Частные уравнения
Классификация и характеристики особых частных уравнений и неравенств с переменными параметрами. Анализ множества индексов вектор-функций, разбиение их на типы. Правила выполнения равносильных преобразований. Непересекающиеся классы эквивалентности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.09.2017 |
| Размер файла | 431,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Лекция: Частные уравнения
Решения уравнений и неравенств с параметрами представляет собой совокупность частных решений. При этом частные решения отличаются либо совпадают. Однако даже разные решения могут обладать похожими свойствами.
Пример 1. Уравнение при имеет решение ;
при , ;
при , ;
при , .
частный уравнение множество эквивалентность
Особые частные уравнения
Определение 1. Для уравнения с параметрами из пространства ? и переменными из пространства частное уравнение , соответствующее значениям параметров , называется особым типа Ш (?), если с помощью равносильных преобразований его можно привести к ложному (истинному) числовому равенству.
Всякое частное уравнение , не являющееся особым типа Ш и особым типа ?, называется неособым.
Пример 2. Уравнение при является особым типа Ш, при - особым типа ?.
По определению, полагаем, что все неособые частные уравнения, не имеющие решений, принадлежат одному типу.
Неособые частные уравнения
Обозначим через - некоторый вектор пространства значений переменных .
Определение 2. Для уравнения с параметрами из пространства ? и переменными из пространства неособое частное уравнение с множеством решений и неособое частное уравнение с множеством решений принадлежат одному типу на некотором множестве значений параметров, если существуют вектор - функции такие, что для любых упорядоченных значений параметров и из множества индексов вектор - функций, и, кроме того, при подходящей нумерации решений
,, …, , …
,, …, , ….
По определению, если частное уравнение имеет решений, частное уравнение имеет решений и эти уравнения принадлежат одному типу, то и решения каждого из уравнений получаются как значения одних и тех же функций при и .
Пример 3. .
Для все числовые уравнения имеют по 2 действительных корня
,
.
Для соответствующие частные уравнения имеют корни и , вычисляемые по формуле .
Для уравнения на множестве всех неособых частных уравнений отношение однотипности является отношением эквивалентности. Множество всех неособых частных уравнений разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности - классы неособых частных уравнений. Типы частных уравнений обозначаются символами и.т.д.
Каждое частное уравнение , типа получается из уравнения при значениях параметров .
Обозначим через множество всех значений параметров , для которых соответствующее частное уравнение принадлежит типу . Тогда область допустимых значений параметров будет равна .
В рассмотренном в примере 3 уравнении имеем
.
Классификация частных уравнений по типам осуществляется разбиением области допустимых значений параметров на отдельные множества и выполнением равносильных преобразований уравнений на каждом из них.
Общие решения частных уравнений
Определение 3. Для уравнения с параметрами из пространства ? и переменными из пространства вектор - функция называется общим решением на множестве значений параметров, если для каждого упорядоченного значения параметров значение является решением частного уравнения . В этом случае считается, что .
В последнем примере - общее решение на множестве , т.е. .
Функции и , являются общим решением уравнения на , т.е. .
В дальнейшем, в уравнении с параметрами из пространства ? и переменными из пространства через будем обозначать множество всех допустимых значений параметров , для которых частное уравнение не имеет решений, через - дополнение множества в области допустимых значений параметров.
Таким образом, для всяких значений параметров частное уравнение не имеет решений, и, если - множество всех общих решений уравнения , то
По определению всякий тип неособых частных уравнений, имеющих решения, характеризуется определённым множеством общих решений ,, …, , … на множестве .
Легко видеть, что если - множество всех допустимых значений параметров, для которых является общим решением уравнения и - множество всех общих решений этого уравнения, то
В частности, если ,, …, , … - множество всех частных решений некоторого уравнения, то неособый тип частных уравнений, содержащих решения
,, …, ,
для , можно определить по формуле
.
Рассматривая всевозможные наборы общих решений уравнения по этой формуле можно построить все множества их частных решений.
Характеристики частных уравнений
Определение 4. Для уравнения с параметрами из пространства ? и переменными из пространства характеристикой типа частных уравнений называется запись в виде дроби вида , где - множество всех общих решений уравнения на множестве .
В примере 3 характеристики следующие:
Таким образом, решение уравнения сводится к следующим этапам:
1) разбиение множества всех частных уравнений на типы;
2) определение характеристики каждого из типов.
Объединение всех множеств частных решений (числители характеристик) всегда совпадает с областью допустимых значений параметров.
Пример 4. Записать характеристики уравнения
.
Решение. Область допустимых значений ..
На области допустимых значений уравнение равносильно уравнению
.
Для этого уравнения рассмотрим совокупность частных уравнений, для значений параметров
т. е. точек прямой , за исключением точки .
Соответствующие частные уравнения имеют вид
.
При и правая часть превратится в 0. Т.е. точке соотвествует частное уравнение типа , точкам прямой , за исключением точек и , соответствуют частные уравнения типа Ш (Рис. 2).
В итоге, имеем следующие характеристики:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Понятие и содержание равносильных уравнений, факторы их оценивания. Теорема о равносильности уравнений и ее доказательство. Причины и пути приобретения посторонних корней при разрешении данных уравнений. Нахождение и сравнение множества решений.
презентация [16,0 K], добавлен 26.01.2011Определение, типы и примеры отношений, способы их задания; алгебраическая и геометрическая интерпретации. Разбиение на классы и фактор-множество. Смысл отношения эквивалентности. Теорема о равносильности определений. Отношения в школьной математике.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 01.10.2011Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.
курсовая работа [124,0 K], добавлен 11.12.2002Понятие и характерные признаки равносильных уравнений, требования к множеству их решений. Теорема о равносильности уравнений и порядок ее доказательства, значение в современной математике. Порядок и основные этапы нахождения корней уравнения-следствия.
презентация [15,1 K], добавлен 17.03.2011Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Определение системы с двумя переменными, способ ее решения. Специфика преобразования линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения и замены переменных в этом виде уравнений, примеры их графиков. Алгоритм нахождения количества системы уравнений.
презентация [226,6 K], добавлен 08.12.2011Основные элементы теорий однородных и краевых задач Римана, Гильберта, Нетера. Использование различных способов регуляризации полных особых интегральных уравнений. Некоторые основные свойства особых союзных операторов. Уравнения Фредгольма и Пуанкаре.
курсовая работа [565,3 K], добавлен 17.02.2014Рациональные и иррациональные числа и их свойства. Гипотеза Акулича и явные формулы. Разбиение натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности. Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами.
научная работа [1,1 M], добавлен 05.02.2011Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012
