Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 2. Равносильные преобразования уравнений и неравенств с параметрами

1. Равносильность уравнений с параметрами

равносильность уравнение неравенство доказательство

Определение 4. Уравнения и называются равносильными на некотором множестве значений , если на этом множестве их решения совпадают.

Уравнения с параметрами могут иметь одинаковые решения на некоторых множествах пространства параметров и пространства решений . Так уравнения и при имеют одинаковые решения , и являются равносильными на всей области определения. При первое уравнение имеет корни , , второе , . Поэтому они не являются равносильными.

Определение 5. Уравнения и с переменными из пространства и параметрами из пространства , называются равносильными на множестве

,

если для них справедливы следующие условия:

1) на множестве области допустимых значений параметров уравнений и совпадают;

2) для любых допустимых значений параметров из соответствующие частные уравнения и равносильны на множестве .

Так как решение уравнений осуществляется с помощью равносильных преобразований, то чтобы найти решение нужно установить равносильность, а что бы установить равносильность нужно решить уравнение. Поэтому равносильность уравнений устанавливается с помощью ряда теорем.

2. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений

Лемма 1. Если для некоторого выражения , области определения уравнений и совпадают, то эти уравнения равносильны.

Доказательство. Пусть области определения указанных уравнений совпадают, т.е. . Тогда, если решение уравнения , то и по свойству операции сложения .

Теорема 1. Если области определения уравнений с переменными из и параметрами из ,

и

совпадают для некоторого выражения , то эти уравнения равносильны.

Доказательство. По лемме 1 для каждого значения параметров уравнения

и

равносильны, следовательно, и искомые уравнения равносильны на всём множестве .

Следствие 1. В уравнениях с параметрами перенос некоторого выражения с параметрами из одной части в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

Лемма 2. Пусть для некоторого выражения , области определения уравнений и совпадают. Тогда, если на области определения уравнений, то они равносильны.

Теорема 2. Пусть для некоторого выражения с переменными из пространства и параметрами из области определения уравнений и совпадают. Если на области определения , то эти уравнения равносильны.

Доказательство. Пусть области определений искомых уравнений совпадают. Для любых значений из области допустимых значений параметров, по лемме 1, и того, что , имеем равносильные уравнения и . По определению 5 указанные в теореме уравнения равносильны.

Следствие 1. Умножение обеих частей уравнения с переменными из и параметрами из на выражение на множестве упорядоченных значений из области определения уравнения является равносильным преобразованием.

Лемма 1. Уравнение

равносильно системе

Доказательство. Пусть - решение уравнения

тогда и по свойству равенства нулю числовой дроби. Аналогично устанавливается обратное соответствие.

Теорема 3. Уравнение с переменными из и параметрами из вида

равносильно уравнению на множестве .

Доказательство следует из леммы 1.

Из указанных теорем о равносильности преобразований следуют следующие равносильности уравнений с параметрами из .

1) Уравнение , где равносильно уравнению на множестве допустимых значений параметров .

2) Уравнение , где равносильно уравнению на множестве допустимых значений параметров .

3) Уравнение , равносильно уравнению на множестве .

4) Уравнение равносильно уравнению на множестве значений переменных .

5) Уравнение , для и равносильно уравнению на множестве значений переменных .

3. Равносильность неравенств с параметрами

Определение 6. Неравенства и и называются равносильными на некотором множестве , если их решения на этом множестве совпадают.

Так же как и уравнения, неравенства с параметрами могут быть равносильны на одних множествах значений параметров и неравносильны на других.

Определение 7. Неравенства и с переменными из пространства и параметрами из пространства , называются равносильными на множестве

,

если для них справедливы следующие условия:

1) на множестве области допустимых значений параметров неравенств и совпадают;

2) для любых допустимых значений параметров из соответствующие частные неравенства и равносильны на множестве .

4. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств

Теорема 4. Если области определения неравенств с переменными из и параметрами из ,

и

совпадают для некоторого выражения , то эти неравенства равносильны.

Доказательство следует из свойства числовых неравенств .

Теорема 5. Пусть для некоторого выражения с переменными из пространства и параметрами из области определения неравенств

,

,

совпадают

Тогда:

1) если на области определения неравенств , то неравенство (1) равносильно неравенству (2);

2) если на области определения неравенств , то неравенство (1) равносильно неравенству (3).

Теорема 6. Неравенство с переменными из и параметрами из вида

на своей области определения равносильно неравенству .

Доказательство. Действительно, в область определения первого неравенства не входят лишь те из упорядоченных значений переменных области определения второго неравенства, для которых . Но ни одно из таких упорядоченных значений не является решением этого неравенства. Тогда, для каждого упорядоченного набора значений допустимых параметров указанных в теореме равносильность частных неравенств вытекает из числового свойства

.

Из этих свойств следуют равносильности следующих неравенств:

1) Неравенство , где равносильнонеравенству на множестве допустимых значений параметров .

2) Неравенство , где равносильно:

а) неравенству на множестве значений переменных

;

b) неравенству на множестве значений переменных

;

с) неравенству на множестве значений переменных

;

d) неравенству на множестве значений переменных

;

3) Иррациональное неравенство равносильно неравенству на множестве

.

4) Иррациональное неравенство равносильно:

а) неравенству на множестве значений переменных

;

b) неравенству на множестве значений переменных

;

5) показательное неравенство равносильно:

а) неравенству на множестве значений переменных

;

b) неравенству на множестве значений переменных

;

6) логарифмическое неравенство

равносильно:

а) неравенству на множестве значений переменных

;

b) неравенству на множестве значений переменных

.

Размещено на Allbest.ru