Классификация частных неравенств
Решение уравнений с использованием однотипных интервалов. Характеристика и определение вектор-функции пространства. Разбивка неособых частных неравенств на непересекающиеся классы. Построение множества, вычисление дискриминанта квадратного неравенства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.09.2017 |
| Размер файла | 439,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Лекция: Классификация частных неравенств
Разобьем аналогично уравнениям совокупность частных неравенств на типы по некоторым общим свойствам.
Пусть требуется решить неравенство
.
При различных значениях будем иметь:
1. При
2. При
3. При
4. При .
5. При .
6. При
7. При
8. При
Из решений неравенства видно, что в случаях 4, 5 и 6, 7, 8 решения записываются в виде однотипных интервалов. Проясним общие признаки, по которым возможна классификация частных неравенств.
Особые частные неравенства
Определение 1. Для неравенства с параметрами из пространства ? и переменными из пространства частное неравенство , соответствующее значениям параметров , называется особым типа Ш (типа ), если при помощи равносильных преобразований его можно привести к ложному (истинному) числовому неравенству.
Пример 1. Неравенство при будет особым типа Ш а при особым типа .
Аналогично определяются особые частные неравенства для случая двух и более параметров.
Неособые частные неравенства
Всякое частное неравенство, не являющееся особым типа Ш или типа , называется неособым.
Пусть
и
- некоторые вектор - функции пространства . Обозначим через вектор - интервал
Определение. Для неравенства с параметрами из пространства ? и переменными из пространства неособое частное неравенство с множеством решений и неособое частное неравенство с множеством решений принадлежат одному типу на некотором множестве значений параметров, если существуют вектор - функции такие, что для любых упорядоченных значений параметров и из множества индексов вектор - функций, и, кроме того, при подходящей нумерации решений
,, …, , …
,, …, , ….
неравенство дискриминант множество
В определении однотипных неравенств не исключается возможность, когда некоторые множества будут неограниченными. Если множество частных решений неравенства состоит из различных областей значений вектор - функций, то множество решений неравенства также состоит из промежутков.
Как и в уравнениях с параметрами отношения однотипности на множестве всех неособых частных неравенств разбивается на непересекающиеся классы - типы неособых частных неравенств. По аналогии с уравнениями типы будем обозначать буквами и т.д. Через обозначим множество всех значений параметров, для каждого из которых соответствующее частное неравенство принадлежит типу . Разбиение множества всех частных неравенств на типы индуцирует разбиение области допустимых значений параметров на непересекающиеся подмножества . В частности, неравенствам типа Ш, типа и не имеющим решений соответствуют подмножества .
Пусть - множество всех допустимых значений параметров, для которых вектор - интервал является общим решением неравенства и - множество всех общих решений этого неравенства.
Тогда
В частности, если - множество частных решений некоторого неравенства, то неособый тип частных неравенства, содержащих решения , для , можно определить по формуле
Рассматривая всевозможные наборы общих решений уравнения по этой формуле можно построить все множества их частных решений.
Всякий тип неособых частных неравенств характеризуется:
- множеством всех упорядоченных значений параметров, для каждой из которых соответствующие частные неравенства принадлежат типу ;
- набором вектор - функций , определяющих общее решение данного типа неравенств через интервалы .
Пример 2. Найти все неособые частные типы неравенства
Решение. Если , то неравенство имеет вид с решением . Пусть теперь .
Найдём дискриминант квадратного выражения
В выражении в скобках сделаем подстановку
Тогда
Корни выражения
Решение квадратного неравенства зависит от знака коэффициента при . Пусть . Если , т. е. при решением будут промежутки . Если , т. е. при решением является множество . В случае имеем при и при . В случае корни совпадают и неравенство имеет решение , в случае , . Таким образом, мы установили следующие семь типов неособых частных неравенств:
1) тип , , ;
2) тип , , .;
3) тип , , ;
4) тип , , ;
5) тип , , ;
6) тип , , ;
7) тип , , , значит .
Заметим, что особых решений типа или типа неравенство не имеет.
Характеристики частных неравенств
Пусть - тип неособых частных неравенств для неравенства , соответствующем множеству значений параметра. Если множества решений частных неравенств типа непусто, то по определению существуют вектор - функции , такие, что для любых значений параметров множество всех решений частного неравенства имеет вид . Тогда запись решения частного неравенства через функции называется общим решением типа неособых частных неравенств, а дробь вида
назовём характеристикой типа частных неравенств. По аналогии определяются характеристики типа , , 0.
Пример 3. Рассмотрим линейное неравенство
На множестве точек параболы (рис. 3.) , соответствующие частные неравенства или являются особыми, причём тип зависит от знака правой части. Выражение обращается в 0 для точек и параболы, поэтому множеству точек нижней части параболы соответствуют особые частные неравенства типа .
Характеристика типа :
Для типа особых частных неравенств со значениями параметров в множестве
в качестве характеристики выступает дробь
Всем точкам плоскости , расположенным во внутренней области параболы, соответствуют неособые частные неравенства с отрицательным коэффициентом
.
Общим решение для этого типа частных неравенств является
Следовательно, характеристика типа имеет вид:
Для типа частных неравенств, соответствующих точкам плоскости, принадлежащим множеству , общее решение имеет вид:
Поскольку типы охватывают все частные неравенства, то их характеристики определяют все множества решений любого из частных неравенств.
Запишем характеристику для типа неособых частных неравенств, не имеющих решений. характеристику в виде дроби
Множеству всех значений параметра, для которых частные неравенства не определены, поставим в соответствие запись вида:
Тогда совокупность характеристик всех типов частных неравенств определяет решение каждого частного неравенства, т.е. полное решение исходного неравенства.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. Степенные и показательные функции и их свойства. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: "Решение показательно-степенных уравнений и неравенств".
дипломная работа [595,4 K], добавлен 24.11.2007Метод интервалов как один из важнейших методов математической деятельности, связанный с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.
курсовая работа [630,7 K], добавлен 12.04.2015Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные и рациональные неравенства. Особенности решения различных неравенств, содержащих знак модуля. Нестандартные методы решения неравенств.
реферат [2,0 M], добавлен 18.01.2011Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.
курсовая работа [124,0 K], добавлен 11.12.2002Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Цели проведения урока по математике на тему "Решение неравенств с одним неизвестным", особенности разработки плана и определение формы его проведения. Алгоритм решения неравенства по вариантам, проведение проверки в парах. Подведение итогов урока.
презентация [63,5 K], добавлен 25.06.2011Применение метода интервалов для решения неравенств. Формула перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному. Формула решения тригонометрического уравнения. Нахождение множества всех первообразных функции f(x) на области определения.
контрольная работа [11,3 K], добавлен 03.06.2010Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Сущность метода системосовокупностей как одного из распространенных и универсальных методов решения неравенств любого типа. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. Эффективность и наглядность графического метода решения задач.
методичка [303,7 K], добавлен 14.03.2011Теория полуколец находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики. Построение классического полукольца частных. Построение полного полукольца частных. Связь между полным и классическим полукольцами частных.
реферат [227,2 K], добавлен 27.05.2008Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.
курсовая работа [166,4 K], добавлен 11.01.2004Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 06.05.2010Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014
