Геометрические характеристики плоских сечений

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1. Геометрические характеристики плоских сечений

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. На практике легко убедиться, что сопротивление прямых стержней при растяжении (сжатии) пропорционально площади поперечного сечения.

При расчетах же на изгиб, кручение, сложное сопротивление, при расчетах на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений. Знание только площади поперечного сечения стержня при этих видах деформации недостаточно. В этом нетрудно убедиться на практике. На рис. 1 видно, что при одной и той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения, стержень по разному сопротивляется действию одной и той же поперечной силы .

Рис. 1 К более сложным геометрическим характеристикам сечения относятся: статический момент, осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Эти геометрические характеристики зависят от формы, размеров сечения, от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются

Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этой оси, т.е.

(1)

Рис. 2 Статические моменты выражаются в см3, м3 и т.д.

Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

(2)

Поэтому

(3)

Из выражения (3) видно, что статические моменты фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести этой фигуры, равны нулю. Оси координат, проходящие через центр тяжести фигуры называются центральными осями.

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

(4)

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

(5)

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.

(6)

Моменты инерции имеют размерность см4, м4 и т.д.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, т.к. под интегралом координаты х, у и берутся в квадратах. Полярный момент инерции

(7)

равен сумме двух осевых моментов инерции.

Здесь ,

что следует из рис.

Рис. 3

Если через какую-либо т.О фигуры (рис. 3) провести две системы прямоугольных координат и и определить моменты инерции относительно этих осей, то получим равенство

(8)

Это равенство следует из того, что каждая из указанных сумм порознь равна полярному моменту относительно т.О.

Центробежный момент инерции берется относительно двух осей. Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Случай, когда центробежный момент инерции равен нулю, заслуживает особого изучения и будет рассмотрен ниже.

Рис. 4 Известно, что интеграл по площади равен сумме интегралов, взятых по отдельным частям, составляющим эту площадь

Поэтому при вычислении моментов инерции (и статических моментов) сложной фигуры относительно какойлибо оси, можно последнюю разбить на ряд простых фигур (рис. 4) и для каждой из них вычислить момент инерции относительно этой оси. Тогда момент инерции всей фигуры определиться как сумма моментов инерции составных частей:

Аналогично

Замечание: Нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Рис. 5 Предположим (рис. 5), что площадь фигуры и моменты инерции относительно осей и заданы. Определим моменты инерции относительно новых осей и , параллельных заданным

Из рис.5 устанавливаем зависимость между координатами:

Пользуясь общей формулой для осевых моментов инерции:

аналогично .

Для центробежного момента инерции имеем

Если оси и центральные, то статические моменты относительно них равны нулю (). Тогда формулы для моментов инерции относительно осей, параллельных центральным, примут вид:

(9)

Формулы часто применяют для вычисления моментов инерции сложных фигур. Складывая два выражения равенств (9) и учитывая, что

,

получим формулу для полярного момента инерции

Если заданными являются моменты инерции относительно произвольных осей, то для центральных осей, параллельных данным осям, путем решения уравнений (9) относительно и получим следующие выражения:

 (10)

Из этих формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей имеют наименьшие значения по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Рис. 6

Пусть моменты инерции сечения относительно осей и заданы. Найдем моменты инерции для осей и , повернутых относительно исходной системы осей на угол (рис. 6)

Выберем произвольную площадку вокруг т. К и выразим ее координаты в новых осях через координаты в старых осях, угол при повороте осей против часовой стрелки:

Найдем момент инерции относительно оси :

Учитывая, что

Окончательно получим

(11)

Аналогично можно установить, что

(11а)

Для центробежного момента инерции получим

Учитывая, что и , получим

(12)

Сложим выражения (11) и (11а), получим

Сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и х не меняются при их повороте. Это показано и соотношением (8).

Главные оси инерции и главные моменты инерции

В предыдущем разделе было показано, что величины моментов инерции меняются при повороте осей. Можно найти такое значение угла , при котором момент инерции достигает экстремального значения. Для определения экстремума приравняем нулю первую производную от (11) и положим :

Или

Откуда

(13)

Полученная формула дает для угла два значения, отличающиеся на 90. Следовательно, существует две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Такие оси называют главными осями инерции, их будем обозначать и , а моменты относительно этих осей - главные моменты инерции.

При положительном значении угла 0, для определения по нему положения одной из главных осей инерции, ось х следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки.

Рис. 7

Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (х или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение (рис. 7).

Для отыскания главных моментов инерции есть два способа.

I способ: По формулам из тригонометрии используя выражения (11) и (13), после некоторых преобразований, найдем

(14)

II способ: Вычислим по (13) угол и с учетом его знака проводим главные оси ОХ0 и ОY0. В формулы (11) и (11а) подставляем и вычисляем и . По числовым значениям и сразу видно, какая ось максимум, а какая минимум. Полученные так и численно равны и , определяемым по формуле (14).

Интересно отметить, что центробежный момент инерции относительно главных осей инерции равен нулю. Для этого в формулу (12) вместо подставим значение , определяемого из формулы (13) и т.к.

;

Условие равенства нулю центробежного момента инерции часто используют для определения положения главных осей инерции - если одна из осей фигуры совпадает с осью симметрии этой фигуры, то эти оси будут главные, т.к. центробежный момент относительно таких осей равен нулю. Таким образом, для симметричных фигур главные оси устанавливаются без вычислений. геометрический площадь инерция фигура

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Эллипс инерции

Введем новую геометрическую характеристику, которую назовем радиусом инерции.

(15)

Предположим, что для какой-либо фигуры оси и являются главными центральными осями. Запишем выражение момента инерции относительно оси , наклонной к оси на угол . На основании (11) получим

, т.к. .

Разделив все на А, получим

(16)

Рис. 8

Построим в осях эллипс, взяв за полуоси радиусы инерции фигуры (рис. 8). При этом вдоль оси отложим радиус , а на оси радиус

Данный эллипс называется эллипсом инерции. Проведем касательную к эллипсу, параллельную оси . Можно показать, что расстояние между касательной и осью , обозначенное на рис. 8 величиной равно:

 (17)

Сравнивая полученную зависимость с выражением (16) видим, что величина численно равна радиусу инерции относительно наклонной оси . Установленное свойство эллипса инерции позволяет графически определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат. Для этого достаточно провести касательную к эллипсу параллельно этой оси и замерить кратчайшее расстояние между касательной и осью. Это расстояние будет равно радиусу инерции для рассматриваемой оси. Момент инерции определяется так:

Вычисление моментов инерции простых фигур

1. Прямоугольное сечение

Рис. 9

Аналогично .

, т.к. оси - главные центральные оси, и - оси симметрии сечения

2. Равнобедренный треугольник

Рис. 10

, из подобия треугольников

Окончательно .

Аналогично . ,

т.к. оси - главные центральные, ось ось симметрии сечения.

3. Прямоугольный треугольник

Рис. 11

-

главные моменты инерции относительно осей и

4. Круглое сечение

Рис. 12

, т.к. , то

Размещено на Allbest.ru