Элементы векторной алгебры
Понятие, виды и операции над векторами. Определение положения точки в декартовой системы координат. Отличия векторных от скалярных величин. Свойства смешанного произведения. Решения системы уравнений методом Крамера. Расчёт объема и высоты пирамиды.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.09.2017 |
| Размер файла | 91,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Элементы векторной алгебры
Определение. Вектором называется направленный отрезок.
К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора:
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных в плоскостях. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейными операциями над векторами являются сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число.
Суммой векторов является вектор
Произведение вектора на на число , при этом коллинеарен .
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.
Определение: Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Определение. Если - базис в пространстве и , то числа , и - называются координатами вектора в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
равные векторы имеют одинаковые координаты,
при умножении вектора на число его координаты тоже умножаются на это число,
при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Линейная зависимость векторов
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно i , т.е. .
Если же только при i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Любые 4 вектора линейно зависимы.
Декартова система координат
Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. вектор координата декартовый скалярный
Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел - компоненты ее радиус- вектора.
Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.
1-я ось - ось абсцисс
2-я ось - ось ординат
3-я ось - ось апликат
Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.
Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.
Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:
линейно независимы.
Тогда
.
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
1 =
;
2 =
3 =
Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора.
Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
.
Линейные операции над векторами в координатах
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= cos
Свойства скалярного произведения:
= 2;
= 0, если или = 0 или = 0.
= ;
(+) = + ;
(m) = (m) = m(); m=const
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то
= xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если
10- 5+ 6- 3 = 10,
т.к. .
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
= 6 + 8 - 6 = 8:
.
cos =
Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)(5 - 6), если
15- 18- 10+ 12 =
=15
+ 1236 = 240 - 336 + 432 = 672 - 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)
= 12 + 20 - 15 =17 :
.
cos =
Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если
()() =
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) , где - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или.
Свойства векторного произведения векторов
1) ;
2) , если или = 0 или = 0;
3) (m)= (m) = m();
4) (+ ) = + ;
5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то
=
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Пример. Найти векторное произведение векторов и
.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы , и компланарны.
,
т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
(ед2).
Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается или (, ,).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Свойства смешанного произведения
1) Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен
6)Если , , то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Объем пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = (ед2)
Т.к. V = ; (ед)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Основные элементы пирамиды. Понятие правильной пирамиды. Нахождение площади основания, высоты пирамиды и высоты боковой грани, вписанной и описанной окружностей и точки пересечения диагоналей. Треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
презентация [561,8 K], добавлен 19.09.2011Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Поверхность пирамиды, основание и боковые грани. Определение высоты пирамиды. Произвольные, усеченные и правильные пирамиды. Нахождение боковой поверхности правильной пирамиды и ее объема.
презентация [726,6 K], добавлен 08.06.2011Матричные и векторные вычисления; коллинеарные и компланарные векторы. Определение скалярного произведения векторных величин в трехмерном пространстве. Решение системы линейных уравнений с расширенной матрицей, элементарные преобразования над строками.
контрольная работа [79,6 K], добавлен 30.12.2010Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.
контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Сущность математической теории скалярных и векторных полей, ее основные понятия и определения. Характерные черты и отличительные признаки скалярных и векторных полей, доказательства их главных теорем.
лекция [121,6 K], добавлен 11.02.2010Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009
