х1,…, хn) и Q (y1, …, yn) совпадают тогда и только тогда, когда хi = yj, для всех i = 1, …, n. И наоборот, каждому набору чисел (х1,…, хn) должна соответствовать какая-либо точка изучаемого пространства. Такое пространство называется декартовым.
Пример. Пусть n = 3.
1) Пусть каждой точке Р соответствуют три её координаты (х1, х2, х3);
2) P (х1, х2, х3), Q (y1, y2, y3), |PQ|2 = ?2 =.
Если условия 1 и 2 выполняются, то пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами, называются евклидовыми координатами. С точками евклидова пространства свяжем векторы:
Р
- радиус-вектор
О
Точка О - начало координат. Вектор, идущий из точки О в изучаемую точку Р, называется радиус-вектором этой точки. Декартовы координаты (х1,…, хn) точки Р, называются координатами вектора. Пусть = (хi), = (yi), = (хi + yi). Можно также вектор умножить на число. ?1 = (1, 0, 0), ?2 = (0, 1, 0), ?3 = (0, 0, 1) - единичные векторы. Если = (х1, х2, х3), то = х1?1 + х2?2 + х3?3. Для любых n аналогично. Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как линейное или векторное пространство, в котором расстояние между точками (концами радиус-векторов) = (хi), = (yi) измеряется ?2 = .
Определение. Евклидовым скалярным произведением векторов = (хi), = (yi), называется число = = , i = 1, 2, …, n (рис.22). Следовательно,
-
Рисунок 2
, , то |.
Из аналитической геометрии известно, что cos = . Таким образом, длины и углы связаны с понятием скалярного произведения. Это понятие будет взято за первичное, на котором строится геометрия.
Пусть в евклидовом пространстве задана кривая в параметрической форме хi = (t), i = 1, 2, …, n, где f i (t) - дифференцируемые функции от параметра t, а . Касательным вектором или вектором скорости кривой в момент времени t мы определяли вектор . Кривая называется регулярной, если её вектор скорости отличен от нуля в каждой точке этой кривой.
Определение. Длиной линии называется число ? = . Пусть хi = (t) и хi = gi (t) - две линии, которые пересекаются при . , - касательные векторы в точке .
Определение. Углом между двумя линиями в точке их пересечения при заданном аргументе называется угол между векторами , то есть cos = .
Можно выбрать параметр t так, чтобы , где - константа. Тогда . Такой параметр t, что , мы называли натуральным параметром - он равен длине линии, которую мы пробегаем.
В евклидовой геометрии будет встречаться лишь положительное скалярное произведение вектора самого на себя.
= х1 х1 + х2 х2 + … + хn хn,
.
Приведём пример неположительного скалярного произведения векторов четырёхмерного пространства: (х1, х2, х3, х0 = ct). Это пространство играет важную роль в специальной теории относительности. Пусть
= (х1, х2, х3, х0), = (y1, y2, y3, y0). Тогда = х1 y1 + х2y2 + х3y3 - х0y0.
Такое пространство называется псевдоевклидовым или пространством Минковского.
В этом пространстве существуют векторы трёх типов:
1) пространственноподобные векторы: > 0;
2) времениподобные векторы: < 0;
3) световые векторы: = 0.
Здесь длины векторов могут оказаться мнимыми или нулевыми.
Определение. Областью без границы называется совокупность точек в трёхмерном пространстве такая, что вместе с любой точкой из этой совокупности ей принадлежат все достаточно близкие к ней точки пространства.
Область с границей получается, если добавить к области без границы её предельные точки (то есть точки, которые можно достичь изнутри области сходящимися к ним последовательностями внутренних точек). Область без границы: , с границей: . Всё пространство - область.
псевдоевклидово пространство координата кривая
Определение. Градиентом функции f (х1,…, хn) в точке P (, …, ) в заданной декартовой системе координат евклидова пространства (или его области) называется вектор grad f | p = = , где - базисные орты.
Если рассматривать градиент как функцию от заданной точки P, то мы получаем векторное поле, то есть когда в каждой точке пространства или его области задан вектор, прикреплённый к этой точке.
Пусть заданы теперь в пространстве функция f (х1, …, хn) и некоторая кривая xi = xi (t), i = 1, …, n, . С какой скоростью изменяется функция f (х1 (t)), …, f (хn (t)) = (t) при изменении параметра t?
Найдем
, где ,
, - базисные орты.
Определение. Производной функции f (x1, …, xn) по направлению вектора = (y1,…,yn), вычисленной в точке P = (), называется скалярное произведение градиента функции f, вычисленного в точке Р, на вектор .
Обозначается ,
Теорема. Если задана кривая xi = xi (t), i = 1, …, n, такая, что в точках этой кривой скалярное произведение градиента f и вектора скорости равно нулю, то функция f постоянна вдоль этой кривой.
<Доказательство. Если xi = xi (t) - кривая, , то , где - вектор скорости кривой. Так как , то , - const. >
Общеизвестны следующие типы координат (рис.23):
1) декартовы координаты (x1, …, xn);
2) на плоскости - полярные координаты (r, ); x = r cos, y = r sin;
3) цилиндрические координаты (r, , z); z = z, x = r cos, y = r sin, то есть полярные координаты в плоскости 0ху;
4) сферическая система координат (r, , ); z = r cos, x = r sincos, y = r sinsin.
1) y 2)
M(r, )
М(х, у) r
0 x 0
3) z 4) z
М(r, , z)
z M(r, , )
0
0 y r y
r
x x
Рисунок 3
Пусть заданы декартовы (первичные) координаты (x1, …, xn). Пусть теперь заданы и какие-то другие координаты в той же области (z1, …, zn). Это значит, что каждая хi = xi (z1, …, zn) или zi = zi (x1, …, xn).
Значит, каждой точке области можно сопоставить как набор первичных координат (х) = (хi), так и набор новых координат (z) = (zj). Поэтому декартовы координаты можно выразить через новые и наоборот. Пусть xi =, i = 1, …, n - линейная замена координат в пространстве. А чтобы теперь выразить z через х, необходимо и достаточно, как известно из линейной алгебры, чтобы матрица А = имела обратную матрицу: А-1 = В = (). Обратная матрица В определяется так: В = (), где ; ; - единичная матрица.
Условимся делать такую запись: =, где суммирование будет производиться по двум входящим в эту формулу индексам.
Итак, если точке P соответствовал набор координат (x1, …, xn), то в новых координатах этой точке будет соответствовать набор (z1, …, zn), причём xi = , i = 1, …, n, где .
Рассмотрим произвольные координаты хi = xi (z1, …, zn), i = 1, …, n и точку P = (, …, ). Предположим, что координаты определяют каждую точку в нашем пространстве, то есть любому набору чисел (, …, ) соответствует хотя бы один набор (, …, ) такой, что = (, …, ).
Определение. Точка P = (, …, ) называется неособой точкой системы координат (z1, …, zn) при zi = , где i = 1, …, n и = xi (, …, ), тогда и только тогда, если . Эта матрица и называется матрицей Якоби, а J = называется якобианом. Известно, что если x = Az, х = (хi), , z = (zi), где xi = , , i = 1, …, n, то z = Bx, где В есть обратная матрица по отношению к матрице А. Поставим вопрос: вычислить длину кривой в общих координатах z, где , , - декартовы координаты. Кривая , или , , ? = , где - вектор скорости.
. Так как
, , то ,
, , ,
, .
,где
, .
Итак, для любого n можно записать, что
, где .
Координаты z1, …, zn называются евклидовыми, если длина вектора в них выражается формулой , где .
Если , то необходимо и достаточно для евклидовости координат, чтобы выполнялось условие: .
Выясним, как преобразуются компоненты матрицы G при переходе к новым координатам. Пусть в системе (х) , . В системе (Z) , . Пусть заданы новые координаты (у) в той же области и , i = 1, 2, …, n. Пусть . Векторы , в координатах имеют тогда компоненты , , причём , (*). Пусть матрица, дающая выражение для скалярного произведения в координатах (у), равна . Это значит, что . Используя (*), имеем:
Тема. Риманова и псевдориманова метрика
Пусть задано пространство (или область) с декартовыми координатами (xi) и заданы новые координаты (zi), xi = xi (z1,…zn), причём новая система не имеет особых точек. Мы показали, что . Значит, в координатах (z) имеем для скалярного произведения формулу о1о2 =. Риманова метрика в области пространства с произвольными регулярными координатами (z) задаётся набором функций , причём если задана кривая , i = 1, …, n, то квадратом длины её вектора скорости в точке называется число .
Определение. Будем говорить, что набор функций задаёт риманову метрику в координатах (z), если при любых (z1, …, zn) форма положительна. Если det () 0, но указанная форма знаконеопределённая, то будем говорить, что набор задаёт псевдориманову метрику.
Определение. Длиной кривой по отношению к римановой или псевдоримановой метрике будем называть число ? .
Если заданы новые координаты (у) в той же области такие, что zi = zi (y), , то в новых координатах (у) риманова метрика определяется набором функций (у), где (у) = (у) и . На матричном языке , где . , .
Определение. Будем говорить, что метрика евклидова, если найдутся новые координаты (x1, …, xn), xi = xi (z1, …, zn), , такие, что . В координатах (x1, …, xn) имеем , и координаты (х) называются евклидовыми.
Мы всегда требуем, чтобы или ещё говорят, чтобы метрика была невырожденной. Если матрица ( (z)) определяет положительную квадратичную форму, то есть длины всех ненулевых векторов положительны, то мы говорим, что задаёт риманову метрику. Если , но форма знакопеременная, то будем говорить, что имеется псевдориманова метрика.
Важен случай при n = 4 и форма в каждой точке (, …, ) может быть приведена к виду: . Это такие метрики, на которых построена общая теория относительности.
Определение. Линейное вещественное пространство размерности n называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана билинейная форма оз = - о1з1 - … - оsзs + оs+1зs+1 + …+ оs+q=nзs+q=n.
Если s = 0, то получаем евклидово пространство Rn. Выше приведенное пространство будем обозначать .
Пространство является пространством специальных теорий относительности и называется пространством Минковского.
Длина вектора в псевдоевклидовом пространстве определяется следующей формулой: , где
.
Тема. Псевдоевклидово пространство
В отличие от пространства Rn в пространстве длины векторов могут быть нулевыми и мнимыми. В пространстве Rn совокупность всех точек , таких что образует (n - 1) - мерную сферу, Sn-1 (гиперсфера). В псевдоевклидовом пространстве также рассматривается множество точек , удаленных от начала координат на расстояние , где может быть действительным, мнимым числами или нулём. Это множество точек называется псевдосферой индекса S и обозначается . Будем различать псевдосферы действительного, мнимого и нулевого радиусов. Псевдосфера нулевого радиуса имеет уравнение: - (о1) 2 - (о2) 2 - … - (оs) 2 + (оs+1) s + …+ (оs+q=n) 2 = 0. Это есть конус второго порядка в пространстве с вершиной в начале координат. Все векторы, выходящие из начала координат и лежащие на этом конусе, имеют нулевую длину. Векторы, лежащие вне этого конуса, имеют длину, отличную от нуля.
Псевдосфера нулевого радиуса называется изотропным или световым конусом. Векторы, лежащие внутри конуса, имеют положительный квадрат длины, > 0 и, называются времениподобными, а векторы лежащие вне этого конуса имеют отрицательный квадрат длины, < 0, и называются пространственноподобными. Векторы, лежащие на изотропном конусе, называются изотропными или световыми, = 0.
Примеры.
1) Пусть n = 1, s = 0. совпадает с обычной вещественной прямой.
2) Пусть n = 2, s = 1 и пусть заданы декартовы координаты (х1, х2). Тогда получаем изотропный конус - (х1) 2 + (х2) 2 = 0 х1 = х2. Этот конус разбивает пространство R2 на две области. В одной из них скалярное произведение (оо) 1 > 0, когда > и (оо) 1 < 0, когда < (рис.24).
оо)1> 0
(оо)1< 0 (оо)1< 0
(оо)1> 0
Рисунок 4
Псевдосфера действительного радиуса - это гипербола - (х1) 2 + (х2) 2 = б2 (б= =) и псевдосфера мнимого радиуса - гипербола - (х1) 2 + (х2) 2 = - б2 (= бi) (рис.25).
х2
= 0
= бi
х1
= б
Рисунок 5
3) Пусть n = 3, s = 1. Изотропный конус (псевдосфера нулевого радиуса) является обычным конусом второго порядка с осью х1:
(х1) 2 + (х2) 2 + (х3) 2 = 0.
Он разбивает всё пространство на две области: внутреннюю и внешнюю (рис.26).
х2
v(оо)1 > 0
(оо)1 < 0
0 х1
х3
Рисунок 6
Псевдосферы вещественного радиуса - это однополостные гиперболоиды: - (х1) 2 + (х2) 2 + (х3) 2= б2 (б =), а псевдосферы мнимого радиуса - это двуполостные гиперболоиды: - (х1) 2 + (х2) 2 + (х3) 2= - б2 (= бi) (рис.27).
= б
= 0
0
= бi
Рисунок 7
Изучим метрические свойства пространства . Это пространство будем моделировать в пространстве R3. Через (х, у, z) обозначим декартовы координаты пространства R3. Тогда псевдоскалярное произведение имеет вид (оо) 1 = - х2 + у2 + z2.
Гиперсферой или псевдосферой мнимого радиуса в пространстве является двуполостный гиперболоид - 2 = - х2 + у2 + z2. Так как этот гиперболоид вложен в R3, то можно сказать, что геометрия пространства индуцирует некоторую геометрию на гиперболоиде или с точки зрения римановой метрики метрика пространства индуцирует некоторую метрику на гиперболоиде.
Рассмотрим гиперболоид - 2 = - х2 + у2 + z2, х > 0 (рис.28).
z
0 x
аx + by + cz = 0
у
Рисунок 8
Точками индуцированной на гиперболоиде геометрии мы назовём обычные точки гиперболоида, а прямыми индуцированной геометрии назовём всевозможные линии на гиперболоиде, которые получаются при пересечении гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0, проходящими через начало координат. Установим соответствие между геометрией на гиперболоиде и геометрией в круге на евклидовой плоскости. Такое преобразование называется стереографической проекцией.
N R2
x
S2
O f(x)
Рисунок 9
Плоскость R2 проходит через центр О сферы S2 и стереографическая проекция f: S2 R2 сопоставляет каждой точке х, не совпадающей с северным полюсом N сферы, точку f (x) - точку пересечения луча Nx с плоскостью R2 (рис.29).
При этом северному полюсу соответствует бесконечно удалённая точка расширенной комплексной плоскости. Стереографическая проекция псевдосферы на плоскость определяется подобным же образом. Центром псевдосферы = {-2 = - х2 + у2 + z2} является начало координат О. Северный полюс есть точка с декартовыми координатами (, 0, 0). Плоскость, на которую осуществляем проекцию, есть плоскость YOZ. Так как мы рассмотрели только одну часть гиперболоида х > 0, то образ этой плоскости при проекции f покрывает не всю плоскость R2 = YOZ, а только открытый круг радиуса .
Теорема. Пусть (x, y, z) - координаты точки х є (х > 0), и пусть (u1, u2) - координаты точки f (x) є YOZ, где f - стереографическая проекция.
Тогда
,
,
.
Доказательство.
Сечение гиперболоида плоскостью, проходящей через ось ОХ, имеет следующий вид:
y
x
Рисунок 10
Тогда из рисунка 30 видно, что
, , , .
Так как , то подставляя y и z в это уравнение, получим, что
.
Аналогичное доказательство для у и z.
При стереографической проекции f: > (y2 + z2 <2) = D2 точки гиперболоида переходят в точки двумерного круга D2 радиуса . В какие кривые на круге D2 перейдут прямые геометрии на гиперболоиде, то есть линии пересечения гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0?
Теорема. Каждая линия пересечения плоскости ax + by + cz = 0 переходит при отображении f в дугу окружности, пересекающую окружность y2 + z2 = 2 под прямым углом.
Доказательство. Для доказательства достаточно подставить в уравнение плоскости ax + by + cz = 0 выражение х, у, z через , , .
Тогда
- окружности с центром в точке и , пересекающая окружность в точках А и В под прямым углом .
Итак, геометрия, индуцированная на псевдосфере геометрией псевдоевклидового пространства , совпадает с геометрией, возникающей в круге радиуса на евклидовой плоскости R, если в качестве точек этой геометрии взять обычные точки этого круга, а в качестве прямых этой геометрии взять дуги окружностей, пересекающих границу круга под прямым углом.
Геометрия, индуцированная на псевдосфере геометрией , называется геометрией Лобачевского, а её модель в круге радиуса на евклидовой плоскости называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский получил свою геометрию без псевдоевклидовых пространств. Если > ?, то геометрия Лобачевского превращается в обычную геометрию Евклида.
Можно рассматривать ещё одну геометрию на сфере, в которой “точками ” являются обычные точки сферы : , а “прямыми” являются всевозможные экваторы сферы R2 (пересечение со всевозможными плоскостями, проходящими через центр сферы). Если в качестве точек взять пары (х, - х), где х пробегает всю , то в этой геометрии будут выполнены все постулаты Евклида, кроме аксиом порядка и пятого постулата.
Подведем некоторые итоги.
Пусть задано пространство (область) с декартовыми координатами (х1,…, хn) и заданы новые координаты (z1, …, zn), xi = xi (z1, …, zn), х = х (z), причём новая система координат не имеет особых точек. - якобиан. Если длина кривой xi = xi (t) измерялась по формуле , то мы имеем дело с евклидовыми координатами. В новых координатах (z) имеем , i = 1, …, n. Длина той же самой кривой в новых координатах , где xi = xi (z1 (t),…, zn (t)) и ; . Поэтому , где . Заметим, что - вектор скорости кривой в новых координатах. - тот же самый вектор в старых координатах: , . Если имеются две кривые и , i = 1, …, n, пересекающиеся в одной точке , - угол между их векторами скорости, то , где , . В координатах (z) для скалярного произведения имеем формулу: , i = 1, …, n. Риманова метрика в области пространства с регулярными координатами z1,…, zn задаётся набором функций , причём, если задана кривая , i = 1, …, n, то квадратом длины её вектора скорости в точке называется число .
Набор функций адаёт риманову метрику (в координатах (z1, …, zn)), если при любых z1, …, zn форма положительна. Если det () 0, но указанная форма знакопеременная, то говорят, что набор задаёт псевдориманову метрику. Если заданы новые координаты у1,…, уn, такие что zi = zi (у1, …, уn), , то в новых координатах у1, …, уn риманова метрика определяется набором функций (у1, …, уn), = , где . На матричном языке , где , , .
Метрика евклидова, если найдутся новые координаты x1, …, xn, xi = xi (z1, …, zn), , такие, что . В координатах x1, …, xn имеем , и координаты x1, …, xn называются евклидовыми.
Линейное вещественное пространство размерности n называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана билинейная форма . Если s = 0, то получаем евклидово пространство. Псевдоевклидово пространство индекса s обозначается . Пространство является пространством специальных теорий относительности и называется пространством Минковского. Длина вектора в псевдоевклидовом пространстве определяется следующей формулой: .
Тема. Движение псевдоевклидового пространства
Изучим несколько подробнее псевдоевклидово пространство. Рассмотрим движение псевдоевклидовой плоскости . Предположим, что это движение оставляет неподвижным начало координат. И пусть в n-мерном пространстве заданы две области: с координатами (х1, …, хn) = (x) и с координатами (z1, …, zn) = (z). И пусть каждой точке области поставлена в соответствие точка области , так, что хi = xi (z1, …, zn). Если координаты z1, …, zn можно выразить через х1, …, хn, то есть zj = zj (x1,…,xn), j = 1, 2, …, n, то будем говорить, что задано преобразование области в области При этом требуется, чтобы функции zi (х) и обратные им функции zj (х) были гладкими. Пусть теперь в области имеется риманова или псевдориманова метрика, которая задаётся в координатах х1, …, хn симметричной невырожденной матрицей . Если задано преобразование хi = xi (z), то в координатах (z) эта же метрика задаётся матрицей , где . Определение. Преобразование хi = xi (z) называется движением данной метрики, если . Так как мы изучаем движение псевдоевклидовой плоскости, то рассматриваемое движение задаётся матрицей
, (1)
где (х0, х1) - псевдоевклидовы координаты, . Метрика в этих координатах имеет вид: . Так как преобразование (1) является движением, то
. (2)
Учитывая, что и определитель произведения равен произведению определителей, получаем: , det A = ±1. Таким образом, из равенства (2) имеем:
.
Полагаем, что а0. Пусть , , , , , . Рассмотрим , , , , , , , , , .
Здесь знак а совпадает со знаком с, а знак b - со знаком d.
.
Если обозначим = tgц, тогда chц = ,
shц = . Итак,
. (3)
Множество преобразований (1) псевдоевклидовой плоскости с матрицей А вида (3) образует группу, которая называется группой гиперболических поворотов или псевдоортогональной группой и обозначается О (1, 1):
.
Определение. Преобразования с матрицами А0, А3 называются собственными движениями псевдоевклидовой плоскости, а с матрицами А1, А2 называются ортохронными преобразованиями.
Рассмотрим преобразование (1) в случае, когда А = А0, тогда
; . Так как , , , , то
, .
Найдём выражения и через и :
;
,
, .
Аналогично можно получить, что .
Выясним физический смысл параметра . Пусть в системе координат Y находится в состоянии покоя заданная точка М - начало координат. В этом случае y = 0. А это значит, что . Но есть скорость точки М в системе координат Х, равная скорости в системе координат Y относительно Х. Значит .
Итак, ; ; ; - преобразования Лоренца.
Приведем некоторые интересные выводы.
1 Замедление времени.
Пусть в системе координат Х на неподвижных часах происходит время Дt = t2 - t1. Найдём значения и , соответствующие соответственно и , в одной и той же точке с абсциссой в системе координат Y. Из формул преобразования Лоренца имеем, что ; ; .
Отсюда следует, что . Таким образом, движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов.
2 Сокращение длин.
Пусть в системе координат Х находится стержень, длина которого ?, где х1 - координаты начала стержня, х2 - координаты конца стержня, то есть ? = х2 - х1. Если координаты концов этого стержня в системе координат Y измерены в один и тот же момент времени , равный, и , то, используя формулы преобразования Лоренца, имеем, что
; ;
.
Таким образом, длина стержня в той системе отсчёта, относительно которой этот стержень движется, меньше, чем его длина ? в той системе отсчёта, относительно которой он находится в состоянии покоя.
Тема. Кривые в псевдоевклидовом пространстве
Параметризованной кривой в евклидовом пространстве R3 называется отображение r: I > R3, где t > (x (t), y (t), z (t)).
Пусть задано трёхмерное псевдоевклидово пространство . Векторы ортонормированного репера удовлетворяют условию: , , i, j = 0, 1, 2, , i = 1, 2.
Координаты любой точки в этом репере будем обозначать так: a = (х0, х1, х2), х0 = ct, х1 = х, х2 = y, так как - подпространство Минковского. В векторном пространстве , связанным с точечным пространством , существуют времениподобные, пространственноподобные и изотропные векторы. В зависимости от того, каким будет в каждой точке кривой вектор касательной, кривые в пространстве также будем называть времениподобными, пространственноподобными и изотропными.
Определение. Отображение r: I > : t > (x0 (t), х1 (t), х2 (t)) будем называть параметризованной кривой в псевдоевклидовом пространстве и обозначать (t) = (x0 (t), х1 (t), х2 (t)).
Определение. Параметризованная кривая называется времениподобной n-параметризованной кривой, если . Будем обозначать через у натуральный параметр, а n-параметризованную кривую будем записывать в виде: (у) = (x0 (у), х1 (у), х2 (у)).
Найдём производную: , где . Из этого равенства получаем, что . С другой стороны = - + + + . Итак, = - - . Так как х0 = ct, х1 = х, х2 = y, то = c2 (dt) 2 - (dx) 2 - (dy) 2. Следовательно, , где . Тогда длина дуги времениподобной кривой, в теории специальной относительности называется собственным временем частицы.
Определение. Времениподобная кривая называется регулярной, если и бирегулярной, если .
Определение. Вектором кривизны времениподобной n-параметри-зованной кривой в точке у называется вектор , а кривизной - величина .
К каждой точке времениподобной кривой прикрепим правый ортонормированный репер: , . Третий вектор должен быть ортогонален векторам и , . Чтобы его определить, введём в пространстве векторное произведение двух векторов так, чтобы для векторов ортонормированного базиса выполнялись следующие условия: (рис.31).
Рисунок 11
Для векторов должны выполняться соотношения (рис.32):
`
Рисунок 12
Репер называется репером Френе кривой r = r (у) в точке у, где - вектор касательной, - главная нормаль, - бинормаль. Плоскость, содержащую вектора и , будем называть соприкасающейся, плоскость, содержащую вектора и , - нормальной, а вектора и - спрямляющейся:
- соприкасающаяся плоскость,
- нормальная плоскость,
- спрямляющаяся плоскость.
Выведем аналог формул Френе для времениподобной кривой. Так как , то , . Так как репер Френе правый ортонормированный репер, то для него выполнимы равенства: ; ; ; . Нужно найти . Вектор ортогонален векторам и , то есть он коллинеарен вектору : так как , то есть ; . Значит, что .
Таким образом, ; . Так как , то
-ж+ ж.
Итак, , - формулы Френе времениподобной n-параметризованной кривой.
В этих формулах функции k (у) и ж (у) назовём кривизной и кручением. Найдём формулы для их вычисления: ; ; + k ж. Найдём векторное произведение: , то есть . Найдём теперь произведение
ж = .
Таким образом,
.
Пусть кривая имеет другую эквивалентную параметризацию, отличную от n-параметризации, то есть пусть (t) = (x0 (t), х1 (t), х2 (t)), где t = t (у) - функция перехода, то есть . Тогда ; ; .
Подставив полученные формулы в выражения для вычисления кривизны и кручения, получаем: . , то есть , т.к. . Тогда
,
Итак, кривизна:
, кручение: .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.
контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения.
статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.
курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Этапы развития теории описания пространства, сущность принципа относительности, сформулированного Галилеем. Геометрия Минковского как описание пространства – времени, основные понятия ее описания. Разработка практических занятий по данным темам.
дипломная работа [354,6 K], добавлен 24.02.2010Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Возникновение геометрии как науки о формах, размерах и границах частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. Теорема Пифагора и развитие методов аналитической геометрии Гаусса.
реферат [38,5 K], добавлен 16.01.2010Элементы общей теории многомерных пространств. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля. Евклидово векторное пространство. Четырёхмерное пространство, его пределение и исследование. Применение многомерной геометрии.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 24.02.2010Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 10.01.2014Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009Краткая историческая сводка о системе координат. Криволинейные, полярные и сферические системы координат. Рене Декарт - французский философ, физик и математик. Декартова прямоугольная система координат (на плоскости и в трёхмерном пространстве).
презентация [640,7 K], добавлен 29.06.2010Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Доказательство теоремы о линейно независимой системе векторов в пространстве Rn. Краткое рассмотрение базиса пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса, особенности его представления на плоскости и в пространстве.
презентация [68,5 K], добавлен 21.09.2013Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Понятие метрического и топологического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Вектор-функция скалярного аргумента. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая, замена параметра.
курс лекций [134,0 K], добавлен 02.06.2013Общая теория топологических и векторных пространств, внутренняя логика развития; аксиоматика. Структура построения нормированного пространства; рассмотрение и развитие понятия банахова пространства как определённого типа векторных пространств с нормой.
реферат [14,9 K], добавлен 11.01.2011
