Характеристика и методика определения тензорных полей на многообразии

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Понятие многообразия. Тензорные поля на многообразии

Определение. Дифференцируемым n-мерным многообразием называется произвольное множество точек, в котором введена следующая структура:

1) множество М представлено в виде объединения конечного или счетного числа областей n-мерного евклидова пространства, ;

2) в каждой области заданы координаты , , которые называются локальными координатами. Области при этом называют координатными окрестностями или картами. Пересечение каждой пары этих областей в множестве М, если оно не пусто, само является областью евклидова пространства, в которой действуют две системы локальных координат и . Требуется, чтобы каждая из этих систем локальных координат выражалась через другую дифференцируемым образом:

. (1)

Якобиан det будет отличен от нуля. Функции (1) называются функциями перехода от координат к координатам и обратно. Общий класс гладкости функций перехода для всех пересекающихся пар (p, q) называется классом гладкости самого многообразия М, заданного с помощью «атласа» .

Простейшим примером многообразия является евклидово пространство или любая его область.

Важный класс многообразий составляют ориентируемые многообразия.

Определение. Многообразие М называется ориентированным, если якобианы функций перехода det положительны для всех пересекающихся пар областей. (Например, евклидово пространство с координатами () по определению ориентировано).

Определение. Говорят, что (х) и (у) определяют одну и ту же ориентацию в , если I > 0, и противоположную, если I < 0 (Т. о., евклидово пространство обладает двумя ориентациями).

Пусть заданы два многообразия: (координаты ) и (координаты ).

Определение. Отображение называется гладким класса гладкости k, если функции для всех пар (q, p), когда они определены в областях, где они определены, являются гладкими класса гладкости k. В случае если N есть действительная прямая, N = R, отображение называется числовой функцией f(x), х - точка многообразия М.

Определение. Два многообразия М и N называются гладко эквивалентными (диффеоморфными). если найдется взаимно однозначное и гладкое в обе стороны отображение какого-то класса гладкости , .

Пусть на многообразии М задана кривая , х, х - точка многообразия. Пока кривая находится в области действия локальной системы координат , можно записать кривую в виде:

.

В этих координатах .

В области действия двух координатных систем имеем две записи и , причем .

Для скорости получаем формулу:

.

На основе ее введем:

Определение. Касательным вектором к многообразию М в произвольной точке х называется вектор, записываемый в системе локальных координат () набором чисел ; записи одного и того же вектора в разных системах локальных координат содержащих эту точку, связаны формулой:

.

Касательные векторы к n-мерному многообразию М в данной точке х образуют п-мерное линейное пространство (касательное пространство). В частности, вектор скорости любой гладкой кривой является касательным вектором.

Гладкое отображение f многообразия М в многообразие N определяет индуцированное линейное отображение , при этом вектор скорости кривой x = x(t) на многообразии М переходит по определению в вектор скорости кривой f(x(t)) на многообразии N.

Определение. Римановой (псевдоримановой) метрикой на многообразии М называется положительная (невырожденная) квадратичная форма, заданная на касательных векторах в каждой точке многообразия и гладко зависящая от локальных координат. В каждой области действия локальных координат () метрика задается симметрической матрицей:

,

для любого вектора в точке х.

Определение. Тензор типа (k, l) на многообразий задается в каждой системе локальных координат () набором функций . В других локальных координатах (), содержащих точку х, этот же тензор задается величинами , причем справедлива формула:

.

Все свойства, полученные для тензоров в области п-мерного пространства, переносятся на тензоры на многообразии.

Метрика на многообразии - пример тензора типа (0, 2).

• 2. Основные понятия и формулы
• Геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из точек P, Q,…. В этом пространстве можно обычным способом ввести декартовы координаты. Введение декартовых координат в пространство означает, что каждой точке пространства поставлен в соответствие набор действительных чисел x1, x2, …, xn, называемых ее координатами, причем выполняются следующие свойства: 1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат; 2) каждому набору (x1, x2, …, xn), где xi - любые действительные числа, должна соответствовать какая-то точка изучаемого пространства.
• Пространство, в котором введены декартовы координаты (x1, x2, …, xn) так, что выполняются перечисленные выше свойства, называется n-мерным декартовым пространством и обозначается через Rn. Число n называется числом измерений или размерностью пространства.
• Пусть декартовы координаты в n-мерном пространстве таковы, что если точке P соответствуют ее координаты (x1, x2, …, xn), а точке Q - (y1, y2,…, yn), то квадрат длины прямолинейного отрезка, соединяющего точки P и Q, равен l2 =. Тогда пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами называются евклидовыми координатами.
• С точками евклидова пространства удобно связывать векторы. Вектор, ведущий из начала координат O в изучаемую точку P, называется радиус-вектором этой точки. Декартовы координаты (x1, x2, …, xn) точки P называются координатами вектора. Если заданы два вектора и , то их евклидовым скалярным произведением называется число:
• . (1)
• Оно обладает свойствами:
• 1) ;
• 2) где - любые действительные числа;
• 3) если .
• Декартовы координаты x1, …, xn, в которых скалярное произведение имеет вид (1), называются евклидовыми координатами.
• Пусть U - некоторая область в n-мерном евклидовом пространстве En с декартовыми координатами (x1, x2, …, xn), а - еще одно n-мерное евклидово пространство с декартовыми координатами y1, y2, …, yn. Регулярной криволинейной системой координат в области U евклидова пространства En называется система гладких (т. е. бесконечно дифференцируемых) функций y1(x1, x2, …, xn), …, yn(x1, x2, …, xn), задающая взаимно однозначное отображение f области U на некоторую область V евклидова пространства , причем якобиан:
• этого отображения отличен от нуля во всех точках области U. Таким образом, с каждой точкой P области U сопоставляется набор чисел y1(P),…, yn(P), называемых криволинейными координатами.
• Пусть теперь в области U заданы две криволинейные системы координат y1(P),…, yn(P) и z1(P),…, zn(P). Это означает, что заданы два взаимно однозначных и взаимно дифференцируемых отображения f и g, что . Так как отображения f и g взаимно однозначны, то можно рассмотреть соответствие, сопоставляющее координатам (y1(P), …, yn(P)) точки P ее координаты (z1(P),…, zn(P)). Это соответствие определяет отображение , . Очевидно . Отображение F называется заменой координат в области U или отображением перехода от координат (y)= (y1(P),…, yn(P)) к координатам (z)= (z1(P),…, zn(P)). Пусть - евклидово пространство со скалярным произведением ( , ). Кривой в пространстве , заданной в параметрическом виде, называется гладкое отображение отрезка в . Если x1, x2, …, xn - декартовы координаты в , то кривая задается набором n гладких функций x1(t), x2(t), …, xn(t), где параметр t пробегает отрезок . Касательным вектором или вектором скорости кривой в точке t называется вектор:
• .
• Длиной кривой от точки (a) до точки (b) называется число:
• Если есть линия , и другая линия , пересекающиеся при (т. е. , ), то углом между этими линиями в точке их пересечения при называется такой угол , что имеет место равенство:
• ,
• где:
• , .
• На любой гладкой кривой (такой кривой, что вектор скорости не обращается в нуль), можно выбрать параметр (размерность длины) так, чтобы вектор скорости был единичным: . Такой параметр называется натуральным. Для него , т. е. он равен длине отрезка кривой, который мы пробежали.
• Пусть в области U задана произвольная криволинейная система координат (y1, y2,…,yn) и пусть - некоторая гладкая кривая. Тогда переменные y1, y2,…,yn являются гладкими функциями декартовых координат x1, x2, …, xn в области U, причем в любой точке области. По теореме обратной функции переменные x1, x2, …, xn в области U можно однозначно выразить в виде гладких функций от y1, y2,…,yn: xi = xi(y1, y2,…,yn). Если , то:
• .
• Значит:

• где:
• .
• Таким образом, длина кривой в криволинейных координатах y1, y2,…,yn определяется с помощью симметрической матрицы G=(gmp), где gmp - гладкие функции переменных y1, y2,…,yn . Если F - отображение перехода от криволинейных координат (y) к декартовым (x) в области U , то , где - матрица Якоби отображения F.
• Пусть (z1,…,zn) - еще одна система криволинейных координат в области U, а - отображение перехода от системы (y) к системе (z). Отображение записывается в виде и его дифференциал есть матрица Якоби . Обозначим через G(y) матрицу коэффициентов gmp в системе координат (y), а через G( z) - эту же матрицу в системе координат ( z). Тогда . Таким образом, при заменах координат матрица G(z) преобразуется как матрица квадратичной формы. В частности, если исходные координаты (y) были декартовы, то G(y) представляет собой единичную матрицу и, значит, в любой криволинейной системе координат (z) имеем , где .
• Говорят, что в области U n-мерного пространства задана риманова метрика, если в каждой регулярной системе координат (y1, y2,…,yn) определен выбор гладких функций gij(y), удовлетворяющий следующим условиям: а) gij(y)=gji(y), т. е. матрица G(y)=(gij(y)) симметрична; б) матрица G(y) невырожденна и положительно определена; в) при замене координат матрица преобразуется как матрица квадратичной формы: , т. е. в новых координатах определяется набор функций , , причем .
• Если в области U задана риманова метрика G(y)= (gij) и в системе координат (y1, y2,…,yn) задана некоторая гладкая кривая , то ее длиной от точки до точки называется число:
• .
• Пусть в области U заданы две кривые и , которые пересекаются в некоторой точке при значении параметра . Углом между кривыми и в точке в данной римановой метрике называется такое число , что:
• Часто вместо полной длины дуги записывают явную формулу для дифференциала дуги . Тогда, если метрическая матрица G имеет вид G = (gij), то в координатах (y) имеем, что и величину также называют метрикой.
• Пусть и - два вектора в точке . Тогда их скалярным произведением называется число , равное . Будем говорить, что метрика gij=gji(z) евклидова, если найдутся координаты , такие, что , . Тогда в координатах (x) . Координаты (x) называются евклидовыми.
• Говорят, что в области U n-мерного пространства задана псевдориманова (индефинитная) метрика, если в каждой регулярной системе координат (y1, y2,…,yn) определен набор гладких функций gij(y), удовлетворяющий следующим условиям: 1) gij(y)= gji(y); 2) матрица G(y) невырождена; 3) при замене координат матрица G(y) преобразуется по правилу G(z)=(dF)G(y)(dF)t. Псевдориманова метрика gij типа (p, q), где p + q = n, если p - положительный, q - отрицательный индексы инерции квадратичной формы . Если gij - псевдориманова метрика типа (p, q) и , то квадратичную форму заменой можно привести к виду , где .
• В псевдоевклидовой метрике длина кривой определяется так же, как и в случае римановой метрики.
• Метрика gij=gij(z) псевдоевклидова, если найдутся новые координаты:
• ,
• такие, что:
• ,
• где . В этих новых координатах при , при , при . Координаты называются псевдоевклидовыми координатами типа (p, q), где p + q = n. В пространстве можно ввести псевдоевклидову метрику типа (p, q), определив псевдоскалярное произведение векторов и формулой , где p + q = n. При этом псевдоевклидовыми будут обычные координаты , и пространство с этой метрикой называется псевдоевклидовым пространством и обозначается . Пространство - пространство Минковского (пространство специальной теории относительности).
• Длина вектора в псевдоевклидовом пространстве определяется по формуле . Поэтому множества всех векторов, выходящих из любой точки, разбиваются на три непересекающихся подмножества:
• 1) времениподобные векторы, для которых < 0;
• 2) изотропные или световые векторы, для которых = 0;
• 3) пространственноподобные векторы, для которых › 0.
• Совокупность всех векторов пространства такая, что образует -мерную сферу с центром в конце вектора (с центром в ). В псевдоевклидовом пространстве также можно рассмотреть множество векторов таких, что . Но теперь может быть вещественным, мнимым числом или нулем. Множество таких векторов (или, что то же самое, точек) называется псевдосферой типа (p, q) радиуса с центром в и обозначается . Псевдосфера нулевого радиуса с центром в начале координат описывается уравнением и является конусом второго порядка в с вершиной в начале координат. Все векторы, выходящие из начала координат и лежащие на этом конусе, есть изотропные векторы; векторы, лежащие внутри конуса, времениподобные; векторы, лежащие вне конуса, пространственноподобные. Псевдосфера нулевого радиуса называется изотропным или световым конусом.
• Пусть в n-мерном пространстве заданы две области: область с координатами и область с координатами . Пусть - взаимно однозначное, взаимно-дифференцируемое отображение области на . Это означает, что координаты выражаются через с помощью гладких функций , i = 1, …, n, причем нигде не обращается в нуль (т. е. координаты можно выразить обратно через , i = 1, …, n). Если =, то отображение называется преобразованием области . Таким образом, преобразование области сводится к введению в ней новых координат, причем новые координаты можно всюду в области выразить через старые и наоборот. Множество всех преобразований области образует группу.
• Пусть в области имеется некоторая метрика, задаваемая в координатах невырожденной симметрической матрицей . Если задано преобразование , то в координатах эта же метрика задается матрицей , где, как говорилось выше, . Преобразование области называется движением данной метрики, если . Другими словами, преобразование является движением, если:
• .
• Если G - матрица метрики, - преобразование области , то это можно записать в матричном виде , где .
• Множество всех движений данной метрики образует группу, которая называется движением данной метрики.
• Пусть задано пространство . В специальной теории относительности постулируется, что пространство событий является пространством Минковского (пространством ) с координатами , где с - скорость света в вакууме. Процесс жизни точечной частицы отождествляется с линией (мировой линией) в пространстве событий - множестве наборов . А под событием понимается элементарный физический процесс, характеризующийся набором чисел , где t - момент времени, когда произошло событие, - координаты места события. Пусть одно и то же событие произошло относительно одной инерциальной системы в момент времени t в точке с координатами , а относительно другой инерциальной системы - в момент времени в точке с координатами . Формулы перехода от одной инерциальной системы к другой носят название преобразования Лоренца:
• , где .
• Обратное преобразование имеет вид:
• .
• Непрерывной кривой в трехмерном евклидовом пространстве называется непрерывное отображение некоторого отрезка , , вещественной оси в пространство . Здесь имеется в виду, что в задана декартова система координат и точки из характеризуются их радиус-векторами относительно начала координат. Непрерывность отображения равносильна непрерывности числовых функций , где в базисе . Точка есть начало кривой , а - конец ее. Будем говорить, что кривая проходит через точку , если существует значение параметра t такое, что .
• Отображение называется гладкой кривой в , если ее координатные функции являются гладкими на функциями. (Числовая функция , заданная на отрезке, гладкая, если на некотором открытом интервале, содержащем отрезок, существует гладкая функция, совпадающая на с функцией ).
• Для любой гладкой кривой и любого существует , который называется вектором скорости или касательным вектором в точке t. Постоянный вектор называется пределом переменного вектора при стремлении аргумента t к постоянному числу , если . Вектор непрерывен при , если .
• Гладкая кривая называется регулярной, если для всех . Кривая называется бирегулярной, если для всякой внутренней точки t отрезка векторы и линейно независимы. Если каждому значению соответствует одна точка на кривой и каждой точке на кривой - единственное значение параметра , то кривая называется простой.
• Две кривые и называются эквивалентными, если существует такая функция , что > 0, для всех . Будем говорить, что функция осуществляет замену параметра t. Класс эквивалентных кривых называется параметризованной кривой. Параметризация кривой называется натуральной, если . Всякая регулярная кривая допускает натуральную параметризацию. Пусть - некоторая регулярная кривая, - некоторая ее точка, соответствующая значению параметра . Касательной прямой к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая своим направляющим вектором вектор . Всякая прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормалью этой кривой. Через всякую точку пространственной кривой проходит бесконечное множество нормалей, которые все расположены в одной плоскости, называемой нормальной плоскостью кривой. Нормаль кривой, имеющая своим направляющим вектором вектор , где t - натуральный параметр, называется главной нормалью кривой. Всякая плоскость, проходящая через касательную прямую кривой, называется ее касательной плоскостью. Касательная плоскость, проходящая через главную нормаль кривой, называется соприкасающейся плоскостью. Так как и , то при любой параметризации кривой векторы и расположены в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Плоскость, содержащая бинормаль и касательную данной кривой, называется спрямляющей плоскостью. Приведем сводку формул для вышеназванных прямых и плоскостей. Пусть - данная регулярная кривая, - произвольная точка соответствующей прямой или плоскости, тогда:
• 1) уравнение касательной к кривой:
•  или
• 2) уравнение нормальной плоскости:
• или ;
• 3) уравнение бинормали:
• или ;
• 4) уравнение соприкасающейся плоскости:
• или ;
• 5) уравнение главной нормали:
• или
• 6) уравнение спрямляющей плоскости:
•  или .
• Касательная, главная нормаль и бинормаль определяют в каждой точке кривой трехгранник с тремя прямыми углами при вершине, совпадающей с точкой кривой. Этот трехгранник называется сопровождающим трехгранником кривой. Гранями сопровождающего трехгранника будут три взаимно перпендикулярные плоскости: соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль; нормальная, содержащая главную нормаль и бинормаль; спрямляющая, содержащая бинормаль и касательную. Единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали, направленные по осям сопровождающего трехгранника в положительном направлении, выражаются соответственно (рис. 1).
• , , .
• Рисунок 1 - Сопровождающий трехгранник кривой
• Векторы сопровождающего трехгранника меняются при движении точки по кривой. Это изменение для кривой, заданной в натуральном параметре , описывают следующие формулы Френе:
• Функции , называются соответственно кривизной и кручением. Из формул Френе следует, что кривизна кривой в данной ее точке есть предел отношения угла поворота касательной на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги; а модуль кручения равен пределу отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги. Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в произвольном параметре t имеют вид:
• ,
• .
• Если кривая отнесена к натуральному параметру, то , называются натуральными уравнениями кривой. Пусть заданы две кривые. Если на этих кривых можно ввести натуральные параметры так, чтобы в точках, отвечающих одинаковым значениям этих параметров, совпадали их кривизны и кручения, то говорят, что их натуральные уравнения совпадают. Кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться только положением в пространстве. Будем говорить, что две кривые отличаются положением в пространстве , если существует некоторое движение пространства , переводящее одну кривую в другую.
• В трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса (1, 2) векторы ортонормированного репера удовлетворяют условиям:
• .
• Координаты любой точки в этом репере будем обозначать . Отображение , где , называется параметризованной кривой в и обозначается . Параметризованная кривая называется времениподобной параметризованной с помощью натурального параметра , если выполняется условие:
• ,
• где:
• .
• Пусть:
• ,
• где . Тогда и , так как . Но , . Значит, , где . Поэтому . Параметр , вычисляемый по этой формуле, называется длиной дуги времениподобной кривой. Времениподобная кривая называется регулярной, если , и бирегулярной, если .
• К каждой точке времениподобной кривой присоединим правый ортонормированный репер , , так как в можно ввести векторное произведение двух векторов, положив для этого, чтобы для векторов ортонормированного базиса выполнялись условия: Значит, .
• Векторы называются соответственно вектором касательной, главной нормали и бинормали. Плоскости называются соответственно соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостью кривой в данной точке. Формулы Френе времениподобной кривой имеют вид:
• Функции и называются соответственно кривизной и кручением времениподобной кривой . Формулы для их вычисления имеют вид:
• =, =,
• или:
• , ,
• если кривая имеет параметризацию, отличную от .
• Пусть - трехмерное евклидово пространство с координатами и - вещественная функция трех переменных, обладающая непрерывными частными производными до порядка включительно (функция принадлежит классу ).
• Поверхностью класса называется множество точек , удовлетворяющих уравнению = 0, причем:
• .
• Поверхность класса , заданная в параметрическом виде, есть взаимно однозначное с дифференцируемое отображение , где - открытое множество в с координатами , причем в , т. е. поверхность в задается векторным уравнением или .
• Векторы называются касательными векторами поверхности .
• Прямая называется касательной прямой поверхности, если она касается какой-либо кривой, принадлежащей этой поверхности.
• Касательной плоскостью поверхности называется множество прямых, касающихся поверхности в этой точке. Уравнение касательной плоскости поверхности имеет вид:
• или .
• Нормаль к поверхности есть прямая, проходящая через данную точку поверхности по направлению вектора . Ее уравнение имеет вид:
• или .
• Длина дуги главной кривой , , расположенной на поверхности , определяется формулой:
• ,
• где:

• Выражение называется первой квадратичной формой поверхности или римановой метрикой на поверхности.
• Угол между двумя пересекающимися кривыми и поверхности определяется формулой:
• ,
• где - дифференциалы функций u и , взятые из уравнений первой кривой, а - дифференциалы от и , взятые из уравнений второй кривой.
• Площадь поверхности определяется формулой:
• .
• Вторая квадратичная форма поверхности имеет вид:
• ,
• где - единичный вектор нормали к поверхности.
• ,
• ,
• .
• Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной кривизной этой кривой, которая определяется формулой:
• .
• Пусть - матрица первой квадратной формы, а - матрица второй квадратичной формы. Существует такой базис, в котором матрица становится единичной, а - диагональной. Элементы этого базиса называются главными векторами в данной точке поверхности, а направления, определяемые главными векторами - главными направлениями. Элементы и матрицы в главном базисе называются главными кривизнами поверхности в данной точке и определяются из уравнения:
• .
• Отсюда:
• - полная или гауссова кривизна поверхности в данной точке,
• , - средняя кривизна поверхности.
• Пусть - единичный касательный вектор нормального сечения в данной точке, - единичные главные векторы, - угол поворота от до в направлении от до . Тогда - формула Эйлера.
• Если , то . Такие точки называются омбилическими. В такой точке коэффициенты первой и второй квадратичных форм пропорциональны:
• .
• Если в данной точке поверхности > 0, то данная точка поверхности называется эллиптической, если < 0, то - гиперболической, и если = 0, то - параболической.
• Пусть - криволинейные координаты. Дифференцирование вектора поверхности по будем обозначать индексом 1, а по - индексом 2 снизу: , , , , . Тогда , где . Для каждой точки поверхности однозначно определяется натуральный репер поверхности - . Формулы, выражающие первые производные этого репера через базис этого репера, называются деривационными формулами:
• где:
• , , , , .
• Выражения называются символами Кристоффеля поверхности.
• Формула Гаусса:
• .
• Геодезической линией на поверхности называется линия, главная нормаль которой в каждой ее точке совпадает с нормалью к поверхности в той же точке. Если кривая на поверхности задана параметрическим уравнением , где натуральный параметр, то уравнение геодезических линий имеет вид:
• .
• Геодезической кривизной кривой в точке на поверхности называется кривизна в этой точке ортогональной проекции кривой на касательную плоскость поверхности в данной точке. Пусть кривая на поверхности задана параметрическим уравнением , где - натуральный параметр на кривой. Тогда геодезическая кривизна вычисляется по формуле:
• Тензоры - это важнейший из классов величин, числовая запись которых меняется при изменении координат. Тензором (тензорным полем) типа (p, q) ранга p+q называется объект, задаваемый набором чисел в произвольной системе координат , числовая запись которого зависит от системы координат по следующему закону: если , то имеет место формула:
• ,
• где - числовая запись тензора в координатах , - числовая запись тензора в координатах , индексы , , , меняются от 1 до .
• Приведем примеры тензоров:
• 1) скаляр - тензор 0-го ранга;
• 2) векторы (типа вектора скорости) - тензор типа (1, 0):
• ; ;
• 3) ковектор (типа градиента функции) - тензор типа (0, 1):
• ; ;
• 4) квадратичная форма на векторах (скалярное произведение векторов) - тензор типа (0, 2):
• ; ;
• 5) квадратичная форма на ковекторах (скалярное произведение ковекторов) - тензор типа (2, 0):
• ;
• 6) линейный оператор на векторах (ковекторах) - тензор типа (1, 1):
• .
• Говорят, что два тензора и одного типа получаются друг из друга перестановкой верхних индексов, если найдется такая перестановка , где , что имеет место равенство при всех .
• Аналогично определяется перестановка нижних индексов.
• Для тензора типа (p, q) его сверткой (следом) по индексам будет тензор типа (p - 1, q - 1), определяемый формулой:
• =.
• Если заданы два тензора и типа (p, q) и соответственно, то их произведением будет тензор типа с компонентами .
• Произведение вектора и ковектора есть тензор 2-го ранга , а его след - скалярное произведение .
• Произведение вектора и линейного оператора есть тензор типа (2, 1): , а свертка (след) этого произведения есть вектор.
• Если в пространстве заданы риманова метрика и тензор в какой-то системе координат , то можно рассмотреть новый тензор . Результат этой операции называется опусканием индекса i1 c помощью римановой метрики . Если - вектор, то после опускания индекса мы получим ковектор .
• Для поднятия нижних индексов вверх при наличии римановой метрики необходимо рассмотреть обратную матрицу , такую, что . По определению имеем .
• Отметим, что совокупность всех тензоров типа (p, q) в заданной точке пространства образует линейное пространство: если и - тензоры типа , то их линейная комбинация с компонентами тоже есть тензор типа в этой же самой точке. Кососимметрическим тензором или называется такой тензор, который меняет знак при нечетной перестановке индексов и сохраняет свое значение при любой четной перестановке индексов.
• Если - кососимметрический по всем индексам тензор в -мерном пространстве с координатами , , то его градиентом называется кососимметрический тензор-го ранга типа с компонентами:
• .
• (Здесь значок означает, что индекс пропущен).
• Рассмотрим примеры.
• Пусть и - функция. Тогда согласно определению:
• - обычный градиент функции.
• Пусть - ковектор. Тогда:
• .
• Этот тензор называется ротором ковекторного поля, =. Ротор - это кососимметрический тензор типа (0, 2) ранга 2. Если и координаты эвклидовы, то тензору сопоставляют вектор:
• ,
• где:
• Пусть и задан кососимметрический тензор . Тогда кососимметрический тензор 3-го ранга имеет вид:
• = .
• Если координаты евклидовы и , , , согласно указанному выше правилу сопоставления вектора кососимметрическому тензору, то имеем:
• = = .
• В евклидовых координатах операция, сопоставляющая векторному полю число , называется дивергенцией.
• Отметим, что - единственная не связанная ни с какой геометрией операция. Что же касается обычного обобщения градиента функции на тензоры в пространстве с декартовыми координатами , то результат этой операции не является тензором. Однако, если в пространстве заданы координаты и тензорное поле , то поле преобразуется как тензор при всех линейных координатах:
• .
• А как же быть в других системах координат, связанных с евклидовой нелинейной заменой?
• Если градиент любого тензорного поля типа ведет себя как тензор при любых заменах координат и в евклидовой системе координат определяется по формуле , то в любой другой системе координат он вычисляется по формуле:
• ,
• где набор функций вычисляется по формуле:
• .
• Например, для тензоров 2-го ранга имеем:
• ; ;
• .
• Для векторного поля имеем:
• ,
• а для ковекторного поля:
• .
• Будем говорить, что задана операция ковариантного дифференцирования (взятия градиента) тензоров любого типа, если в любой системе координат задан набор функций Г, который при замене координат преобразуется по формуле:
• .
• Величины называются символами Кристоффеля. Операцию ковариантного дифференцирования (градиента) часто называют дифференциально-геометрической связностью или аффинной связностью. Связность называется евклидовой, если существуют такие координаты , что (или ). Такие координаты называются евклидовыми. Операция ковариантного дифференцирования обозначается символом : .
• Альтернативное выражение образует тензор, называемый тензором кручения.
• Ковариантное дифференцирование (связность) называется симметричной, если тензор кручения - тождественно равен нулю в каждой системе координат или =.
• Ковариантной производной векторного поля (или ковекторного поля по направлению вектора в некоторой точке называется выражение в точке Р (или выражение в точке P для ковекторного поля). Результат ковариантного дифференцирования векторного поля по направлению в некоторой точке Р есть вектор в этой точке.
• Говорят, что векторное (тензорное) поле Т является ковариантно постоянным или параллельным вдоль кривой на отрезке , если ковариантная производная поля Т в точках кривой по направлению вектора скорости кривой равна нулю:
• .
• Для векторных полей имеем:
• .
• Параллельным переносом вектора из точки в точку вдоль кривой , ведущей из Р в , называется векторное поле , заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой: во всех . При векторное поле в точке Р должно совпадать с исходным вектором ; при векторное поле в точке есть вектор , называющийся результатом параллельного переноса вектора вдоль заданной кривой из в . В координатах имеем:
• - уравнение параллельного переноса.
• Начальное условие . Линия называется геодезической, если ее вектор скорости параллелен вдоль нее самой: (или ковариантная производная векторного поля вдоль этой кривой равна нулю).
• Уравнение геодезических линий:
• .
• Вектор:
• ,
• называется вектором геодезической кривизны данной линии, .
• Геодезической кривизной называется длина вектора:
• ,
• где - натуральный параметр. Связность называется согласованной с метрикой , если ковариантная производная метрического тензора тождественно равна нулю: . Связность, согласованная с данной метрикой , задается формулами:
• (формулы Кристоффеля).
• Тензор называется тензором Римана или римановой кривизной, где:
• .
• Тензор кривизны обладает следующими свойствами:
• 1) =;
• 2) для симметричной связности -;
• 3) для связности, согласованной с метрикой , тензор кососимметричен по индексам ;
• 4) для тензора кривизны симметричной связности, согласованной с метрикой , имеется симметрия .
• Известно, что - дифференциал функции. Если задана замена , то:
• ,
• т. е. выражение инвариантно относительно замен координат.
• Аналогично, если любому ковектору поставить в соответствие выражение (дифференциальную форму), то это выражение инвариантно относительно замены координат. Базисные координатные поля преобразуются по закону . Базисные ковекторы преобразуются по тому же закону, что и , , . Можно сказать, что символы - это базисные ковекторы . Дифференциальная форма соответствует разложению ковектора по базису. Разложение симметрического тензора типа (0, 2) по базису имеет вид .
• Для кососимметрических тензоров часто используется язык дифференциальных форм. Базис в пространстве таких тензоров состоит из элементов <…<, где . Для кососимметрического тензора имеем соответствующую дифференциальную форму , где кососимметрично относительно перестановок индексов .
• Каждый кососимметрический тензор в -мерном пространстве определяется одним числом , и мы здесь имеем единственный базисный тензор . Выражение называется элементом объема, задаваемым метрикой , где . Он является тензором относительно таких замен координат, что > 0.
• Определим внешнее произведение двух дифференциальных форм ранга и соответственно. Пусть:
• , .
• Определим форму ранга
• ,
• полагая:
• .
• Внешнее произведение дифференциальных форм - билинейная ассоциативная операция, причем , если - форма ранга , - ранга .
• Определим форму степени , полагая:
•  ,
• где тензору соответствует форма:
• ,
• и имеют место тождества:
• 1) ;
• 2) ,
• где - дифференциальные формы степеней и соответственно;
• 3) .
• Определим операцию ограничения тензора типа на поверхность. Для поверхности рассмотрим выражение , где выражено через в точках поверхности и:
• .
• В точках поверхности имеем:
• ,
• где - минор матрицы . Это выражение называется ограничением кососимметрического тензора на поверхность . Это тензор -го ранга в -мерном пространстве.
• Обычный кратный интеграл от ограничения:
• ,
• тензора по области на поверхности называется интегралом от кососимметрического тензорного поля , заданного в -мерном пространстве по области на любой поверхности , .
• Для любой дифференциальной формы:
• ,
• с гладкими коэффициентами , любой гладкой поверхности и ограниченной области на ней с гладкой границей Г, состоящей из одного куска, имеет место формула (общая формула Стокса): .
• Формула Грина:

• Формула Гаусса - Остроградского:
• ,
• где - единичный вектор нормали к поверхности Г, а - координаты на поверхности.
• Формула Стокса:
• ,
• где - область на поверхности , ; Г - граница этой области.
• Дифференцируемым -мерным многообразием называется произвольное множество точек М, в котором введена следующая структура:
• - множество М представлено в виде объединения конечного или счетного числа областей -мерного евклидова пространства, ;
• - в каждой области заданы координаты , называемые локальными координатами. Сами области при этом называются координатными окрестностями или картами.
• Касательным вектором к многообразию в произвольной точке называется вектор, записываемый в системе локальных координат набором чисел ; записи одного и того же вектора в разных системах локальных координат, содержащих эту точку, связаны формулой:
• .
• Римановой (псевдоримановой) метрикой на многообразии называется положительная (невырожденная) квадратичная форма, заданная на касательных векторах в каждой точке многообразия и гладко зависящая от локальных координат. В каждой области действия локальных координат метрика задается симметрической матрицей для любого вектора в точке (по повторяющимся индексам подразумеваем суммирование). Метрика задает скалярное произведение двух векторов в одной и той же точке: .
• Тензор типа на многообразии задается в каждой системе локальных координат набором функций . В других локальных координатах , содержащих точку , этот же тензор задается величинами , причем:
• .
• тензор касательный евклидовый числовой
• Все утверждения, сформулированные для тензоров в области -мерного пространства, переносятся на тензоры на многообразии.
• Размещено на Allbest.ru