Задачи с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Задачи с параметрами

1. Постановка задач с параметрами

1.1 Введение

Понятие функции является одним из основных понятий математики. Исследование зависимости одних явлений от других - главное направление любой научной деятельности. Выявление связей систем и процессов на практике осуществляется на основе функций многих переменных. Так закон движения тела описывается многими факторами, среди которых начальное положение, скорость, влияние различных сил, время и т.д. Модели экономических задач могут содержать сотни и тысячи переменных. Изучение общих свойств таких функций представляет собой сложнейшую задачу. Поэтому в зависимости от ситуации часть переменных может быть представлена в виде основных, часть - в виде дополнительных (параметров). Так, для функции в качестве параметра выступает коэффициент обратной пропорциональности. В физике использование параметров является важным методом исследования. Так в механических системах в качестве таковых может выступать время, коэффициент трения, момент инерции, для тепловых процессов - температура, энтропия, теплоемкость, для электричества - сопротивление, индуктивность, ёмкость и т. д.

В математике параметры могут использоваться для обозначения некоторых совокупностей объектов. Так уравнение с параметрами определяет совокупность всех окружностей. Если , то уравнение охватывает все окружности радиуса 1, при - окружности с центром, лежащим на прямой и радиусом 1.

Уравнения , , , , определяют бесконечные совокупности частных функций для конкретных значений параметров . При этом исследование функций сводится к классификации частных функций с одинаковыми свойствами (, монотонность и т.д.).

Для функции , значениям параметра соответствуют частные функции, свойства которых похожи. Значениям параметра соответствуют частные логарифмические функции другого типа, но так же с похожими свойствами. Это позволяет исследовать логарифмические функции на каждом из множеств и , рассматривая параметр как постоянную величину, а при переходе от одного множества к другому - как переменную величину. Общим для всех параметров является выделение некоторых дополнительных характеристик систем, по изменениям которых оценивается состояние всей системы в зависимости от изменения исследуемых явлений.

1.2 Предмет курса

В курсе задачи с параметрами рассматриваются как обобщение уравнений и неравенств с переменными. Методы их решения в этом случае будут основываться на решениях уравнений и неравенств с одной переменной. Случаи уравнений и неравенств с параметрами и несколькими переменными можно свести к случаю одной переменной, параметризовав часть неизвестных.

Частные уравнения и неравенства, которые получаются при конкретных значениях параметров, можно разбить на типы. Каждому типу соответствует определённое множество значений параметров. На этих множествах методы решений уравнений и неравенств между собой не различаются. Выделения типов осуществляются с помощью параметров, рассматриваемых как переменные величины. Таким образом, особенностью задач с параметрами, в отличии от уравнений с несколькими переменными, является ветвление решения в зависимости от их значений. Одновременное решение бесконечной совокупности частных уравнений или неравенств с учётом требования равносильности преобразований возможно лишь при выработке умений и достаточного высокого уровня логического мышления.

1.3 Постановка общей задачи с параметрами

Определение 1. Уравнение (неравенство ) с переменными называется уравнением (неравенством) с параметром и переменной , если для каждого значения переменной необходимо решить соответствующее частное уравнение (неравенство) с переменной .

Пример 1.

- уравнения и неравенства с переменной и параметром .

В более общих случаях рассматриваются уравнения и неравенства с неизвестными, содержащие параметров. Причем количество неизвестных и параметров теоретически может быть равно и бесконечности.

Пример 2.

- уравнения и неравенства с переменной и параметрами и .

Пример 3. - уравнение с тремя параметрами , - неравенство с четырьмя параметрами, квадратное неравенство

- содержит шесть параметров, уравнение

- содержит параметров.

Множество всевозможных значений параметров из некоторого поля можно рассматривать как некоторое упорядоченное - мерное (или бесконечномерное) векторное пространство над этим полем. Множество же значений основных переменных образуют упорядоченное - мерное (или бесконечномерное) векторное пространство так же над этим полем. Тогда в общем случае определение 1 можно представить в следующем изложении:

Уравнение (неравенство ) с переменными из пространств и называется уравнением (неравенством) с параметрами и переменными , если для каждого возможного значения набора переменных из необходимо решить соответствующее частное уравнение (неравенство) с переменными из .

параметрический задача уравнение неравенство

1.4 Области допустимых значений параметров и область определения

Определение 2. Областью допустимых значений параметров уравнения (неравенства ) называется множество всех значений параметров из пространства , для которых соответствующие частные уравнения (неравенства) определены.

Область допустимых значений параметров обозначается буквой и рассматриваются в пространстве параметров с системой координат , т. е. .

Пример 4. Для уравнения

.

Для неравенства

.

Особое внимание при решении и исследовании существования решений уравнений и неравенств с параметрами играет ограничение возможных значений основных переменных, т. е. область определения. Так в уравнении

для любого допустимого значения параметра , частное уравнение

может быть определено не для всех значений переменной . Например, при значении параметра , соответствующее частное уравнение

не определено для и .

Таким образом, область определения переменной зависит от параметров. Эта область обозначается буквой и рассматривается в пространстве всевозможных решений с системой координат .

Как правило, уравнения и неравенства рассматриваются только на области допустимых значений параметров и области определения.

Определение 3. Областью определения уравнения (неравенства ) с переменными из и параметрами из называется множество всех упорядоченных значений , где переменные принадлежат области допустимых значений параметров , а переменные принадлежат области определения частного уравнения (неравенства ).

Если - область определения уравнения , - область допустимых значений параметров , - область определения частного уравнения , то . Будем обозначать через проекцию множества области определения уравнения (неравенства) на область допустимых значений параметров в пространстве , таким образом .

Уравнения или неравенства с параметрами более удобно обозначать через векторные переменные , . Тогда, например, уравнение с переменными из и параметрами из равносильно записи , где .

Пример 5. Указать область допустимых значений параметров и область определения уравнения

Решение. Очевидно . Тогда и область определения записывается в виде .

В уравнении (неравенстве ) с переменной и параметрами так же возможно, что частные уравнения (неравенства ) определены не для всех упорядоченных значений , т.е. не для всех точек пространства .

Пример 6. Указать область допустимых значений параметров и область определения уравнения

Решение. Записываем область допустимых значений параметров . Тогда область определения , где .

Пример 7. Указать область допустимых значений параметров и область определения уравнения

Решение. Очевидно

.

Множества примера 7 можно изобразить графически в соответствующих координатах. В частности на рис. 1. а изображено множество , на рисунке 1. б - множество , на рисунке 1.в - множество .

Литература

Основная.

1 Родионов, Е.М. Решение задач с параметрами: пособие для поступающих в вузы / Е. М. Родионов. - М.: «Русь-90» 1995.- 160с.

2 Горбачев, В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами / В. И. Горбачев. - Брянск. 1998.- 263с.

3 Пахомов, В.Д. Контрольные работы по математике и методические указания к ним / В. Д. Пахомов. - М.: Изд-во МГУ, 1989.- 88с.

Дополнительная.

1 Самусенко, А.В. Математика: Тесты. Задачи. Решения / А. В. Самусенко, В. В. Казаченок. - Мн.: выш. школа, 2002. - 556с.

2 Чан Хыу Фук, Труш, Н.Н., Воронович, И.И., Синькевич, Д.В. Эффективные методы решения параметрических задач / Чан Хыу Фук, Н. Н. Труш, И. И. Воронович, Д. В. Синькевич. - Мн., 1999.

3 Амелькин, В.В., Рабцевич В.А. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике / В. В. Амелькин, В. А. Рабцевич. - Мн.: «Асар», 1996.-464с.

4 Потапов, М.К. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы / М. К. Потапов [и др.] - М.: Дрофа, 1995.- 336с.

5 Тынянкин, С.А. 514 задач с параметрами / С. А. Тынянкин. - - Волгоград, Волгоградская правда, 1991.- 160с.

6 Марков, В.К. Метод координат и задачи с параметрами / В. К. Марков. - М.: Изд-во МГУ, 1970.- 160с.

Размещено на Allbest.ru