Методы проецирования. Комплексный чертеж

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Методы проецирования. Комплексный чертеж

1.1 Цель и задачи курса

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия - раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами:

- общение становится более доступным, потому что образы, создаваемые на основе визуального (зрительного) восприятия, обладают большей, чем слова, ассоциативной силой;

- изображения являются интернациональным языком общения, тогда как, например, вербальное общение требует для понимания, как минимум знания языка собеседника.

Таким образом теоретические основы визуализации информации о геометрических объектах, многообразие геометрических объектов пространства, отношения между ними и их графического отображения на плоскости составляют предмет начертательной геометрии.

Задача этой науки - создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка теории графического отображения объектов и процессов.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. Монжа (1746-1818) завоевала свое достойное место в высшей школе как наука. Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов - визуализация мысли.

Однако не всякое изображение отображает геометрические свойства оригинала и не может быть принято для всестороннего его исследования. Принципиальное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых современных технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Изображение, которое позволяет определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называют полным.

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называется метрически определенными.

Из плоскостных изображений объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи. Рисунком называют изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов. Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали. Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии

Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:

1) методы отображения пространственных объектов на плоскости;

2) способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;

3) приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;

4) способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;

5) основы моделирования геометрических объектов.

начертательный геометрия черчение плоскость

1.2 Понятие о методах проецирования

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства - плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку (рис.1) в качестве центра проецирования и плоскость П, не проходящая через точку , в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость П, через центр проецирования проводят луч А до его пересечения с плоскостью П в точке А. Точку А принято называть центральной проекцией точки А, а луч А - проецирующим лучом.

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость.

В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П_i есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F).

Точка F прямой m принадлежит плоскости, ?, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости ? не имеют центральных проекций на П_i.

Рисунок 1. Центральное проецирование

Точка D_i проекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой , образуют проецирующую коническую поверхность (рис.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности и плоскости проекций .

Рисунок 2. Центральное проецирование линии

Коническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры. Линию K принято называть в этом случая очерковой или очерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых - лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰. Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.

Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость - восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) - возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность - чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

3. Точность - графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

4. Простота - изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

1.3 Свойства ортогонального проецирования

Основными и неизменными свойствами (инвариантами) ортогонального проецирования являются следующие:

1) проекция точки - точка;

2) проекция прямой - в общем случае прямая; если направления проецирования совпадает с направлением прямой, то проекция последней - точка;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;

5) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;

7) проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций этих прямых;

8) если прямая или плоская фигура параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость они проецируются без искажения;

9) если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

1.4 Методы прямоугольного проецирования на две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Проекции точки, комплексный чертеж

1.4.1 Метод Монжа, комплексный чертеж

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа Geometrie descriptive.

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.3). Одну из плоскостей проекций располагают горизонтально, а вторую - вертикально. - горизонтальная плоскость проекций, - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла - четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Рисунок 3. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается .

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси x₁₂ с плоскостью П₂ (рис.3). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure - чертеж.) или комплексным чертежом.

1.4.2 Ортогональные проекции точки в системе двух плоскостей проекций

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

Рисунок. 4. Точка в системе двух плоскостей проекций

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 4 показана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А₂, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями.

Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной оси и пересекающей эту ось в точке А .

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямой, пересекающей ось в точке А под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ расположены на одном перпендикуляре к оси . При этом расстояние А₁А_x - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Рисунок 5 Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 5 представлены точки A, B, C и D, расположенные в разных четвертях пространства и их эпюр (A - в первой, B - во второй, C - в третьей и D - в четвертой четвертях)

1.4.3 Ортогональные проекции точки в системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью - профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. Плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ являются основными плоскостями проекций.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 6. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, и П₂, обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рисунке 7, до совмещения с плоскостью П₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.



Рисунок 6. Точка в системе трех плоскостей проекций

Рисунок 7. Получение эпюра

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x, y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций.

1. Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x?0,y?0,z?0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов, как показано на рисунке 8.



б) модель V-VIII октантов

в) эпюр

Рисунок 8. Точки общего положения

2. Точка принадлежит плоскости проекций.

· Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x?0,y?0,z=0) - фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y.

· Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x?0,y=0,z?0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z.

· Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0,y?0,z?0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.

3. Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси.

· Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x?0,y=0,z=0).

· Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y?0,z=0).

· Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций (x=0,y=0,z?0).

4. Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций - 0(x=0,y=0,z=0) - начало координат.

2. Проекции прямой

2.1 Прямые общего и частного положения

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис. 9).

Рисунок 9. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.13). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B A₂B₂ // 0x; A₃B₃ // 0y



а) модель

б) эпюр

Рисунок 10. Горизонтальная прямая

2.2 Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными

₁ 0, z

Рисунок 11. Фронтальная прямая

2.3 Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными

xx , 0

Рисунок 12. Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

Фронтально проецирующая прямая - АВ.



Рисунок 13. Фронтально проецирующая прямая

Профильно проецирующая прямая - АВ (рис. 14)

Рисунок 14. Профильно-проецирующая прямая

Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.15)

Рисунок 15. Горизонтально-проецирующая прямая

2.4 Следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка (рис. 19), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её координат должна быть равна нулю).

Горизонтальный след - М (= - точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальный след - (= - точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций.

Профильный след - Т ( = - точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.



Рисунок 16. Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой , а лежит на оси , ₃ - на оси . Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

1. Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

2. Для построения фронтального следа прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

2.5 Определение натуральной длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций

Длину отрезка АВ и ? угол наклона отрезка к плоскости П₁ можно определить из прямоугольного треугольника АВС С=, . Для этого на эпюре (рис.17) из точки под углом 90⁰ проводим отрезок ₁*=, полученный в результате построений отрезок * и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол *=. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника.

Рисунок 17. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций

Длину отрезка АВ и угол наклона отрезка к плоскости П₂ можно определить из прямоугольного треугольника АВС С₂, =Y. Построения аналогичные рассмотренным, только в треугольнике АВВ* сторона В* и треугольник совмещается с плоскостью П₂ (рис. 18).



Рисунок 18. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к фронтальной плоскости проекций

2.6 Отображение взаимного положения двух прямых

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если ABCD то A₁B₁C₁D₁; A₂B₂C₂D₂; A₃B₃C₃D₃ (рис.19). В общем случае справедливо и обратное утверждение.



Рисунок 19. Параллельные прямые

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис.20). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П₃ пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Рисунок 20. Прямые параллельные профильной плоскости проекций

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис.21).

Рисунок 21. Пересекающиеся прямые

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.22), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.



Рисунок 22. Одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций

2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис.23).

О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции (А₁В₁?С₁D₁ АВ?СD).

Рисунок 23. Пересекающиеся прямые расположены в фронтально проецирующей плоскости

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Рисунок 24. Скрещивающиеся прямые

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис.28) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и D решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и D -горизонтально конкурирующие.

3. Проекции плоскости

3.1 Способы задания плоскости на чертеже

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 25);

Рисунок 25. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 26);

3. двумя пересекающимися прямыми (рис. 27);

4. двумя параллельными прямыми (рис. 28);



Рисунок 26. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

Рисунок 27. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

Рисунок 28. Плоскость, заданная двумя параллельными прямыми

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис. 29).

Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная плоскость различают горизонтальный?, фронтальный и профильный следы.

Рисунок 29. Плоскость, заданная следами

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках _x,_y,_z. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

3.2 Точка и прямая в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.

Рассмотрим пример (рис. 30). Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми ab.

Рисунок 30. Точка, принадлежащая плоскости

Через точку А₂ проведем проекцию прямой m₂, пересекающую проекции прямых a₂ и b₂ в точках С₂ и В₂ (С m). Построив проекции точек С₁ и В₁, определяющие положение m₁, находим горизонтальную проекцию точки А (А₁ m₁ m А).

Сформулируем теперь условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Пусть требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k (рис. 35).

Проекция прямой m₂ пересекает проекции прямых n₂ и k₂ в точках В₂ и С₂ соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

Пусть теперь через точку В необходимо провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис. 31).

Пусть точка В принадлежит прямой n, лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В₂ проведем проекцию прямой m₂ параллельно прямой k₂, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В₁, как точки лежащей на проекции прямой n₁ и через неё провести проекцию прямой m₁ параллельно проекции k₁.

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.



Рисунок 31. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Рисунок 32. Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости

3.3 Линии особого положения плоскости

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рис. 33).



Рисунок 33. Горизонталь

2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (рис. 34).

Рисунок 34. Фронталь

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (рис. 35).

Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.

Рисунок 35. Профильная прямая

4. Прямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют двугранные углы между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций.

Прямые плоскости, перпендикулярные соответствующим линиям уровня являются линиями наибольшего наклона.



Рисунок 36. Линия наибольшего ската

Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Такое название объясняется тем, что эта линия является траекторией, по которой шарик скатывается с данной плоскости. По отношению к плоскостям П и П₃ целесообразнее употреблять название линия наибольшего наклона.

Линия ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис. 40). Горизонтальная проекция линии ската плоскости общего положения перпендикулярна горизонтальной проекции горизонталь этой плоскости. Фронтальная и профильная проекции ската строятся по её принадлежности плоскости.

3.4 Положение плоскостей относительно плоскостей проекций

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный _П1; - фронтальный _П2; - профильный _П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций - занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П, называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис. 37).

Рисунок 37. Горизонтально проецирующая плоскость

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (П₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости является прямая линия, совпадающая со следом _П2 (рис. 38).



Рисунок 38. Фронтально проецирующая плоскость

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( П₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис. 39).

Рисунок 39. Биссекторная плоскость

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций - занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (П₁) - (П₂,П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости _П2 и _П3 (рис. 40).

Рисунок 40. Горизонтальная плоскость

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (П2), (П1, П3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П2 без искажения, а на плоскости П1 и П3 в прямые - следы плоскости П1 и П3.



Рисунок 41. Фронтальная плоскость

3.3 профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (//П₃), (П₁, П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости _П1 и _П2 (рис. 42).

Рисунок 42. Профильная плоскость

3.5 Отображение относительного положения двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

3.5.1 Параллельные плоскости

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей: через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (a,b) (рис. 43).

Рисунок 43. Параллельные плоскости

Для решения задачи требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости (a,b) и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Для того, чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой.

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Дано: плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая .Требуется построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок DF определяет линию пересечения плоскостей. Так как - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D₁F₁ совпадает со следом плоскости _П1? таким образом остается только построить недостающие проекции DF на П₂ и П₃.

Рисунок 44. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Размещено на Allbest.ru

...