Интегральное исчисление функций одной переменной
Изучение основных методов интегрирования простейших иррациональных функций. Определенный интеграл и его приложения. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Вычисление площади плоской фигуры, дуги, объемов тел вращения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.09.2017 |
| Размер файла | 959,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство аграрной политики Украины
Луганский национальный аграрный университет
Методические указания
к практическим занятиям, индивидуальной и самостоятельной работе с заданиями для расчетно-графической работы
Интегральное исчисление функций одной переменной
Леви Л.И.
Коваль А.В.
Луганск 2008
Составители:
Леви Леонид Иссакович, доктор технических наук, зав. кафедрой физико-математических дисциплин.
Коваль Анатолий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математических дисциплин.
Интегральное исчисление функций одной переменной. Методические указания и индивидуальные задания к расчетно-графической работе для студентов инженерных специальностей аграрных университетов/ Леви Л.И., Коваль А.В. - Луганск, ЛНАУ, 2008. - 64 с.
Рецензенты:
Грибанов В.М., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Восточноукраинского национального университета им. В. Даля;
Ревенко А.В., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математических дисциплин Луганского национального агарного университета.
Издание рассмотрено и рекомендовано к печати: на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 7 от 23 марта 2008 года);
на заседании методической комиссии факультета сельскохозяйственного строительства (протокол № 8 от 19 апреля 2008 года).
Содержание
интеграл иррациональный площадь фигура
1. Неопределенный интеграл
1.1 Определения и свойства
1.2 Таблица основных интегралов
1.3 Основные методы интегрирования
1.3.1 Метод непосредственного интегрирования
1.3.2 Метод замены переменной (метод подстановки)
1.3.3 Метод интегрирования по частям
1.3.4 Интегрирование рациональных функций
1.3.5 Интегрирование простейших иррациональных функций
1.3.6 Интегрирование тригонометрических функций
2. Определенный интеграл и его приложения
2.1 Формула Ньютона-Лейбница
2.2 Замена переменной в определенном интеграле
2.3 Интегрирование по частям
2.4 Приложения определенного интеграла
2.4.1 Вычисление площади плоской фигуры
2.4.2 Вычисление длины дуги
2.4.3 Вычисление объемов тел вращения
2.5 Задания расчетно-графической работы
Литература
Приложения
1. Неопределенный интеграл
1.1 Определения и свойства
Пусть дана функция . Необходимо найти такую функцию , производная которой равна , то есть .
Определение 1. Функция называется первообразной от функции на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .
Например, для функции первообразной будет потому, что .
Всякая непрерывная функция имеет бесконечное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянными слагаемыми, то есть, если есть первообразная от функции , то есть также первообразная от , так как . Здесь произвольная постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для заданной функции называют неопределенным интегралом и обозначают .
Таким образом, по определению
,
если
.
Функцию называют подынтегральной функцией; подынтегральным выражением; постоянной интегрирования.
Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции . Отсюда видно, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.
Правильность интегрирования всегда можно проверить, выполнив обратное действие, т.е. найдя производную функции, получившейся в результате интегрирования. Производная должна быть равна подынтегральной функции.
Свойства неопределенного интеграла
. Производная от неопределенного интеграла равна подынтег-ральной функции:
.
Иначе говоря, знаки производной и неопределенного интеграла взаимно уничтожаются.
. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.
. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой из этих функций:
. Если
и произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то
.
Это свойство (его называют инвариантностью формулы интегрирования) очень важно. Оно означает, что та или иная формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, или переменная интегрирования есть независимой переменной или произвольной функцией от нее, которая имеет непрерывную производную.
1.2 Таблица основных интегралов
1. , .
В частности,
; ; ; .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.
1.3 Основные методы интегрирования
1.3.1 Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
В ряде случаев простейшие интегралы могут быть найдены путем разложения подынтегральной функции на слагаемые. Тогда в состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования.
Решение типовых примеров по Заданию 1
а) 1.1. .
Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию, выполнив деление, а затем воспользуемся табличными интегралами.
.
Проверка.
.
б) Как было указано выше, согласно свойства неопределенного интеграла, он не зависит от выбора переменной интегрирования, то есть, если и - дифференцируемая функция от независимой переменной , то , т.е. таблица основных интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной, или дифференцируемой функцией . Выбирая различным образом функцию можно расширить применение таблицы к непосредственному интегрированию.
Например, решают по формуле 1. Если заменить на , то получим
или ,
который тоже решается по формуле 1.
При интегрировании часто используют следующие преобразования дифференциала, в которых и - постоянные величины.
I. .
II. , .
III. , .
IV. - подведение функции под знак дифференциала.
Примеры:
Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найти:
1.2. .
Используем формулу преобразования II и табличный интеграл 5.
.
Проверка
.
в) 1.3. .
Решение.
.
Проверка.
.
г) 1.4. .
Решение.
.
Проверка
.
д) 1.5. .
Решение.
.
Проверка.
.
е) 1.6.
Решение.
.
1.3.2 Метод замены переменной (метод подстановки)
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению нового интеграла, который является табличным, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Приведем некоторые рекомендации.
. Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении , где непрерывная функция, имеющая обратную производную .
Тогда
.
В этом случае имеет место равенство
,
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования будет найден, то, преобразовав результат к первоначальной переменной , получим искомое выражение.
. Если подынтегральное выражение содержит иррациональность
, , то чтобы избавиться от корня, полагают .
. Интегралы вида , где некоторая рациональная функция, решаются подстановкой , , .
. Интегралы вида , где рациональная функция, решаются подстановкой , .
. Интегралы вида приводятся к рациональному виду подстановкой
, .
Решение типовых примеров по Заданию 2
В простых случаях (Задание 1) введение новой переменной мы выполняли в уме и находили интегралы непосредственным интегрированием (введением переменной под знак дифференциала). Эти же и более сложные примеры, когда введение новой переменной в уме затруднительно, можно решить, применяя метод замены переменной.
2.1. .
Решение. 1-й способ (непосредственное интегрирование).
Введем под знак дифференциала
.
2-й способ (метод замены переменной).
Используем рекомендации .
.
2.2. .
Решение. Используем рекомендации .
.
1.3.3 Метод интегрирования по частям
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
. Интегралы типа где многочлен, число или функция, удобно вычислять, приняв , а за обозначить все остальные сомножители, включая .
. Интегралы типа удобно вычислять, положив , а за обозначить все остальные сомножители подынтегральной функции.
. При вычислении интегралов типа , ,
где и числа, за можно принять функцию .
Решение типовых примеров по Заданию 3
3.1. .
Решение. Это интеграл типа В этом случае . Поэтому
.
3.2. .
Решение. Это интеграл типа В этом случае .
.
1.3.4 Интегрирование рациональных функций
Приведем несколько рекомендаций.
. При вычислении интегралов, содержащих квадратный трехчлен вида
выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе, после этого применяют формулы табличных интегралов 2, 18, 19.
. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.
Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть (как было указано выше), то есть представить в виде
.
2. Разложить знаменатель на простые множители.
При этом могут встретиться следующие случаи:
а) корни знаменателя действительны и различны;
б) корни знаменателя действительные и некоторые из них кратные;
в) среди корней знаменателя есть комплексные;
г) среди корней знаменателя есть комплексные кратные.
В общем виде разложение имеет вид
,
где , то есть трехчлен имеет комплексные сопряженные корни.
3. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
.
Для каждого множителя в разложении знаменателя выписывается столько простых дробей, какова его кратность. Знаменателями простых дробей являются целые числа степени каждого множителя, начиная с первого и кончая той степенью, которую множитель имеет в разложении.
4. Вычислить неопределенные коэффициенты , , . . . , , . . . , , , , . . . , , . . .
Решение типовых примеров по Заданию 4
4.1. .
Решение. Это интеграл вила . Выделим в знаменателе полный квадрат и сделаем замену переменной.
.
4.2. .
Решение. Это случай . Знаменатель имеет только действительные различные корни.
Так как каждый из двучленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная дробь может быть представлена в виде суммы следующих простейших дробей:
.
Приводя к общему знаменателю правую часть равенства, и приравнивая числители полученных дробей, имеем
.
Следовательно,
.
Раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений
из которой находим , , .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
.
Таким образом,
.
1.3.5 Интегрирование простейших иррациональных функций
Интегралы от иррациональных функций берутся только в некоторых частных случаях. Основным приемом интегрирования является отыскание таких подстановок, которые приводят подынтегральное выражение к рациональному виду.
Нахождение простейших интегралов вида
;
мы уже приводили в разделе
Рассмотрим более сложные иррациональные функции и приведем некоторые рекомендации.
. Интегралы вида , где некоторая рациональная функция; целые числа, приводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , , где наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей .
. Интегралы вида
,
где некоторая рациональная функция; целые числа.
C помощью подстановки
, ,
где (НОК) знаме-нателей дробей , указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
. Интегралы более общего вида
приводятся к рациональному виду с помощью подстановки
,
где (НОК) знаменателей дробей .
. Интегралы вида путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 20 или 22.
. Интегралы вида . Для нахождения этого интеграла выделяют полный квадрат их квадратного трехчлена подкоренного выражения, после чего интеграл разлагается на сумму двух интегралов.
. Интегралы вида . С помощью подстановки этот интеграл приводится к рассмотренному в .
. Интеграл от дифференциального бинома
,
где постоянные рациональные числа, постоянные числа, приводятся к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной, лишь в следующих трех случаях:
1. Если целое число (положительное, отрицательное или 0), тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где наименьшее общее кратное знаменателей дробей и .
2. Если целое число (положительное, отрицательное или 0). В этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки , где знаменатель дроби .
3. Если целое число (положительное, отрицательное или 0). В этом случае к той же цели ведет подстановка , где знаменатель дроби .
Рассмотренные три случая были указаны еще Ньютоном. Эйлер, которого никто из математиков не превзошел в искусстве преобразований, безуспешно искал новые случаи интегрируемости биномиального дифференциала. Он пришел к убеждению, что эти три случая единственные. Но лишь П.Л.Чебышев в 1853 году доказал утверждение Эйлера.
. Тригонометрические подстановки:
1. Если интеграл содержит радикал , то полагают
или .
Тогда
или .
2. Если интеграл содержит радикал , то полагают ,
.
3. Если интеграл содержит радикал , то полагают ,
.
1.3.6 Интегрирование тригонометрических функций
. Интегралы вида . Выделим здесь три случая, имеющие особенно важное значение.
1. Если оба показателя степени и четные положительные числа, то следует преобразовывать подынтегральную функцию с помощью формул
, , .
2. Интеграл от нечетной степени или (или и и ) можно найти путем отделения от нее одного множителя и применения подстановки:
если нечетное положительное число ;
если нечетное положительное число .
3. Если , то есть четное отрицательное число, то целесообразно использовать подстановку , откуда
; , .
. Интегралы вида , где рациональная функция. Приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки . В результате этой подстановки имеем:
; ;
; .
Примечание: Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через в виде рациональных дробей, содержащих .
В некоторых случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.
1. Если нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой .
2. Если нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой .
3. Если четная функция относительно , и т.е. если , то к цели приводит подстановка .
Интегралы вида , , где целое положительное число. При нахождении таких интегралов применяется формула (или ), с помощью которой последовательно понижается степень тангенса или котангенса.
Интегралы вида , , приводятся к табличным путем разложения подынтег-ральных функций на слагаемые по формулам:
,
,
.
Решение типовых примеров по Заданию 5
а) 5.1. .
Решение. Имеем интеграл вида . Наименьший общий знаменатель дробей и равен 6, поэтому, делаем подстановку: . Тогда
.
б) 5.2. .
Решение. Это интеграл вида Здесь , четные положительные. Применим формулу понижения степени и преобразования произведения:
.
5.3. .
Решение. Интеграл вида нечетное. Отделим от нечетной степени один множитель первой степени, внесем его под знак дифференциала и сделаем подстановку .
.
2. Определенный интеграл и его приложения
2.1 Формула Ньютона-Лейбница
Если есть первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула
. (2.1)
По формуле Ньютона-Лейбница сначала находят первообразную, а затем находят разность первообразных, соответственно при верхнем и нижнем значении предела.
2.2 Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл где функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную по формуле .
Если , ; функция и ее производная непрерывны на отрезке и определена и непрерывна на отрезке , то
. (2.2)
2.3 Интегрирование по частям
Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула
. (2.3)
Решение типовых примеров по Заданию 6
6.1. .
Решение.
.
2.4 Приложения определенного интеграла
2.4.1 Вычисление площади плоской фигуры
. Если непрерывная кривая задана уравнением , , то площадь криволинейной трапеции , прилежащей к оси (рис. 2.1) вычисляется по формуле
. (2.4)
Если фигура расположена по разные стороны оси (рис. 2), то площадь следует вычислять по формуле
. (2.5)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
. Если фигура ограничена двумя непрерывными кривыми и , прилегающими к оси (рис. 3, 4), то ее площадь равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и определяется по формуле
. (2.6)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных секторов (рис. 5) и вычисляется по формуле
. (2.7)
Решение типовых примеров по Заданию 7
7.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ; ; ; . Построить графики.
Решение. Построим графики заданных функций (рис. 6).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 6
Переменная изменяется от до , а функция от до .
Согласно формулы (2.4) искомая площадь фигуры равна
(кв. ед.).
7.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ; . Построить графики.
Решение. Построим графики заданных функций (рис. 7).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Согласно формулы (2.5) искомая площадь фигуры равна
(кв. ед.).
7.3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .
Решение. Найдем точки пересечения кривых, решая совместно систему уравнений
Построим графики.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 8
Переменная изменяется от до , а функция от до .
Искомая площадь
(кв. ед.).
2.4.2 Вычисление длины дуги
. Если плоская кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (или , то дифференциал длины дуги определяется по формуле
.
Интегрируя дифференциал дуги в заданных пределах, находим длину дуги
, (2.8)
где .
. Если плоская кривая задана в полярной системе координат уравнением , то дифференциал длины дуги равен
,
а длина дуги определяется по формуле
. (2.9)
где .
Решение типовых примеров по Заданию 8
8.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах ; , .
Решение. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением , и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и вычисляется по формуле (2.7)
(кв. ед).
8.2. Найти длину дуги параболы от точки до точки .
Решение. Поскольку , а , то по формуле (2.8) получим
(ед. длины).
При вычислении интеграла воспользовались формулой 24 таблицы основных интегралов.
8.3. Найти длину дуги кривой ; .
Решение. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле (2.9).
В нашем случае
.
(ед. длины).
2.4.3 Вычисление объемов тел вращения
Если тело образовано вращением вокруг оси кривой , то объем тела вращения вычисляется по формуле
, (2.10)
Если кривая , вращается вокруг оси , объем тела вращения в этом случае равен
, (2.11)
Решение типовых примеров по Заданию 9
9.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью . Сделать чертеж.
Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом октанте. Для этого решим уравнение или . Решая его, получаем , . Первому квадранту соответствует корень .
Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение , откуда . Сделаем чертеж (рис. 9).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Таким образом, тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси , а при вращением прямой .
Объем тела вращения вычислим по формуле (2.10):
.
Для вычисления второго интеграла используем подстановку .
(куб. ед).
Решение типовых примеров по Заданию 10
10.1. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей.
Вычисления производить с точностью до четвертого знака. Определить абсолютную и относительную ошибки вычислений.
.
Решение. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
.
Вычислим определенный интеграл по формуле Симпсона.
; ;
; ;
; ;
; .
; .
;
По формуле Симпсона
.
.
В нашем случае
.
.
Абсолютная погрешность вычислений
.
Относительная погрешность
.
10.2. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей.
Вычисления производить с точностью до четвертого знака. Определить абсолютную и относительную ошибки вычислений.
.
Решение. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
.
Вычислим интеграл по формуле трапеций.
Разобьем отрезок интегрирования на 8 частей и составим таблицу значений подынтегральной функции
, ; , ;
, ; , ;
, ; , ;
, ; , .
, ;
По формуле трапеций
.
В нашем случае .
.
Абсолютная погрешность вычислений
.
Относительная погрешность
.
2.5 Задания расчетно-графической работы
Задание 1
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования: сведением интеграла к табличному; , пользуясь инвариантностью формулы интегрирования (подведением функции под знак дифференциала).
Результаты проверить путем нахождения произ-водной от полученной функции.
1.1. ; ; ;
; ; .
1.2. ; ; ;
; ; .
1.3. ; ; ;
; ; .
1.4. ; ; ;
; ; .
1.5. ; ;
; ; .
1.6. ; ; ;
; ; .
1.7. ; ; ;
; ; .
1.8. ; ; ;
; ; .
1.9. ; ; ;
; ; .
1.10. ; ; ;
; ; .
1.11. ; ; ;
; ; .
1.12. ; ; ;
; ; .
1.13. ; ; ;
; ; .
1.14. ; ; ;
; ; .
1.15. ; ; ;
; ; .
1.16. ; ; ;
; ; .
1.17. ; ; ;
; ; .
1.18. ; ; ;
; ; .
1.19. ; ; ;
; ; .
1.20. ; ; ;
; ; .
1.21. ; ; ;
; ; .
1.22. ; ; ;
; ; .
1.23. ; ; ;
; ; .
1.24. ; ; ;
; ; .
1.25. ; ; ;
; ; .
1.26. ; ; ;
; ; .
1.27. ; ; ;
; ; .
1.28. ; ; ;
; ; .
1.29. ; ; ;
; ; .
1.30. ; ; ;
; ; .
Задание 2
Найти неопределенные интегралы методом замены переменной
2.1. . 2.2. . 2.3. .
2.4. . 2.5. . 2.6. .
2.7. . 2.8. . 2.9. .
2.10. . 2.11. . 2.12. .
2.13. . 2.14. . 2.15. .
2.16. . 2.17. . 2.18. .
2.19. . 2.20. . 2.21. .
2.22. . 2.23. . 2.24. .
2.25. 2.26. . 2.27. .
2.28. . 2.29. . 2.30. .
Задание 3
Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям
3.1. а) ; б) .
3.2. а) ; б) .
3.3. а) ; б) .
3.4. а) ; б) .
3.5. а) ; б) .
3.6. а) ; б) .
3.7. а) ; б) .
3.8. а) ; б) .
3.9. а) ; б) .
3.10. а) ; б) .
3.11. а) ; б) .
3.12. а) ; б) .
3.13. а) ; б) .
3.14. а) ; б) .
3.15. а) ; б) .
3.16. а) ; б) .
3.17. а) ; б) .
3.18. а) ; б) .
3.19. а) ; б) .
3.20. а) ; б) .
3.21. а) ; б) .
3.22. а) ; б) .
3.23. а) ; б) .
3.24. а) ; б) .
3.25. а) ; б) .
3.26. а) ; б) .
3.27. а) ; б) .
3.28. а) ; б) .
3.29. а) ; б) .
3.30. а) ; б) .
Задание 4
Найти неопределенные интегралы от рациональных функций: используя выделение полного квадрата; пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.
4.1. а) ; б) .
4.2. а) ; б) .
4.3. а) ; б) .
4.4. а) ; б) .
4.5. а) ; б) .
4.6. а) ; б) .
4.7. а) ; б) .
4.8. а) ; б) .
4.9. а) ; б) .
4.10. а) ; б) .
4.11. а) ; б) .
4.12. а) ; б) .
4.13. а) ; б) .
4.14. а) ; б) .
4.15. а) ; б) .
4.16. а) ; б) .
4.17. а) ; б) .
4.18. а) ; б) .
4.19. а) ; б) .
4.20. а) ; б) .
4.21. а) ; б) .
4.22. а) ; б) .
4.23. а) ; б) .
4.24. а) ; б) .
4.25. а) ; б) .
4.26. а) ; б) .
4.27. а) ; б) .
4.28. а) ; б) .
4.29. а) ; б) .
4.30. а) ; б) .
Задание 5
Найти неопределенные интегралы: а) от иррациональных функций;
б) от тригонометрических функций
5.1. а) ; б) .
5.2. а) ; б) .
5.3. а) ; б) .
5.4. а) ; б) .
5.5. а) ; б) .
5.6. а) ; б) .
5.7. а) ; б) .
5.8. а) ; б) .
5.9. а) ; б) .
5.10. а) ; б) .
5.11. а) ; б) .
5.12. а) ; б) .
5.13. ; б) .
5.14. а) ; б) .
5.15. а) ; б) .
5.16. а) ; б) .
5.17. а) ; б) .
5.18. а) ; б) .
5.19. а) ; б) .
5.20. а) ; б) .
5.21. а) ; б) .
5.22. а) ; б) .
5.23. а) ; б) .
5.24. а) ; б) .
5.25. а) ; б) .
5.26. а) ; б) .
5.27. а) ; б) .
5.28. а) ; б) .
5.29. а) ; б) .
5.30. а) ; б) .
Задание 6
Найти определенный интеграл методом замены переменной
6.1. . 6.2. . 6.3. .
6.4. . 6.5. . 6.6. .
6.7. . 6.8. . 6.9. .
6.10. . 6.11. . 6.12. .
6.13. . 6.14. . 6.15. .
6.16. . 6.17. . 6.18. .
6.19. . 6.20. . 6.21. .
6.22. . 6.23. . 6.24. .
6.25. . 6.26. . 6.27. .
6.28. . 6.29. . 6.30. .
Задание 7
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Построить графики
7.1. ; .
7.2. ; .
7.3. ; .
7.4. ; .
7.5. ; .
7.6. ; .
7.7. ; .
7.8. ; .
7.9. ; .
7.10. ; ; ; .
7.11. ; .
7.12. ; .
7.13. ; .
7.14. ; ; ; .
7.15. ; .
7.16. ; ; ; .
7.17. ; .
7.18. ; .
7.19. ; .
7.20. ; .
7.21. ; .
7.22. ; .
7.23. ; .
7.24. ; .
7.25. ; .
7.26. ; ; .
7.27. ; .
7.28. ; .
7.29. ; .
7.30. ; .
Задание 8
8.1.-8.10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах
8.1. ; , .
8.2. ; , .
8.3. ; , .
8.4. ; .
8.5. ; , .
8.6. ; , .
8.7. ; , .
8.8. ; , .
8.9. ; , .
8.10. ; , .
8.11.-8.30. Найти длину дуги кривой
8.11. ; .
8.12. ; .
8.13. ; , .
8.14. ; .
8.15. ; .
8.16. ; .
8.17. ; .
8.18. ; .
8.19. ; .
8.20. ; .
8.21. ; .
8.22. ; .
8.23. ; , .
8.24. ; .
8.25. ; .
8.26. ; .
8.27. ; .
8.28. ; .
8.29. ; .
8.30. ; .
Задание 9
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными парабо-лой, прямой и осью . Сделать чертеж.
9.1. ; . 9.2. ; .
9.3. ; . 9.4. ; .
9.5. ; . 9.6. ; .
9.7. ; . 9.8. ; .
9.9. ; . 9.10. ; .
9.11. ; . 9.12. ; .
9.13. ; . 9.14. ; .
9.15. ; . 9.16. ; .
9.17. ; . 9.18. ; .
9.19. ; . 9.20. ; .
9.21. ; . 9.22. ; .
9.23. ; . 9.24. ; .
9.25. ; . 9.26. ; .
9.27. ; . 9.28. ; .
9.29. ; . 9.30. ; .
Задание 10
10.1.-10.10. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей.
Вычисления производить с точностью до четвертого знака. Определить абсолютную и относительную ошибки вычислений.
10.1. . 10.2. . 10.3. .
10.4. . 10.5. . 10.6. .
10.7. . 10.8. . 10.9. .
10.10. .
10.11.-10.30. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей.
Вычисления производить с точностью до четвертого знака. Определить абсолютную и относительную ошибки вычислений.
10.11. . 10.12. . 10.13. .
10.14. . 10.15. . 10.16. .
10.17. . 10.18. . 10.19. .
10.20. . 10.21. . 10.22. .
10.23. . 10.24. . 10.25. .
10.26. . 10.27. . 10.28. .
10.29. . 10.30. .
Литература
1. В.П.Дубовик, І.І. Юрик Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001. - 648 с.: іл.
2. В.С. Шипачев Высшая математика: Учеб. для вузов. 5-е изд., стер. - М.: Высш. школа. 2002. - 479 с.: ил.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. пособие. Т. II. М.: Высш. школа. 1985. - 418 с.
4. Вища математика. Збірник задач. За ред. В.П.Дубовика, І.І. Юрика - К.: А.С.К., 2001. - 480 с.: іл.
5. В.С. Шипачев Задачник по высшей математике Издание второе - М.: Высш. школа. 2001. - 304 с.: ил.
6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для спец. учебных заведений. - 5-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2002. - 495 с.
7. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. школа. 1978.
8. Б.П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Издание шестое. М.: Наука. 1966.
9. Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука. 1980.
10. Минорский В.Н. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука. 1981.
11. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I, II. М.: Высш. школа. 1974.
12. Руководство к решению задач по высшей математике. Под ред. Е.И. Гурского Ч.1. М.: Высш. школа. 1989.
Приложение 1
Номера индивидуальных заданий. Две последние цифры номера зачетной книжки
|
01 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
6.1 |
7.1 |
8.1 |
9.1 |
10.1 |
|
|
02 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
6.2 |
7.2 |
8.2 |
9.2 |
10.2 |
|
|
03 |
1.3 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
6.3 |
7.3 |
8.3 |
9.3 |
10.3 |
|
|
04 |
1.4 |
2.4 |
3.4 |
4.4 |
5.4 |
6.4 |
7.4 |
8.4 |
9.4 |
10.4 |
|
|
05 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
6.5 |
7.5 |
8.5 |
9.5 |
10.5 |
|
|
06 |
1.6 |
2.6 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
6.6 |
7.6 |
8.6 |
9.6 |
10.6 |
|
|
07 |
1.7 |
2.7 |
3.7 |
4.7 |
5.7 |
6.7 |
7.7 |
8.7 |
9.7 |
10.7 |
|
|
08 |
1.8 |
2.8 |
3.8 |
4.8 |
5.8 |
6.8 |
7.8 |
8.8 |
9.8 |
10.8 |
|
|
09 |
1.9 |
2.9 |
3.9 |
4.9 |
5.9 |
6.9 |
7.9 |
8.9 |
9.9 |
10.9 |
|
|
10 |
1.10 |
2.10 |
3.10 |
4.10 |
5.10 |
6.10 |
7.10 |
8.10 |
9.10 |
10.10 |
|
|
11 |
1.11 |
2.11 |
3.11 |
4.11 |
5.11 |
6.11 |
7.11 |
8.11 |
9.11 |
10.11 |
|
|
12 |
1.12 |
2.12 |
3.12 |
4.12 |
5.12 |
6.12 |
7.12 |
8.12 |
9.12 |
10.12 |
|
|
13 |
1.13 |
2.13 |
3.13 |
4.13 |
5.13 |
6.13 |
7.13 |
8.13 |
9.13 |
10.13 |
|
|
14 |
1.14 |
2.14 |
3.14 |
4.14 |
5.14 |
6.14 |
7.14 |
8.14 |
9.14 |
10.14 |
|
|
55 |
1.15 |
2.15 |
3.15 |
4.15 |
5.15 |
6.15 |
7.15 |
8.15 |
9.15 |
10.15 |
|
|
16 |
1.16 |
2.16 |
3.16 |
4.16 |
5.16 |
6.16 |
7.16 |
8.16 |
9.16 |
10.16 |
|
|
17 |
1.17 |
2.17 |
3.17 |
4.17 |
5.17 |
6.17 |
7.17 |
8.17 |
9.17 |
10.17 |
|
|
18 |
1.18 |
2.18 |
3.18 |
4.18 |
5.18 |
6.18 |
7.18 |
8.18 |
9.18 |
10.18 |
|
|
19 |
1.19 |
2.19 |
3.19 |
4.19 |
5.19 |
6.19 |
7.19 |
8.19 |
9.19 |
10.19 |
|
|
20 |
1.20 |
2.20 |
3.20 |
4.20 |
5.20 |
6.20 |
7.20 |
8.20 |
9.20 |
10.20 |
|
|
21 |
1.21 |
2.21 |
3.21 |
4.21 |
5.21 |
6.21 |
7.21 |
8.21 |
9.21 |
10.21 |
|
|
22 |
1.22 |
2.22 |
3.22 |
4.22 |
5.22 |
6.22 |
7.22 |
8.22 |
9.22 |
10.22 |
|
|
23 |
1.23 |
2.23 |
3.23 |
4.23 |
5.23 |
6.23 |
7.23 |
8.23 |
9.23 |
10.23 |
|
|
24 |
1.24 |
2.24 |
3.24 |
4.24 |
5.24 |
6.24 |
7.24 |
8.24 |
9.24 |
10.24 |
|
|
25 |
1.25 |
2.25 |
3.25 |
4.25 |
5.25 |
6.25 |
7.25 |
8.25 |
9.25 |
10.25 |
|
|
26 |
1.26 |
2.26 |
3.26+ |
4.26 |
5.26 |
6.26 |
7.26 |
8.26 |
9.26 |
10.26 |
|
|
27 |
1.27 |
2.27 |
3.27 |
4.27 |
5.27 |
6.27 |
7.27 |
8.27 |
9.27 |
10.27 |
|
|
28 |
1.28 |
2.28 |
3.28 |
4.28 |
5.28 |
6.28 |
7.28 |
8.28 |
9.28 |
10.28 |
|
|
29 |
1.29 |
2.29 |
3.29 |
4.29 |
5.29 |
6.29 |
7.29 |
8.29 |
9.29 |
10.29 |
|
|
30 |
1.30 |
2.30 |
3.30 |
4.30 |
5.30 |
6.30 |
7.30 |
8.30 |
9.30 |
10.30 |
|
|
31 |
1.1 |
2.2 |
3.3 |
4.4 |
5.5 |
6.6 |
7.7 |
8.8 |
9.9 |
10.10 |
|
|
32 |
1.2 |
2.3 |
3.4 |
4.5 |
5.6 |
6.7 |
7.8 |
8.9 |
9.10 |
10.11 |
|
|
33 |
1.3 |
2.4 |
3.5 |
4.6 |
5.7 |
6.8 |
7.9 |
8.10 |
9.11 |
10.12 |
|
|
34 |
1.4 |
2.5 |
3.6 |
4.7 |
5.8 |
6.9 |
7.10 |
8.11 |
9.12 |
10.13 |
|
|
35 |
1.5 |
2.6 |
3.7 |
4.8 |
5.9 |
6.10 |
7.11 |
8.12 |
9.13 |
10.14 |
|
|
36 |
1.6 |
2.7 |
3.8 |
4.9 |
5.10 |
6.11 |
7.12 |
8.13 |
9.14 |
10.15 |
|
|
37 |
1.7 |
2.8 |
3.9 |
4.10 |
5.11 |
6.12 |
7.13 |
8.14 |
9.15 |
10.16 |
|
|
38 |
1.8 |
2.9 |
3.10 |
4.11 |
5.12 |
6.13 |
7.14 |
8.15 |
9.16 |
10.17 |
|
|
39 |
1.9 |
2.10 |
3.11 |
4.12 |
5.13 |
6.14 |
7.15 |
8.16 |
9.17 |
10.18 |
|
|
40 |
1.10 |
2.11 |
3.12 |
4.13 |
5.14 |
6.15 |
7.16 |
8.17 |
9.18 |
10.19 |
|
|
41 |
1.11 |
2.12 |
3.13 |
4.14 |
5.15 |
6.16 |
7.17 |
8.18 |
9.19 |
10.20 |
|
|
42 |
1.12 |
2.13 |
3.14 |
4.15 |
5.16 |
6.17 |
7.18 |
8.19 |
9.20 |
10.21 |
|
|
43 |
1.13 |
2.14 |
3.15 |
4.16 |
5.17 |
6.18 |
7.19 |
8.20 |
9.21 |
10.22 |
|
|
44 |
1.14 |
2.15 |
3.16 |
4.17 |
5.18 |
6.19 |
7.20 |
8.21 |
9.22 |
10.23 |
|
|
45 |
1.15 |
2.16 |
3.17 |
4.18 |
5.19 |
6.20 |
7.21 |
8.22 |
9.23 |
10.24 |
|
|
46 |
1.16 |
2.17 |
3.18 |
4.19 |
5.20 |
6.21 |
7.22 |
8.23 |
9.24 |
10.25 |
|
|
47 |
1.17 |
2.18 |
3.19 |
4.20 |
5.21 |
6.22 |
7.23 |
8.24 |
9.25 |
10.26 |
|
|
48 |
1.18 |
2.19 |
3.20 |
4.21 |
5.22 |
6.23 |
7.24 |
8.25 |
9.26 |
10.27 |
|
|
49 |
1.19 |
2.20 |
3.21 |
4.22 |
5.23 |
6.24 |
7.25 |
8.26 |
9.27 |
10.28 |
|
|
50 |
1.20 |
2.21 |
3.22 |
4.23 |
5.24 |
6.25 |
7.26 |
8.27 |
9.28 |
10.29 |
Номера индивидуальных заданий. Две последние цифры номера зачетной книжки
|
51 |
1.21 |
2.22 |
3.23 |
4.24 |
5.25 |
6.26 |
7.27 |
8.28 |
9.29 |
10.30 |
|
|
52 |
1.22 |
2.23 |
3.24 |
4.25 |
5.26 |
6.27 |
7.28 |
8.29 |
9.30 |
10.1 |
|
|
53 |
1.23 |
2.24 |
3.25 |
4.26 |
5.27 |
6.28 |
7.29 |
8.30 |
9.1 |
10.2 |
|
|
54 |
1.24 |
2.25 |
3.26 |
4.27 |
5.28 |
6.29 |
7.30 |
8.1 |
9.2 |
10.3 |
|
|
55 |
1.25 |
2.26 |
3.27 |
4.28 |
5.29 |
6.30 |
7.1 |
8.2 |
9.3 |
10.4 |
|
|
56 |
1.26 |
2.27 |
3.28 |
4.29 |
5.30 |
6.1 |
7.2 |
8.3 |
9.4 |
10.5 |
|
|
57 |
1.27 |
2.28 |
3.29 |
4.30 |
5.1 |
6.2 |
7.3 |
8.4 |
9.5 |
10.6 |
|
|
58 |
1.28 |
2.29 |
3.30 |
4.1 |
5.2 |
6.3 |
7.4 |
8.5 |
9.6 |
10.7 |
|
|
59 |
1.29 |
2.30 |
3.1 |
4.2 |
5.3 |
6.4 |
7.5 |
8.6 |
9.7 |
10.8 |
|
|
60 |
1.30 |
2.1 |
3.2 |
4.3 |
5.4 |
6.5 |
7.6 |
8.7 |
9.8 |
10.9 |
|
|
61 |
1.1 |
2.3 |
3.5 |
4.7 |
5.9 |
6.11 |
7.13 |
8.15 |
9.17 |
10.19 |
|
|
62 |
1.2 |
2.4 |
3.6 |
4.8 |
5.10 |
6.12 |
7.14 |
8.16 |
9.18 |
10.20 |
|
|
63 |
1.3 |
2.5 |
3.7 |
4.9 |
5.11 |
6.13 |
7.15 |
8.17 |
9.19 |
10.21 |
|
|
64 |
1.4 |
2.6 |
3.8 |
4.10 |
5.12 |
6.14 |
7.16 |
8.18 |
9.20 |
10.22 |
|
|
65 |
1.5 |
2.7 |
3.9 |
4.11 |
5.13 |
6.15 |
7.17 |
8.19 |
9.21 |
10.23 |
|
|
66 |
1.6 |
2.8 |
3.10 |
4.12 |
5.14 |
6.16 |
7.18 |
8.20 |
9.22 |
10.24 |
|
|
67 |
1.7 |
2.9 |
3.11 |
4.13 |
5.15 |
6.17 |
7.19 |
8.21 |
9.23 |
10.25 |
|
|
68 |
1.8 |
2.10 |
3.12 |
4.14 |
5.16 |
6.18 |
7.20 |
8.22 |
9.24 |
10.26 |
|
|
69 |
1.9 |
2.11 |
3.13 |
4.15 |
5.17 |
6.19 |
7.21 |
8.23 |
9.25 |
10.27 |
|
|
70 |
1.10 |
2.12 |
3.14 |
4.16 |
5.18 |
6.20 |
7.22 |
8.24 |
9.26 |
10.28 |
|
|
71 |
1.11 |
2.13 |
3.15 |
4.17 |
5.19 |
6.21 |
7.23 |
8.25 |
9.27 |
10.29 |
|
|
72 |
1.12 |
2.14 |
3.16 |
4.18 |
5.20 |
6.22 |
7.24 |
8.26 |
9.28 |
10.30 |
|
|
73 |
1.13 |
2.15 |
3.17 |
4.19 |
5.21 |
6.23 |
7.25 |
8.27 |
9.29 |
10.1 |
|
|
74 |
1.14 |
2.16 |
3.18 |
4.20 |
5.22 |
6.24 |
7.26 |
8.28 |
9.30 |
10.2 |
|
|
75 |
1.15 |
2.17 |
3.19 |
4.21 |
5.23 |
6.25 |
7.27 |
8.29 |
9.1 |
10.3 |
|
|
76 |
1.16 |
2.18 |
3.20 |
4.22 |
5.24 |
6.26 |
7.28 |
8.30 |
9.2 |
10.4 |
|
|
77 |
1.17 |
2.19 |
3.21 |
4.23 |
5.25 |
6.27 |
7.29 |
8.1 |
9.3 |
10.5 |
|
|
78 |
1.18 |
2.20 |
3.22 |
4.24 |
5.26 |
6.28 |
7.30 |
8.2 |
9.4 |
10.6 |
|
|
79 |
1.19 |
2.21 |
3.23 |
4.25 |
5.27 |
6.29 |
7.1 |
8.3 |
9.5 |
10.7 |
|
|
80 |
1.20 |
2.22 |
3.24 |
4.26 |
5.28 |
6.30 |
7.2 |
8.4 |
9.6 |
10.8 |
|
|
81 |
1.21 |
2.23 |
3.25 |
4.27 |
5.29 |
6.1 |
7.3 |
8.5 |
9.7 |
10.9 |
|
|
82 |
1.22 |
2.24 |
3.26 |
4.28 |
5.30 |
6.2 |
7.4 |
8.6 |
9.8 |
10.10 |
|
|
83 |
1.23 |
2.25 |
3.27 |
4.29 |
5.1 |
6.3 |
7.5 |
8.7 |
9.9 |
10.11 |
|
|
84 |
1.24 |
2.26 |
3.28 |
1.30 |
5.2 |
6.4 |
7.6 |
8.8 |
9.10 |
10.12 |
|
|
85 |
1.25 |
2.27 |
3.29 |
7.1 |
5.3 |
6.5 |
7.7 |
8.9 |
9.11 |
10.13 |
|
|
86 |
1.26 |
2.28 |
3.30 |
4.2 |
5.4 |
6.6 |
7.8 |
8.10 |
9.12 |
10.14 |
|
|
87 |
1.27 |
2.29 |
3.1 |
4.3 |
5.5 |
6.7 |
7.9 |
8.11 |
9.13 |
10.15 |
|
|
88 |
1.28 |
2.30 |
3.2 |
4.4 |
5.6 |
6.8 |
7.10 |
8.12 |
9.14 |
10.16 |
|
|
89 |
1.29 |
2.1 |
3.3 |
4.5 |
5.7 |
6.9 |
7.11 |
8.13 |
9.15 |
10.17 |
|
