Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование

1. ВДР

2. Сглаживание

3. Прогнозирование

Временные ряды

Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.

В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика - количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.

Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.

Основные показатели динамики ВДР

1. Базисный абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :

2. Цепной абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:

3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:

4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

5. Базисный темп прироста - вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:

6. Цепной темп прироста - вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):

§ для интервального ряда:

§ для моментного ряда с равностоящими датами:

§ для момента ряда с неравностоящими датами:

8. Средний абсолютный прирост:

9. Средний темп роста:

10. Средний темп прироста:

Проверка гипотезы о существовании тенденции

1. Проверка разности средних уровней:

Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность.

Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.

Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера

(где )

число степеней свободы и ;

Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:

,

где S - среднее квадратическое отклонение разности средних.

При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;

Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.

2. Метод Фостера-Стюарта

Вводятся переменные и , которые находятся сравнением по всем уровням. Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение превышает все предыдущие значения ряда, и 0 в остальных случаях.

;

Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение меньше всех предыдущих значений ряда, и 0 в остальных случаях.

;

Вычисляем:

Показатели и имеют независимые нормальные распределения и существенно зависят от порядка расположения уровней во времени.

Показатель используется для обнаружения тенденций в средней

Показатель используется для обнаружения тенденций в дисперсии ,

где - математическое ожидание величины , определённое для случайного расположения уровней во времени, берётся по таблице; - средняя квадратическая ошибка величины :

- средняя квадратическая ошибка величины :

Сглаживание

Суть сглаживания сводится к замене фактических уровней ВДР расчётными, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные.

На практике наиболее часто используют следующие методы:

1. Скользящих средних

2. Взвешенных скользящих средних

3. Экспоненциальный

1. Метод скользящих средних

Выбирается интервал сглаживания - нечётное число , где может меняться как целочисленное значение 1, 2, 3…и расчёт производится для центра интервала:

Так как каждый раз мы добавляем 1 новый член и 1 вычитаем, то другая запись в виде скользящей средней:

Три свойства скользящих средних

1. Уменьшение нерегулярности колебаний в ряде

2. Чем больше , тем больше сглаживание

3. Смещение сглаженных значений

4. Пропадание начальных и конечных значений ряда (концы таблиц)

5. Если требуется сгладить циклические ВДР, то интервал берётся равным или кратным циклу.

Для того, чтобы не пропадали крайние точки, используют сглаживающие формулы:

при

, ;

Для крайних значений:

при

, ;

Для крайних значений:

****

****

2. Взвешенные скользящие средние

Для устранения недостатков предыдущего метода по смещению экстремальных значений (пиков) и потере мелких колебаний используют взвешенные скользящие, в которых каждой переменной, участвующей в сглаживании придается удельный вес, соответствующий её положению относительно вычисляемого значения.

(Этот вес определяется МНК с требованием, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений от исходных была минимальной.) необязательная фраза.

для :

для :

3. Экспоненциальные средние

Основа: чем ближе переменная находится к расчётной точке, тем сильнее она должна на неё влиять.

,

где - коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения, .

Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в раз, т. е. для расчётного значения это ; ближайшая переменная ; затем и т. д.… …

Прогнозирование

Для прогнозирования можно использовать методы, рассмотренные нами для сглаживания.

1. Метод скользящего среднего для прогнозирования значений, выходящих за ВДР из чисел, например для :

2. Метод взвешенного скользящего среднего

3. Экспоненциальное прогнозирование

4. Метод Бокса-Дженкинса (процедура ARIMA) (АРПСС).

Зависимость прогнозируемых значений рассматривается в виде составляющей из двух переменных.

AR - авторегрессионный процесс - т. е. зависимость от своих прошлых значений.

MA - как скользящее среднее текущего и предыдущих значений случайных членов.

ARIMA процесс,

- порядок AR-части;

- порядок MA-части;

- порядок разностей, взятых из исходного ряда для достижения его стационарности.

ARIMA по Боровикову В.

- регулярный параметр авторегрессии;

- сезонный параметр авторегрессии;

- регулярный параметр скользящего среднего;

- сезонный параметр скользящего среднего.

лать заключение о его успешном функционировании.

Временное прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования ОАО «ICL - КПО ВС»

Статистические методы прогнозирования

В данной работе реализован стандартный подход к прогнозированию, основанный на оценке показателей, непосредственно влияющих на результат прогноза по принципу «дальше, как раньше» [18].

Рассматриваются статистические методы прогнозирования, которые получили наибольшее распространение на практике - определение зависимости между элементами временного динамического ряда (ВДР) на основе предыдущих значений и переноса этих зависимостей на будущее. Выбор сделан в их пользу в силу того, что они опираются на аппарат статистического анализа, практика применения которого имеет достаточно длительную историю [1, 6].

Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития и прогнозирования на ее основе является сглаживание или механическое выравнивание динамического ряда.

Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание и прогнозирование, сводится к замене фактических уровней ВДР y_j, расчетными , , имеющими значительно меньшую изменяемость, чем исходные данные. Уменьшение изменяемости позволяет тенденции общего развития проявить себя более отчетливо. В ряде случаев сглаживание ряда может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов статистической обработки данных [1].

Как правило, после сглаживания производят прогнозирование со значениями , . В некоторых работах [18] рекомендуется, чтобы интервал прогнозирования не превышал одной трети количества имеющихся значений прогнозируемого ВДР, т.е.

(5.1.1)

Возьмем первые 20 значений имеющихся ВДР за 2000-2004 г за интервал времени для прогнозирования, тогда r - n требуется взять не более 6 кварталов, т.е. полтора года. Будем прогнозировать деятельность предприятия на четыре квартала 2005 года, т.е. r = 24 и т.к. на первые три квартала из них q = 3 имеются фактические данные, то их будем использовать для оценки качества прогнозирования. Его будем оценивать по формуле:

, (5.1.2)

где y_ij - фактическое значение j-ой переменной на i-ом интервале времени;

- среднее значение по фактическим данным, вычисляемое по формуле:

. (5.1.3)

Наиболее конструктивный показатель, не зависящий от размерности элементов ВДР по отношению стандартной ошибки к среднему прогнозируемому значению

(5.1.4)

Отметим, что в инженерной практике стандартная ошибка вычисляется по другой формуле. Приведём её:

.

В данной работе для вычисления стандартной ошибки использована формула (5.1.2).

Проведём прогнозирование тремя известными и применяемыми на практике методами прогнозирования [1]: скользящего среднего, экспоненциальным и авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, по которым имеются стандартные процедуры прогнозирования в ППП Excel 2003 [13] и Statistica 6.0. [5]. Дополнительно проведем прогнозирование на нейронной сети Neuro Pro и сравним результаты прогнозирования по этим четырем методам.

Сглаживание и прогнозирование методом скользящего среднего

Метод скользящего среднего (СС) является наиболее простым из известных методов, он позволяет сгладить периодические и случайные колебания в ВДР и тем самым выявить наличие имеющейся тенденции его изменения. В центрированном сглаживании данные усредняются слева и справа от выбранной точки. Такой вид сглаживания имеет существенный недостаток: сигнал об изменении тенденции существенно запаздывает во времени. Однако необходимо как можно раньше определить момент изменения тенденции, чему способствует использование нецентрированного СС. В существующих ППП [5,13] для сглаживания и прогнозирования применяется нецентрированное СС.

В нецентрированном СС усредненная величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член

, (5.2.1),

где y_i - фактическое значение переменной на i-ом интервале времени;

- сглаженное, или спрогнозированное значение переменной на j-ом интервале времени;

m - интервал усреднения.

Для прогнозирования, начиная со значения n+1 и по r, спрогнозированные значения вычисляются по формуле

. (5.2.2)

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом скользящего среднего при изменении интервала сглаживания m приведены в таблице 5.2.1.

По результатам таблицы 5.2.1 были сделаны следующие выводы:

1. Изменение фактора сглаживания m: 3, 5, 7, 9 с целью выявления наилучшего значения, обеспечивающего минимальную ошибку прогнозирования, существенных результатов по улучшению достоверности не дало. Для каждого показателя деятельности предприятия наилучшие спрогнозированные значения были получены при различных значениях интервала усреднения.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом скользящего среднего составила 0,235388066, наибольшее значение ошибки прогнозирования - 68,36838773.

3. Лучшие результаты прогнозирования методом скользящего среднего приведены в таблице 5.2.2.

Таблица 5.2.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра m

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	m=3	m=5	m=7	m=9		m=3	m=5	m=7	m=9
y1	60777,52327	78801,4937	100870,9	84564,5	142797,6667	0,425619863	0,551840205	0,706390539	0,592198062
y2	105234,0577	66755,5734	79183,36	65346,28	112090,6667	0,938829796	0,595549793	0,706422444	0,582976972
y3	3158,40561	1647,33399	1989,803	1468,194	6237,333333	0,506371143	0,264108698	0,319015081	0,235388066
y4	15439,08137	10759,2706	14191,6	12037,04	21675,66667	0,712277118	0,496375532	0,654725148	0,555324792
y5	1546,507894	1601,37733	5763,453	6631,376	3645,333333	0,424243204	0,43929517	1,581049762	1,81914113
y6	1615,945016	693,359003	1366,403	898,5244	2608,666667	0,619452472	0,265790571	0,523793483	0,344438177
y7	955,030715	509,144498	517,6526	373,48	705,6666667	1,35337371	0,7215085	0,73356538	0,529258772
y8	186,9580068	166,191616	159,3092	235,1568	612,67	0,305154527	0,271259439	0,260025866	0,383825069
y9	19408,54989	17416,9543	18885,03	19457,92	36853	0,52664776	0,472606146	0,512442125	0,527987279
y10	20178,76	18861,773	20389,55	20910,41	37726	0,534876848	0,499967477	0,540464231	0,554270455
y11	16180,51843	21135,1669	20422,66	18790,70	236,6666667	68,36838773	89,30352225	86,29291756	79,39731151
y12	13634,32043	19178,1621	22971,09	24010,34	665	20,50273748	28,83934148	34,54298844	36,10576784
y13	214,8190544	139,875658	181,888	156,4402	237,8227432	0,903273806	0,588150888	0,764805069	0,657801759
y14	2,576856041	2,60473278	10,55362	12,48477	6,072491704	0,424349043	0,428939701	1,737938657	2,055954619

Таблица 5.2.2. Результаты прогнозирования методом скользящего среднего с минимальными значениями ошибок прогнозирования

Код переменной	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	m
y1	1/2005	83098	237165,6667	0,425619863	3
	2/2005	106481	222477,3333
	3/2005	238814	142797,6667
y2	1/2005	63636	150601,8889	0,582976972	9
	2/2005	85730	154314,6667
	3/2005	186906	163593,2222
y3	1/2005	3958	5858	0,235388066	9
	2/2005	6161	6353,333333
	3/2005	8593	6913,777778
y4	1/2005	12950	24837,4	0,496375532	5
	2/2005	14928	26756,4
	3/2005	37149	29021
y5	1/2005	2554	2880,666667	0,424243204	3
	2/2005	2216	3061,333333
	3/2005	6166	3645,333333
y6	1/2005	1428	2431,8	0,265790571	5
	2/2005	2487	2886,8
	3/2005	3911	3386,8
y7	1/2005	283	887,8888889	0,529258772	9
	2/2005	716	930,3333333
	3/2005	1118	1036,555556
y8	1/2005	673	468,2857143	0,260025866	7
	2/2005	400	521,2857143
	3/2005	765	625,2857143
y9	1/2005	47586	30194,4	0,472606146	5
	2/2005	10864	31269
	3/2005	52109	38280,8
y10	1/2005	48991	30427	0,499967477	5
	2/2005	9633	31182,8
	3/2005	54554	38482,8
y11	1/2005	67	24527,66667	68,36838773	3
	2/2005	199	13876
	3/2005	444	236,6666667
y12	1/2005	465	21483,33333	20,50273748	3
	2/2005	459	11217,66667
	3/2005	1071	665
y13	1/2005	139,6605042	321,453728	0,588150888	5
	2/2005	177,7646077	333,7849497
	3/2005	396,0431177	359,9255947
y14	1/2005	4,292436975	4,93971937	0,424349043	3
	2/2005	3,699499165	5,200760323
	3/2005	10,22553897	6,072491704

Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала усреднения m = 3, при котором получены лучшие результаты для y₁ и y₂ и для m = 5, при котором получены лучшие результаты для y₁₃, представлены на рис. 5.2.1-5.2.3.

Рис. 5.2.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.2.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.2.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование

В основу экспоненциального сглаживания и прогнозирования положен принцип введения различных удельных весов для усредняемых значений ВДР, так называемый принцип «взвешивания». Чем дальше отстоит элемент ВДР от точки сглаживания или прогнозирования, тем меньшее влияние на вычисляемый элемент он должен иметь. Таким образом, влияние прошлых наблюдений должно затухать по мере удаления от момента, для которого определяется средняя. Поставленная задача может быть решена с помощью применения специальной системы весов, а именно информации приписывается вес, соответствующий степени ее новизны.

Один из простейших приемов сглаживания ряда с учетом «устаревания» данных заключается в расчете специальных показателей, получивших название экспоненциальных средних.

Экспоненциальная средняя

, (5.3.1)

где - экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент j;

y_j - фактическое значение на момент времени j;

- коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней, .

Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в (1 - ) раз, т.е. для расчетного значения это ; ближайшая переменная (1 - ); затем (1-)² и т.д..., для i-го элемента (1 - )ⁱ…

; (5.3.2)

;

;

.

Очевидно, результат сглаживания зависит от коэффициента сглаживания - . Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0 и 1 дают промежуточные результаты.

Соответственно этому выражению средний уровень ряда на момент времени j равен линейной комбинации двух величин: фактического уровня для этого же момента и среднего уровня, рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом, средняя здесь формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала и до момента времени j включительно. временный ряд сглаживание прогнозирование

Следовательно, средняя для момента времени j представляет собой линейную комбинацию значений всех наблюдений от y₁ до y_j.

При расчете прогнозируемых значений ВДР методом экспоненциального сглаживания используется следующая формула:

(5.3.3)

В дополнении к простому экспоненциальному сглаживанию, были предложены более сложные модели, включающие сезонную компоненту и тренд. Общая идея таких моделей состоит в том, что прогнозы вычисляются не только по предыдущим значениям (как в простом экспоненциальном сглаживании), но и с некоторыми задержками, что позволяет независимо оценить тренд и сезонную составляющую.

Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование проведено с помощью ППП Statistica 6.0 [6].

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом экспоненциального сглаживания при изменении параметра приведены в таблице 5.3.1.

Таблица 5.3.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра alpha (delta=0,100; lag=4)

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	alpha=0,2	alpha=0,4	alpha=0,6	alpha=0,8		alpha=0,2	alpha=0,4	alpha=0,6	alpha=0,8
y1	38341,0552	42085,5413	48242,96	54720,48	142797,6667	0,268499171	0,294721491	0,337841355	0,383202922
y2	29079,5659	34037,9663	41381,09	48127,33	112090,6667	0,259428967	0,303664589	0,369175164	0,429360727
y3	811,639186	1388,67414	2077,875	2631,703	6237,33	0,130125992	0,222639077	0,333135182	0,421927592
y4	6685,6415	7109,65678	7469,075	7888,403	21675,66667	0,308439948	0,328001758	0,344583404	0,363928978
y5	2303,93178	1663,40198	1545,68	3237,102	3645,33	0,632022252	0,45630998	0,424015193	0,888012577
y6	1332,1064	1479,26759	1458,08	1421,655	2608,666667	0,510646461	0,567058879	0,558936934	0,544973636
y7	227,224502	229,372177	381,5196	551,6347	705,6666667	0,321999767	0,325043236	0,540651326	0,78172141
y8	156,904051	281,977886	311,2799	271,1022	612,6666667	0,256100193	0,460246822	0,508073904	0,442495466
y9	420304,804	36112,8909	44832,28	84275,83	36853	11,40490065	0,979917262	1,216516356	2,286810484
y10	30115,7989	31271,5872	33697,3	36463,81	37726	0,798277021	0,828913407	0,893211691	0,966543289
y11	19356,6999	14607,9703	8682,66	4619,337	236,6666667	81,78887273	61,72381808	36,68729565	19,51832489
y12	23410,9955	19330,226	17347,26	19096,68	665	35,20450448	29,06800896	26,08609931	28,7168064
y13	74,4604795	77,5113267	85,90946	93,10522	237,8227432	0,313092341	0,325920581	0,361233168	0,391489971
y14	4,46463244	2,52296944	2,993029	2,922797	6,072491704	0,735222485	0,415475156	0,492883187	0,481317589

По результатам таблицы 5.3.1, были сделаны следующие выводы:

1. Изменение коэффициента сглаживания от 0,2 до 0,8 с шагом 0,2 при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания показало, что наиболее близкие к фактическим прогнозируемые значения достигаются в большинстве случаев при значении =0,2.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом экспоненциального сглаживания составила 0,130125992, а наибольшая - 81,78887273.

3. Наиболее достоверные результаты, полученные при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания по результативным показателям y_j, , представлены в таблице 5.3.2.

Таблица 5.3.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом экспоненциального сглаживания

Код	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	alpha
y1	1/2005	83098	81561,3	0,268499	0,2
	2/2005	106481	169571,6
	3/2005	238814	218142,3
y2	1/2005	63636	64693,4	0,259429	0,2
	2/2005	85730	134700,4
	3/2005	186906	175173,8
y3	1/2005	3958	4249,84	0,130126	0,2
	2/2005	6161	6901,81
	3/2005	8593	7434,42
y4	1/2005	12950	13568,10	0,30844	0,2
	2/2005	14928	24277,83
	3/2005	37149	30345,18
y5	1/2005	2554	1142,08	0,424015	0,6
	2/2005	2216	4374,69
	3/2005	6166	6882,86
y6	1/2005	1428	-215,322	0,510646	0,2
	2/2005	2487	1220,687
	3/2005	3911	2901,314
y7	1/2005	283	358,425	0,32	0,2
	2/2005	716	532,207
	3/2005	1118	778,259
y8	1/2005	673	543,879	0,2561	0,2
	2/2005	400	613,117
	3/2005	765	656,531
y9	1/2005	47586	32643,5	0,979917	0,2
	2/2005	10864	66747,1
	3/2005	52109	75904,5
y10	1/2005	48991	8613,54	0,798277	0,2
	2/2005	9633	38280,2
	3/2005	54554	38125,9
y11	1/2005	67	6133,17	19,51832	0,2
	2/2005	199	3947,58
	3/2005	444	4072,29
y12	1/2005	465	29843,7	26,0861	0,2
	2/2005	459	3791,2
	3/2005	1071	6416,1
y13	1/2005	139,6605042	121,089	0,313092	0,2
	2/2005	177,7646077	305,379
	3/2005	396,0431177	397,687
y14	1/2005	4,292436975	2,36924	0,415475	0,4
	2/2005	3,699499165	5,44379
	3/2005	10,22553897	6,71059

Результаты сглаживания и прогнозирования для коэффициента сглаживания = 0,2, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y₁ и y₁₃ и для = 0,6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y₅, представлены на рис. 5.3.1. - 5.3.3.

Рис. 5.3.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.3.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.3.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Прогнозирование методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

Прогнозирование на ВДР, в которых наряду с общей тенденцией изменения переменных во времени, требуется учитывать и, так называемую, «сезонную» составляющую, весьма успешно проводится методом Бокса-Дженкинса [2], называемого АРПСС - авторегрессионным и проинтегрированным скользящим средним.

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом [2], включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Вводится три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса [2] модель записывается как АРПСС (p, d, q). Например, модель (0,1,2) содержит 0 (ноль) параметров авторегрессии (p) и два параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.

Мультипликативная сезонная АРПСС представляет естественное развитие и обобщение обычной модели АРПСС на ВДР, в которых имеется периодическая сезонная компонента. В дополнении к несезонным параметрам - общей тенденции изменения ВДР, в модель вводятся сезонные параметры для определения лага (устанавливаемого на этапе идентификации модели). Аналогично параметрам простой модели АРПСС, эти параметры называются: сезонная авторегрессия (ps), сезонная разность (ds) и сезонное скользящее среднее (qs). Таким образом, полная сезонная АРПСС может быть записана как АРПСС (p, d, q)(ps, ds, qs). Например, модель (0, 1, 2)(0, 1, 1) включает 0 регулярных параметров авторегрессии, 2 регулярных параметра скользящего среднего и 1 параметр сезонного скользящего среднего. Сезонный лаг, используемый для сезонных параметров, определяется на этапе анализа характеристик ИСД.

Для учета имеющейся авторегрессии требуется выделить элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующей математической зависимостью:

, (5.4.1)

где - константа (свободный член);

- параметры авторегрессии;

- случайное воздействие.

Можно заметить, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайного воздействия ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего представлены в таблицах 35 - 48 приложения 1.

Сводные результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего при изменении интервала сезонности приведены в таблице 5.4.1.

По результатам таблицы 5.4.1, были сделаны следующие основные выводы:

1. Изменение интервала сезонности (Seasonal Lag = 3; 4; 6; 8) при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего показало, что наиболее близкие прогнозируемые значения к фактическим значениям достигаются в большинстве случаев при значении Seasonal Lag=6.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего составила 0,070643338, а наибольшая - 78,14655803.

3. Наиболее точные результаты, полученные при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, представлены в таблице 5.4.2.

Таблица 5.4.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра Seasonal Lag

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	Seasonal Lag = 3	Seasonal Lag = 4	Seasonal Lag = 6	Seasonal Lag = 8		Seasonal Lag = 3	Seasonal Lag = 4	Seasonal Lag = 6	Seasonal Lag = 8
y1	46474,61891	39049,32	11989,94753	26460,06	142797,6667	0,325457831	0,27345908	0,08396459	0,185297569
y2	41655,7104	23815,43466	13940,08	24734,48194	112090,6667	0,371625146	0,212465813	0,124364368	0,220664955
y3	1121,677531	1275,985453	839,0179399	1114,758949	6237,333333	0,179832866	0,204572272	0,134515488	0,178723645
y4	6369,603852	7326,434238	1531,241457	5082,332101	21675,66667	0,293859651	0,338002718	0,070643338	0,234471778
y5	2337,371948	562,9341764	1378,388796	1183,868058	3645,333333	0,64119567	0,154425981	0,378124212	0,324762635
y6	735,0432271	908,2633089	476,6327079	941,9936854	2608,666667	0,281769701	0,34817147	0,182711235	0,361101592
y7	129,2396622	300,5284023	116,3265935	337,0688531	705,6666667	0,183145483	0,425878699	0,164846377	0,47766016
y8	146,7765349	134,9460847	224,7361612	174,6281152	612,6666667	0,23956997	0,220260204	0,366816368	0,285029568
y9	14472,31684	17932,38083	17857,57454	19884,8689	36853	0,3927039	0,486592159	0,484562303	0,539572596
y10	15264,22032	20293,12173	20320,55941	21574,82296	37726	0,404607441	0,53790812	0,538635408	0,57188207
y11	18494,6854	17021,99555	16057,13	6378,745252	236,6666667	78,14655803	71,92392486	67,8470481	26,95244473
y12	9919,482688	12618,9629	8214,842355	3140,474034	665	14,91651532	18,97588407	12,3531464	4,722517344
y13	85,97	66,65081156	26,60926051	63,12594969	237,8227432	0,361506275	0,280254153	0,111886946	0,265432771
y14	3,75849488	1,097240894	3,717206986	2,505916653	6,072491704	0,618937837	0,18069039	0,612138668	0,412666954

Таблица 5.4.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом АРПСС

Код	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	Seasonal Lag
y1	1/2005	83098	78300,7	0,08396459	6
	2/2005	106481	91333,3
	3/2005	238814	225442,0
y2	1/2005	63636	52599,8	0,124364368	6
	2/2005	85730	69642,8
	3/2005	186906	172679,9
y3	1/2005	3958	4079,87	0,134515488	6
	2/2005	6161	7376,24
	3/2005	8593	9380,53
y4	1/2005	12950	11372,07	0,070643338	6
	2/2005	14928	17035,74
	3/2005	37149	37467,82
y5	1/2005	2554	2433,69	0,154425981	4
	2/2005	2216	2748,99
	3/2005	6166	6973,55
y6	1/2005	1428	1271,393	0,182711235	6
	2/2005	2487	2354,344
	3/2005	3911	3111,367
y7	1/2005	283	444,804	0,164846377	6
	2/2005	716	833,369
	3/2005	1118	1092,709
y8	1/2005	673	668,6615	0,220260204	4
	2/2005	400	632,8516
	3/2005	765	784,8159
y9	1/2005	47586	41634,55	0,3927039	3
	2/2005	10864	23177,88
	3/2005	52109	31102,04
y10	1/2005	48991	38029,41	0,404607441	3
	2/2005	9633	15372,10
	3/2005	54554	31189,59
y11	1/2005	67	533,59	26,95244473	8
	2/2005	199	4694,88
	3/2005	444	10525,39
y12	1/2005	465	1004,164	4,722517344	8
	2/2005	459	3177,860
	3/2005	1071	5751,260
y13	1/2005	139,6605042	148,9521	0,111886946	6
	2/2005	177,7646077	222,5744
	3/2005	396,0431177	390,5746
y14	1/2005	4,292436975	3,0673	0,18069039	4
	2/2005	3,699499165	2,3334
	3/2005	10,22553897	10,7201

Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала сглаживания Seasonal Lag = 6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y₁ и y₁₃ и для Seasonal Lag = 4, при котором были получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y₅, представлены на рис. 5.4.1 - 5.4.3.

Рис. 5.4.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.4.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.4.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Прогнозирование на нейронных сетях

В последние десятилетия в мире усиленно развивается новая прикладная область математики, специализирующаяся на нейронных сетях (НС) [10]. Нервная система и мозг человека состоят из нейронов, соединенных между собой нервными волокнами. Нервные волокна способны передавать электрические импульсы между нейронами. Все процессы передачи раздражений от нашей кожи, ушей и глаз к мозгу, процессы мышления и управления действиями - все это реализовано в живом организме как передача электрических импульсов между нейронами.

Рассмотрим строение биологического нейрона. Каждый нейрон имеет отростки нервных волокон двух типов - дендриты, по которым принимаются импульсы, и единственный аксон, по которому нейрон может передавать импульс. Аксон контактирует с дендритами других нейронов через специальные образования - синапсы, которые влияют на силу импульса.

Рис. 5.5.1. Строение биологического нейрона

Можно считать, что при прохождении синапса сила импульса меняется в определенное число раз, ко...