Размещено на http://www.allbest.ru/

ВыСШАЯ МАТЕМАТИКА

Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям,

индивидуальной и самостоятельной работе

с заданиями для расчетно-графической работы

Луганск 2009



УДК 681.513:62-50

Составители:

ЛЕВИ Леонид Иссакович, доктор технических наук, зав. кафедрой физико-математических дисциплин.

КОВАЛЬ Анатолий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математических дисциплин.

Леви Л.И., Коваль А.В. Высшая математика. Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия. Методические указания к практическим занятиям, индивидуальной и самостоятельной работе с заданиями для расчетно-графической работы. Учебное пособие. /Сост.: Леви Л.И., Коваль А.В. - 2009. - 72 с.: ил.

Издание рассмотрено и рекомендовано к печати:

на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 7 от 23 марта 2009 года);

на заседании методической комиссии факультета сельскохозяйственного строительства (протокол № 8 от 19 апреля 2009 года).



ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1 Определители. Вычисление определителей

1.2 Матрицы и их свойства

1.3 Решение систем линейных уравнений

1.4 Решение типовых примеров задания 1 РГР

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1 Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям

2.2 Скалярное произведение двух векторов

2.2.1 Решение типовых примеров задания 2 РГР

2.3 Векторное произведение двух векторов

2.3.1 Решение типовых примеров задания 3 РГР

2.4 Смешанное произведение трех векторов

2.4.1 Решение типовых примеров задания 4 РГР

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.1 Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника

3.2 Прямая линия на плоскости

3.2.1 Решение типовых примеров задания 5 РГР

3.3 Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат

3.3.1 Решение типовых примеров задания 6, 7 РГР

3.4 Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1 Плоскость

4.1.1 Решение типовых примеров задания 8 РГР

4.2 Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости

4.2.1 Решение типовых примеров заданий 9, 10 РГР

5. ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ



1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1 Определители. Вычисление определителей

1. Определителем 2-го порядка называется выражение вида

.

Определителем 3-го порядка называется число выражение вида

.

Определителем го порядка называется выражение вида

.

Общее обозначение элементов определителя , где номер строки, номер столбца, , то есть элемент находится на пересечении ой строки и го столбца.

Диагональ, соединяющая левый верхний угол определителя с нижнем правым углом главной, а диагональ, соединяющая правый верхний угол с нижним левым углом определителя - побочной.

2. Вычисление определителей.

1. Определители 2-го порядка вычисляются по формуле

Пример 1.1. Вычислить определитель

Решение. .

2. Вычисление определителей 3-го порядка по правилу Саррюса или правилу треугольников.

При вычислении определителя 3-го порядка по правилу Саррюса к нему приписываются два первых столбца. Произведения элементов, лежа-щих на диагоналях, параллельных главной, берутся со знаком «», а эле-ментов, лежащих на диагоналях, параллельных побочной - со знаком «».

(1.2)

Определители 3-го порядка можно вычислять по правилу треугольников. Произведения элементов, расположенных на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком «», а элементов, расположенных на побочной диагонали и в вер-шинах треугольников с основаниями параллельными ей, - со знаком «».

+

Пример 1.2. Вычислить определитель

а) по правилу Саррюса; б) по правилу треугольников.

Решение. а) Вычислим определитель по правилу Саррюса

.

б) Вычислим определитель по правилу треугольников

.

3. Вычисление определителей разложением по элементам строки (или столбца).

а) Минором соответствующим элементу определителя го порядка называется определитель го порядка , который получается из определителя путем вычеркивания й строки и го столбца, на пересечении которых находится элемент .

б) Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком , т.е.

.

в) Всякий определитель равен сумме произведений элементов неко-торой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Например, разложение определителя 3-го порядка по элементам первой строки имеет вид

(1.3)

Пример 1.3. Вычислить определители разложением по элементам первой

строки: .

Решение. Разложим определители по элементам первой строки:

.

1.2 Матрицы и их свойства

. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов , содержащая строк и столбцов. Каждую такую таблицу заключают в круглые скобки или двойные вертикальные черточки и обозначают какой-либо большой буквой латинского алфавита.

Например,

, или .

В сокращенной записи матрица обозначается

; или ; ; .

Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Матрица, в которой число рядков равно числу столбцов, называется квадратной.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним - побочной диагональю матрицы.

. Умножение матриц.

1. Операция умножения вводится только для согласованных матриц. Матрица называется согласованной с матрицей , если количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы .

Заметим, что из согласованности матрицы с не следует согла-сованность матриц с .

Произведением двух матриц и , заданных в определен-ном порядке ( - первая, - вторая) называется матрица , каждый

элемент которой равен сумме произведений элементов ой строки матрицы на соответствующие элементы го столбца матрицы



где ; .

Пример 1.4. Вычислить произведение матриц , если

; .

Решение.

,

где

;

.

Таким образом, окончательно имеем:

.

. Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу значит поменять местами строки и столбцы матрицы с сохранением их нумерации. Транспонированная матри-ца обозначается .

Например, , .

. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице называется такая квадратная матрица, обозначаемая , которая удовлетворяет равенствам

и .

Для нахождения обратной матрицы , необходимо сначала вычис-лить определитель матрицы и убедится, что матрица невырожденная , затем записать транспонированную матрицу , далее, все эле-менты транспонированной матрицы заменить их алгебраическими допол-нениями, а затем полученное выражение разделить на определитель

. (1.4)

1.3 Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим три способа решения систем линейных уравнений: по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса.

Пусть дана система линейных уравнений

(1.5)

. При решении системы (1.5) по формулам Крамера, неизвестные находятся из соотношений:

, , …, , (1.6)



где определитель системы, , , …, определители неизвестных, которые получаются из заменой его первого, второго и т.д. столбца соответственно столбцом свободных членов.

. Решение системы линейных уравнений (1.5) матричным способом.

Если ввести матричные обозначения

, , ,

то систему можно записать матричным уравнением

. (1.7)

Решение системы матричным методом определяется соотношением

. (1.8)

То есть, чтобы решить систему (1.5), необходимо найти матрицу , обратную до матрицы системы , и умножить ее на матрицу свободных членов (см. раздел 1.2).

Формулу (1.8) называют матричной записью решения системы (1.5) или решением матричного уравнения (1.7).

. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Одним из наиболее простых методов решения систем линейных уравнений есть метод непосредственного исключения неизвестных или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и базируется на элементарных преобразованиях системы уравнений, или проще, расши-ренной матрицы.

Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1.5) называют матрицу коэффициентов системы с добавленным еще одним столбцом свободных членов, который отделяется черточкой, т.е.

. (1.9)

Под элементарными преобразованиями расширенной матрицы подразумевается следующее:

1) перестановка любых двух строк матрицы;

2) умножение какой-либо строки матрицы на любое, отличное от нуля число;

3) прибавление к любой строке матрицы соответствующих членов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Идея метода Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к равносильной матрице треугольного (или трапециевидного) вида.

Затем, по полученной расширенной матрице восстанавливается равносильная система линейных уравнений, из которой последовательно находятся все неизвестные.

1.4 Решение типовых примеров задания 1 РГР

1. Решить систему алгебраических уравнений



а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса.

Решение.

а) Решим задачу по формулам Крамера, которые имеют вид

, , ,

где - определитель системы уравнений; , , - определители неизвестных, полученные из заменой его первого, второго и третьего столбца соответственно, столбцом свободных членов.

Запишем определители , , , и раскроем их:

Теперь найдем неизвестные , , по формулам (1.6)

; ; .

Ответ: ; ; .

б) Решим систему уравнений матричным способом.

Обозначим через матрицу исходной системы уравнений, через вектор-столбец неизвестных и через вектор-столбец свободных членов:

, ,

Если система линейных уравнений в матричном виде записывается , то матрица неизвестных находится из уравнения .

Для нахождения матрицы неизвестных найдем обратную матрицу (см. раздел 1.2) и умножим ее на матрицу-столбец свободных членов.

Так как матрица невырожденная, (как было определено ранее, (), то для нее существует обратная матрица .

Обратную матрицу найдем в следующей последовательности:

1) Запишем транспонированную матрицу , т.е. матрицу, в которой строки матрицы заменены ее столбцами с тем же номером

.

Обратную матрицу можно получить по формуле:

,

где - определитель матрицы , - алгебраические дополнения (миноры), равные определителям, которые получаются с помощью вычеркивания -й строки и -го столбца транспонированной матрицы , взятые со знаком .

Найдем алгебраические дополнения транспонированной матрицы :

; ; ;

; ; ;

;; .



Таким образом, ,

а решение системы уравнений равно

.

Найдем значения , , .

= ;

= ;

= .

Подставляя вместо , , числовые значения, получим:

.

Ответ: ; ; .

в) Решим систему уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы

и сделаем элементарные преобразования.

Сделаем коэффициент равным единице и обнулим коэффициенты , и .

Для этого:

а) поменяем местами первую и вторую строки, а затем вычтем из первой строки вторую. Результат запишем на место первой строки

б) вычтем из второй строки первую, умноженную на 2. Результат запишем на место второй строки

в) вычтем из третей строки первую, умноженную на 4. Результат запишем на место третей строки

г) умножим вторую строку на 19, а третью на 13. Затем вычтем из третей строки вторую и результат запишем на место третей строки

.

Осуществим обратный ход метода Гаусса, восстановив равносильную систему по расширенной матрице

Из последнего уравнения имеем .

Подставляем это значение во второе уравнение и находим

.

Подставляя значения и в первое уравнение находим :

.

Ответ: ; ; .



2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1 Векторные и скалярные величины. Разложение вектора по координатным осям

. Основные определения.

Величина называется скалярной, если она определяется заданием ее числового значения, и векторной, если для ее определения задается еще и ее направление.

Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того, направ-лены ли они одинаково или их направления противоположны.

Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором.

. Разложение вектора по базису , , .

Возьмем прямоугольную систему координат в пространстве и вместе с ней три единичных вектора, , , , начало которых совпадают с началом координат и направленные, соответ-ственно по осям , , .

Система трех векторов , , , называется декартовым прямоугольным базисом.

Всякий вектор в пространстве можно представить как сумму трех векторов, один из которых расположен на оси , второй на оси и третий - на оси

, (2.1)

где единичные векторы, направленные вдоль координатных осей.

Модуль вектора равен

. (2.2)

. Действия над векторами.

Если и - координаты начала и конца вектора, то:

- координаты вектора проекции

; (2.3)

- модуль вектора

; (2.4)



- его направляющие косинусы

; . (2.5)

2.2 Скалярное произведение двух векторов

. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

. (2.6)

Углом между векторами и называется угол , на который следует повернуть один из векторов для того, чтобы их направления совпали

. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов.

Если векторы и заданы своими проекциями на оси координат



, ,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений одноименных проекций перемножаемых векторов.

. (2.7)

. Угол между векторами. Из уравнения (2.6) с учетом (2.7) следует

. (2.8)

. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.

Если , , то:

- условие параллельности векторов

, (2.9)

- условие перпендикулярности векторов

. (2.10)



. Механический смысл скалярного произведения

Из физики известно, что работа , силы при перемещении материальной точки с начала в конец вектора , который образует с векторам угол равна , или, согласно (2.6) .

Поэтому работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . В этом суть механического смысла скалярного произведения.

2.2.1 Решение типовых примеров задания 2 РГР

1. Найти внутренние углы , и треугольника, с вершинами , , и убедиться, что их сумма равна

Решение. Найдем координаты векторов , , , согласно (2.3) и противоположные им вектора , , , учитывая, что составляющие последних имеют знаки, противоположные составляющим основных векторов



.

, ;

, ;

, .

Вычислим длины сторон треугольника по формуле (2.4):

.

;

;

.

Найдем косинусы углов между векторами по формуле (2.8):



.

.

.

.

Проверка: .

Ответ: ; ; .



2.3 Векторное произведение двух векторов

Тройка некомпланарных векторов называется правой, если при вращении буравчика в направлении от вектора к вектору направление поступательного движения буравчика образует острый угол с направлением вектора . Если же угол тупой, то тройка называется левой.

. Векторным произведением двух векторов называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1) длина вектора равна , где

; (2.11)

2) вектор перпендикулярный каждому из векторов, т.е. и ;

3) вектор , направлен так, что векторы , и образуют правую тройку векторов. Векторное произведение обозначают одним из символов:

.

. Если векторы заданы своими проекциями на координатные оси и , то векторное произведение определяется формулой



. (2.12)

. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произве-дения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , отнесенных к общему началу, т.е.

. (2.13)

. Приложения.

1. Момент силы , приложенной к точке относительно точки О, равен векторному произведению силы на вектор : .

2. Скорость точки твердого тела, которая вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , определяется формулой Эйлера .

3. Если электрон, с зарядом движется со скоростью в магнитном поле постоянной напряженности , то на электрон действует сила

.

4. Площадь , равна половине площади параллелограмма

. (2.14)

2.3.1 Решение типовых примеров задания 3 РГР

1. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах и , если:

а) ; ; ; ; ;

б) ; .



Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна модулю их векторного произведения (2.13):

.

Найдем векторное произведение векторов и

а)

.

Значит, площадь параллелограмма

(кв.ед.).

Ответ: 7 кв.ед.

б) Если вектора заданы своими проекциями на оси координат, то в этом случае их векторное произведение вычисляется по формуле (2.12)

.



Площадь параллелограмма в этом случае

(кв. ед.)

Ответ: 7 кв.е.д.; кв. ед.

2.4 Смешанное произведение трех векторов

. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, являющееся произведением вектора скалярно на вектор :

или (2.15)

Если вектора заданы своими координатами, то смешанное произведе-ние трех векторов равно определителю третьего порядка, который состоит из соответствующих координат перемножаемых векторов

. (2.16)

. Свойства смешанного произведения

1. Если в смешанном произведении поменять местами любые два множителя, то смешанное произведение изменит знак на противоположный



.

2. Вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль смешанного произведения

равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и отнесенных к общему началу:

. (2.17)

. Приложение. Объем треугольной пирамиды, (тетраэдра) построенных на векторах , , равен

. (2.18)



. Условие компланарности. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:

.

2.4.1 Решение типовых примеров задания 4 РГР

Пример 2.3. Вычислить объем тетраэдра и площадь грани , если ;

; ; .

Решение.

(2.7). Объем тетраэдра, согласно (2.18)

.

Найдем вектора ;

;

.

Тогда объем тетраэдра

= (куб. ед.).

Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построен-ного на векторах и . Обозначим векторное произведение через . Тогда модуль вектора выражает площадь параллелограмма

.

(кв. ед.).

Ответ. куб. ед.; кв.ед.



3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.1 Длина и направление отрезка. Деление отрезка а заданном отношении. Площадь треугольника

Длина отрезка на плоскости, заданного координатами своего начала и конца рана

. (3.1)

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то формула (3.1) принимает вид

. (3.2)

Пусть и - углы, составляемые отрезком с положительным направлением осей и , тогда



; (3.3)

Координаты точки , делящей отрезок в отношении , находятся по формулам

; . (3.4)

Если точка делит отрезок пополам, то и координаты равны

; . (3.5)

Если число отрицательное, то точка находится на продолжении отрезка и деление называется внешним.

Площадь треугольника с вершинами , , вычисляется по формуле

. (3.6)

Если, следуя от к и , площадь обходится против часовой стрелке, то число положительное, в противном случае - отрицательное.



3.2 Прямая линия на плоскости

Прямую линию на плоскости относительно системы прямоугольных декартовых координат можно задать различными способами и в результате получить различные виды уравнения прямой.

. Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида

. (3.7)

. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом

, (3.8)

где угловой коэффициентом прямой, угол наклона прямой к положительному направлению оси , величина отрезка, отсекаемая прямой на оси

. Уравнение прямой в отрезках на осях



, (3.9)

где отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

. Уравнение прямой, проходящей через две точки и

. (3.10)

. Нормальное уравнение прямой

, (3.11)

где длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, угол, отсчитываемый от положительного направления оси против часовой стрелки до перпендикуляра

. Задачи на прямую линию

1. Если прямые заданы общими уравнениями и , то угол между двумя прямыми находится по формуле

. (3.12)



Если прямые заданы уравнениями

и ,

(рис. 3.3) то формула (3.12) принимает вид

, (3.13)

где , , угол, отсчитываемый от прямой до прямой по часовой стрелке.

Условие параллельности прямых

или . (3.14)

Условие перпендикулярности прямых



или . (3.15)

2. Точка пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями

; . (3.16)

3. Уравнение пучка прямых

Пучком прямых, проходящих через заданную точку называют совокупность всех прямых, проходящих через эту точку

. (3.17)

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых имеет вид

. (3.18)

Здесь параметр неопределен.

4. Расстояние от данной точки до прямой

. (3.19)



3.2.1 Решение типовых примеров задания 5 РГР

1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение стороны и ее угловой коэффициент; уравнение стороны ; 3) угол в градусах; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианы и координаты точки , пересечения этой медианы с высотой ; 6) уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно стороне .

Решение. 1. Расстояние между точками и равно

.

В нашем случае , и длина стороны

15 ед. длины.

2. Запишем уравнение прямой, проходящей через и

; . .

Решив последнее уравнение относительно у, находим:

; , откуда .

Подставив в (3.10) координаты точек и , получим уравнение :

; .

Искомый образован прямыми и , коэффициенты которых , , , . Подставив значения угловых коэффициентов в (3.12), получим

; рад или .

4. Высота перпендикулярна стороне . Чтобы найти ее угловой коэффициент, воспользуемся условием перпендикулярности прямых

.

Подставив в уравнение пучка прямых координаты точки и найден-ный угловой коэффициент, получим уравнение высоты

.

Длину высоты найдем как расстояние от точки до прямой по формуле (3.19), где , , , ,

(ед. длины).

5. Найдем координаты точки , принадлежащей медиане :

.

Подставив в (3.10) координаты точек и , находим уравнение медианы:

; .

Координаты точки пересечения высоты и медианы найдем, учитывая, что в данном случае , , ; , ,

; ; .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне , то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой :

.

Треугольник , высота , медиана , прямая и точка М построены в системе координат хОу



3.3 Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат

Окружностью называют геометрическое место точек, равноуда-ленных от данной точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности имеет вид

, (3.20)

где координаты ее центра, радиус окружности .

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами , const

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

, (3.21)



где большая и малая полуоси эллипса.

Если фокусы эллипса расположены на оси , то их координаты и , и фокусное расстояние связано с полуосями эллипса соотношением

. (3.22)

Эллипс пересекает ось в точках , , ось в точках , . Эти точки называются вершинами эллипса. Величины и называются соответственно большой и малой осями эллипса.

Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной которая называется эксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большой полуоси

. (3.23)

Поскольку у эллипса , то эксцентриситет любого эллипса .

Директрисами эллипса называются прямые , параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами , const.



Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

, (3.24)

где действительная полуось; мнимая полуось гиперболы.

Прямые, проходящие через центр симметрии, такие, что если точка двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вершины неограниченно приближаясь к одной из них, называются асимптотами гиперболы.

Уравнения асимптот

. (3.25)

Если фокусы гиперболы расположены на оси , то их координаты и , и фокусное расстояние связано с действительной и мнимой полуосями соотношением



. (3.26)

Гипербола пересекает ось в точках , . Эти точки называются вершинами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, то есть

. (3.27)

Поскольку у гиперболы , то эксцентриситет гиперболы .

Директрисами гиперболы называются прямые , параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии

.

Параболой называется геометрическое место точек, равноуда-ленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой и не проходит через фокус.

Каноническое уравнение параболы, ось симметрии которой парал-лельна оси а вершина совпадает с началом координат, имеет вид

, (3.28)

где параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.



Фокальный радиус любой точки параболы вычисляется по формуле

. (3.29)

У параболы один фокус, следовательно, и одна директриса

.

Эксцентриситет параболы равен отношению расстояния любой ее точки от фокуса к расстоянию до директрисы. На основании определения параболы имеем, что эксцентриситет любой параболы равен единице

.

Уравнение , , является каноническим уравнением параболы, с ветками, направленными вверх а уравнение , - уравнением параболы, с ветками направленными вниз.

Парабола, каноническое уравнение которой , , симметрична оси и расположена слева оси , а парабола , - справа оси .

Если парабола симметрична оси координаты вершины параболы то уравнение имеет вид

. (3.30)

3.3.1 Решение типовых примеров заданий 6, 7 РГР

1. Привести к каноническому виду уравнение окружности . Найти координаты ее центра, радиус и построить окружность.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду: прибавим и вычтем из него квадраты половин коэффициентов при неизвестных и , то есть и , а затем выделим полные квадраты

;

,

следовательно, центр окружности находится в точке , а радиус .

Ответ: .

2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от точки к расстоянию до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к каноническому виду. Найти полуоси и , координаты фокусов и построить кривую.

Решение. Построим точку и прямую . Пусть произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр на прямую и определим координаты точки . Так как точка лежит на указанной прямой, то ее абсцисса равна 6, а ордината - ординате точки (По условию задачи



;

.

Возведем обе части равенства в квадрат и выполним преобразования

- каноническое уравнение эллипса.

; ;

Ответ: Эллипс ; , ;

3. Составить каноническое уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от точки к расстоянию до прямой равно . Найти координаты фокусов , вершин , эксцентриситет , и уравнения асимптот кривой. Определить точки пересечения кривой с окружностью, центр которой находится в начале координат, а окружность проходит через ее фокусы. Построить асимптоты, кривую и окружность.

Решение. 1) Построим точку и прямую . Пусть произвольная точка искомого геометрического места точек.

Соединим точки и , а затем проведем перпендикуляр на прямую . Так как точка лежит на указанной прямой, то ее абсцисса , а ордината равна ординате точки , то есть .

По условию задачи Из рисунка находим

;

.

Возведем обе части полученного равенства в квадрат и выполним преобразования

- каноническое уравнение гиперболы.

Значит, полуоси гиперболы: ;

Найдем координаты фокусов гиперболы и радиус окружности

.

Определим координаты ее вершин .

Вычислим эксцентриситет гиперболы: .

Найдем уравнения асимптот ; .

Запишем уравнение окружности .

Для нахождения ее точек пересечения с гиперболой решим систему уравнений



.

Подставляя полученное значение в уравнение окружности, находим

.

4. Привести уравнение кривой к каноничес-кому виду. Найти параметр кривой, координаты вершины , фокуса и уравнение директрисы. Построить кривую и ее директрису.

Решение. Прибавим и вычтем в левой части уравнения половину квадрата коэффициента перед квадрат и преобразуем полученное уравнение

.

Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением параболы (3.34) , находим ; ; .

Координаты фокуса определяются, как

; , т.е. .

Уравнение директрисы ; .



3.4 Кривые второго порядка в полярной системе координат. Параметрические уравнения плоских кривых

На практике часто приходится иметь дело с кривыми на плоскости, которые не являются кривыми второго порядка, в частности с кривыми третьего, четвертого и высших порядков. Наиболее часто они описывают некоторые траектории движения точек, которые удовлетворяют определенные условия. В большинстве случаев их уравнения можно записать в полярных координатах или в параметрическом виде, что существенно упрощает изображение этих кривых.

Для построения кривых в полярной системе координат задают определенные значения и находят соответствующие значения . Для удобства результаты вычислений заносят в таблицу. Построивши соответствующие точки, получают график кривой.

. Полярная система координат Если на плоскости зафиксировать точку (полюс) и луч (полярную ось), то получим полярную систему координат в которой положение любой точки плоскости определяется ее расстоянием от точки , а также углом , который образует луч с полярной осью . При этом угол получают поворо-том полярной оси против часовой стрелки до совпадения с лучом .

Числа и называют полярными координатами точки (рис. 3.13).



. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых заданы в полярной системе координат.

1. окружность с центром в полюсе и радиусом, равным .

2. Кривую, которая описывается точкой окружности с радиусом , катящейся без скольжения по окружности равного радиуса, касаясь ее внешшним образом, называют кардиоидой.

Уравнение кардиоиды в полярной системе координат имеет вид.

.

Заметим, что название кривой связано с тем, что ее форма напоминает сердце.

3. Спираль Архимеда - это траектория точки, которая равномерно движется (со скоростью ) вдоль прямой мой, которая равномерно вращается (с угловой скоростью ) вокруг заданной точки - полюса.

Ее уравнение в полярных коррди натах

, (3.32)



где параметр спирали.

4. Четырехлепестковая роза образуется множеством основ перпендидикуляляров опущенных с вершины прямого угла на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по сто ронах этого прямого угла.

Уравнение этой кривой в полярных координатах

(3.33)



Заметим, что уравнение определяет лепестковую розу, причем роза имеет лепестков, если нечетное число, и лепестков, если четное. Кроме этого роза полностью размещается внутри окружности радиуса .

5. Лемниската Бернулли образуется множеством всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух заданных точек и , есть величиной постоянной и равно квадрату половины расстояния между этими точками. Уравнение лемнискаты в полярных координатах

. (3.34)

. Приведем примеры некоторых линий, уравнения которых заданы параметрически.

1. Параметрические уравнения єллипса

, , . (3.35)

В параметрических уравнениях эллипса параметр есть угол, образо ванный радиусом с осью абсцисс

2. Астроида - это траектория точки окружности радиуса , которая котится без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса

Параметрическое уравнение астроиды имеет вид

; ,

. (3.36)

3. Циклоида - это траектория, фиксированной точки окружности радиусом , которая катится без скольжения вдоль прямой - оси

Параметрическое уравнение астроиды имеет вид

; ,

. (3.37)



Уравнения приведенных кривых в полярных координатах и заданных в параметрическом виде приведены в таблице.



4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1 Плоскость

. Основные уравнения плоскости

1. Общее уравнение плоскости

, (4.1)

где вектор, перпендикулярный плоскости (рис. 4.1).

2. Нормальное уравнение плоскости

, (4.2)

где длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат;

углы, которые этот перпендикуляр образует с положительными направлениями координатных осей (рис.4.2).

Для приведения общего уравнения плоскости (4.1) к нормальному виду, нужно это уравнение умножить на нормирующий множитель

, (4.3)

при этом знак нормирующего множителя

должен быть противоположен знаку в уравнении (4.1). Если , то знак может быть любой.

2. Уравнение плоскости в отрезках на осях

, (4.4)

где отрезки, которые отсекает плоскость на координатных осях.

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору

. (4.5)

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , ,

. (4.6)

. Основные задачи на плоскость

1. Угол между двумя плоскостями и равен углу между нормальными к ним векторами ,

. (4.7)

Знак « + » соответствует выбору острого угла, знак « - » - тупого угла.

2. Направляющие косинусы нормали определяются по формулам



; ;

. (4.8)

Знак корня берется противоположным знаку свободного члена уравнения (4.1). Если , то знак произволен.

3. Условие параллельности плоскостей

. (4.9)

4. Условие перпендикулярности плоскостей

. (4.10)

. Расстояние от точки до плоскости

. (4.11)

4.1.1 Решение типовых примеров задания 8 РГР

1. Даны координаты точек , , , . Требуется:

1. Написать уравнение плоскости: а) - проходящей через точку перпендикулярно вектору ; б) - проходящей через точку параллельно векторам и в) проходящей через точки .

2. Проверить, выполняется ли условие перпендикулярности плоскостей , и параллельности плоскостей , ;

3. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. 1. а) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид (4.6):

.

В качестве направляющего вектора примем вектор .

Заменив в уравнении пучка плоскостей (1) коэффициенты , , числами 4, , , и подставляя вместо , , координаты точки , получим уравнение плоскости :

; .

б) Координаты вектора , перпендикулярного векторам и найдем из вычисления их векторного произведения.

Для этого определим сначала координаты проекций вектора

Напишем уравнение плоскости

.

в) Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид (4.6):

. (3)

Подставив в (3) координаты точек , , , получим

Разложим определитель по элементам первой строки:

. , т.е. имеем ; ; ; .

2. Условие перпендикулярности плоскостей и записывается как

выполняется.

Условие параллельности плоскостей и

- выполняется.

3. Расстояние от точки до плоскости , заданной уравнением найдем по формуле

. (4)

Подставляя в уравнение (4) найденные значения коэффициентов , , , и координаты точки имеем:

(ед. длины.)

Ответ: 1. а) ; б) ; в) ; 2. Выполняется 3. ед. длины.

4.2 Прямая линия в пространстве. Пересечение прямой и плоскости

. Основные уравнения прямой линии

1. Прямая линия в пространстве в общем виде задается пересечением двух плоскостей:



(4.12)

2. Каноническое уравнение прямой

Положение прямой в пространстве можно определить также данной точкой

, лежащей на прямой и направляющим вектором Тогда получим каноническое уравнение прямой

. (4.13)

Если знаменатели (4.13) разделить на , то получим

, или , (4.14)

где , , углы, образованные прямой с осями координат , , .

3. Параметрические уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора имеют вид

(4.15)



где параметр.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

. (4.16)

. Основные задачи на прямую линию

1. Угол между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями

и

, (4.17)

Знак « + » соответствует выбору острого угла, знак « - » - тупого угла.

. Если прямая задана каноническими уравнениями

, а плоскость

, то:

1. Координаты точки пересечения прямой и плоскости находится по формулам



(4.18)

где параметр

. (4.19)

2. Угол между прямой и плоскостью

. (4.20)

3. Уравнение пучка плоскостей

. (4.21)

4. Условие параллельности прямой и плоскости

. (4.22)

5. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

. (4.23)

4.2.1 Решение типовых примеров заданий 9, 10 РГР

1. Заданы прямая и координаты точки. 1. Написать канонические уравнения: а) прямой, заданной пересечением двух плоскостей, б) прямой, проходящей через заданные точки.

2. Найти острый угол между этими прямыми.

, .

Решение. 1. а) Найдем какую-нибудь точу на данной прямой. Для этого положим в обоих уравнениях и решим систему уравнений

Таким образом, точка принадлежит данной прямой.

Направляющий вектор найдем по формуле

,

то есть он имеет координаты , или, разделив на общий множитель , получим .

Тогда запишем каноническое уравнение прямой

.



б) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и имеет вид (4.16). По условию задачи , , поэтому искомое уравнение

или .

2. Угол между двумя прямыми найдем по формуле (4.17)

.

В нашем случае , , ; , , .

Косинус острого угла положителен, поэтому

.

; рад; .

Ответ: 1. а) , б) . 2. .

2. Заданы прямая в пространстве и плоскость .

Найти: 1) точку пересечения прямой и плоскости; 2) острый угол между прямой и плоскостью.

Решение. 1) Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого определим параметр по формуле (4.19).

В нашем случае

.

Теперь найдем координаты точек пересечения прямой и плоскости

; ;

2) Угол между прямой и плоскостью определим по как

.

Синус острого угла положителен, поэтому

рад; .

Ответ: 1) . 2) .



ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №1

Задание 1

Решить систему алгебраических уравнений: а) по формулам Крамара;

б) матричным способом; в) методом Гаусса.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.



Задание 2

Найти внутренние углы , и треугольника, заданного вершинами , , и убедиться, что их сумма равна .

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

Задание 3

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

3.1. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.2. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.3. а) ; ; ; ;

б) ; .

3.4. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.5. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.6. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.7. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.8. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.9. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.10. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.11. а) ; ; ; ;

б) ; .

3.12. а) ; ; ; ;

б) ; .

3.13. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.14. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.15. а) ; ; ; ;

б) ; .

3.16. а) ; ; ; ;

б) ; .

3.17. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.18. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.19. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.20. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.21. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.22. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.23. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.24. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.25. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.26. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.27. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.28. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.29. а) ; ; ; ; .

б) ; .

3.30. а) ; ; ; ; .

б) ; .

Задание 4

Вычислить объем тетраэдра с вершинами , , , и площадь его грани , если:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29. .

4.30.

Задание 5

Даны координаты вершин треугольника , , .

Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон , и их угловые коэффициенты; 3) угол в градусах; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) уравнение медианы и координаты точки , пересечения этой медианы с высотой ; 6) уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно стороне . Сделать рисунок.

5.1. , , .

5.2. , , .

5.3. , , .

5.4. , , .

5.5. , , .

5.6. , , .

5.7. , , .

5.8. , , .

5.9. , , .

5.10. , , .

5.11. , , .

5.12. , , .

5.13. , , .

5.14. , , .

5.15. , , .

5.16. , , .

5.17. , , .

5.18. , , .

5.19. , , .

5.20. , , .

5.21. , , .

5.22. , , .

5.23. , , .

5.24. , , .

5.25. , , .

5.26. , , .

5.27. , , .

5.28. , , .

5.29. , , .

5.30. , , .

Задание 6

1. Привести к каноническому виду уравнение кривой. Найти координаты ее центра, радиус и построить кривую.

2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от точки к расстоянию до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к каноническому виду. Найти полуоси и , координаты фокусов и построить кривую.

6.1. 1. . 2. .

6.2. 1. . 2. .

6.3. 1. . 2. .

6.4. 1. . 2. .

6.5. 1. . 2.

6.6. 1. . 2. .

6.7. 1. . 2. .

6.8. 1. . 2. .

6.9. 1. . 2. .

6.10. 1. . 2. .

6.11. 1. . 2. .

6.12. 1. . 2. .

6.13. 1. . 2. .

6.14. 1. . 2. .

6.15. 1. . 2. .

6.16. 1. . 2. .

6.17. 1. . 2. .

6.18. 1. . 2. .

6.19. 1. . 2. .

6.20. 1. . 2. .

6.21. 1. . 2. .

6.22. 1. . 2. .

6.23. 1. . 2. .

6.24. 1. . 2. .

6.25. 1. . 2. .

6.26. 1. . 2. .

6.27. 1. . 2. .

6.28. 1. . 2. .

6.29. 1. . 2. .

6.30. 1. . 2. .

Задание 7

1. Составить каноническое уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от точки к расстоянию до прямой равно . Найти координаты фокусов , вершин , эксцентриситет , и уравнения асимптот кривой. Определить координаты точек пересечения кривой с окружностью, центр которой находится в начале координат, а окружность проходит через ее фокусы. Построить асимптоты, кривую и окружность.

2. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Найти параметр кривой, координаты вершины , фокуса и уравнение директрисы. Построить кривую и ее директрису.

7.1. 1. 2. .

7.2. 1. 2. .

7.3. 1. 2.

7.4. 1. 2. .

7.5. 1. 2. .

7.6. 1. 2. .

7.7. 1. 2. .

7.8. 1. 2. .

7.9. 1. 2. .

7.10. 1. 2. .

7.11. 1. 2. .

7.12. 1. 2. .

7.13. 1. 2. .

7.14. 1. 2. .

7.15. 1. 2. .

7.16. 1. 2. .

7.17. 1. 2. .

7.18. 1. 2. .

7.19. 1. 2. .

7.20. 1. 2. .

7.21. 1. 2. .

7.22. 1. 2. .

7.23. 1. 2. .

7.24. 1. 2. .

7.25. 1. 2. .

7.26. 1. 2. .

7.27. 1. 2. .

7.28. 1. 2. .

7.29. 1. 2. .

7.30. 1. 2. .

Задание 8

Даны координаты точек , , , . Требуется:

1. Написать уравнение плоскости: а) - проходящей через точку перпендикулярно вектору ; б) - проходящей через точку параллельно векторам и в) проходящей через точки .

2. Проверить, выполняется ли условие перпендикулярности плоскостей , и параллельности плоскостей , .

3. Найти расстояние от точки до плоскости .

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27. ,

8.28.

8.29.

8.30.

Задание 9

Задана прямая общими уравнениями и координаты двух точек. Необходимо: 1) написать канонические уравнения прямых; 2) найти угол между прямыми.

9.1. 9.2.

, . , .

9.3. 9.4.

, . ,

9.5. 9.6.

, . , .

9.7. 9.8.

, . , .

9.9. 9.10.

, . , .

9.11. 9.12.

, . , .

9.13. 9.14.

, . , .

9.15. 9.16.

, . , .

9.17. 9.18.

, . , .

9.19. 9.20.

, . , .

9.21. 9.22.

, . , .

9.23. 9.24.

, . , .

9.25. 9.26.

, . , .

9.27. 9.28.

, . , .

9.29. 9.30.

, . , .

Задание 10

Даны прямая в пространстве и плоскость. Найти: а) точку пересече-ния прямой и плоскости; б) угол между прямой и плоскостью.

10.1. , 10.2. ,

. .

10.3. , 10.4. ,

. .

10.5. , 10.6. ,

. .

10.7. , 10.8. ,

. .

10.9. , 10.10. ,

. .

10.11. , 10.12. ,

. .

10.13. , 10.14. ,

. .

10.15. , 10.16. ,

. .

10.17. , 10.18. ,

. .

10.19. , 10.20. ,

. .

10.21. , 10.22. ,

. .

10.23. , 10.24. ,

. .

10.25. , 10.26. ,

. .

10.27. , 10.28. ,

. .

10.29. , 10.30. ,

. .



Приложения

Формулы элементарной математики

Степени и корни

Если , , то:

; ; ; , ; ;

, ; , ; , .

Формулы сокращенного умножения

- квадрат суммы или разности;

- разность квадратов;

- куб суммы;

- сумма кубов;

- куб разности;

- разность кубов;

3. Квадратное уравнение

Если и - корни квадратного уравнения , то



; .

4. Логарифмы

Если , , , , то:

- определение логарифма;

- основное логарифмическое тождество;

- логарифм произведения;

- логарифм частного;

- логарифм степени;

- формула перехода;

, ; 8) ; 9) .

5. Основные тригонометрические тождества

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6. Значения тригонометрических функций некоторых аргументов

					-
	-								-

7. Формулы двойного угла

1)

2)

3)

4)

5)

8. Формулы понижения степени



1)

2)

9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

1)

2)

3)

Таблица тригонометрических функций sin x, cos x.

Угол,	sin x	cos x	Угол,	sin x	cos x	Угол,	sin x	cos x
Град			град			град
0	0	1,0000
1	0,0175	0,9998	31	0,5150	0,8572	61	0,8746	0,4848
2	0,0349	0,9994	32	0,5299	0,8480	62	0,8829	0,4695
3	0,0523	0,9986	33	0,5446	0,8387	63	0,8910	0,4540
4	0,0698	0,9976	34	0,5592	0,8290	64	0,8988	0,4384
5	0,0872	0,9962	35	0,5736	0,8192	65	0,9063	0,4226
6	0,1045	0,9945	36	0,5878	0,8090	66	0,9135	0,4067
7	0,1219	0,9925	37	0,6018	0,7986	67	0,9205	0,3907
8	0,1392	0,9903	38	0,6157	0,7880	68	0,9272	0,3746
9	0,1564	0,9877	39	0,6293	0,7771	69	0,9336	0,3584
10	0,1736	0,9848	40	0,6428	0,7660	70	0,9397	0,3420
11	0,1908	0,9816	41	0,6561	0,7547	71	0,9455	0,3256
12	0,2079	0,9781	42	0,6691	0,7431	72	0,9511	0,3090
13	0,2250	0,9744	43	0,6820	0,7314	73	0,9563	0,2924
14	0,2419	0,9703	44	0,6947	0,7193	74	0,9613	0,2756
15	0,2588	0,9659	45	0,7071	0,7071	75	0,9659	0,2588
16	0,2756	0,9613	46	0,7193	0,6947	76	0,9703	0,2419
17	0,2924	0,9563	47	0,7314	0,6820	77	0,9744	0,2250
18	0,309	0,9511	48	0,7431	0,6691	78	0,9781	0,2079
19	0,3256	0,9455	49	0,7547	0,6561	79	0,9816	0,1908
20	0,3420	0,9397	50	0,7660	0,6428	80	0,9848	0,1736
21	0,3584	0,9336	51	0,7771	0,6293	81	0,9877	0,1564
22	0,3746	0,9272	52	0,7880	0,6157	82	0,9903	0,1392
23	0,3907	0,9205	53	0,7986	0,6018	83	0,9925	0,1219
24	0,4067	0,9135	54	0,8090	0,5878	84	0,9945	0,1045
25	0,4226	0,9063	55	0,8192	0,5736	85	0,9962	0,0872
26	0,4384	0,8988	56	0,8290	0,5592	86	0,9976	0,0698
27	0,4540	0,8910	57	0,8387	0,5446	87	0,9986	0,0523
28	0,4695	0,8829	58	0,8480	0,5299	88	0,9994	0,0349
29	0,4848	0,8746	59	0,8572	0,5150	89	0,9998	0,0175
30	0,5000	0,8660	60	0,8660	0,5000	90 ...

Подобные документы

• Алгебраические уравнения

  Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
  
  контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009
  

• Система линейных уравнений

  Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве.
  
  курс лекций [3,0 M], добавлен 30.10.2013
  

• Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  Вычисление определителей матриц. Метод приведения матрицы к треугольному виду. Решение системы уравнений методами Крамера, Жордана-Гауса и матричным. Канонические уравнения для нахождения центра, вершины, полуоси, эксцентриситета, директрис эллипса.
  
  контрольная работа [797,4 K], добавлен 18.11.2013
  

• Элементы линейной алгебры

  Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
  
  контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016
  

• Элементы высшей математики

  Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
  
  учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011
  

• Основы линейной алгебры

  Понятие и назначение определителей, их общая характеристика, методика вычисления и свойства. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений и их решение. Векторная алгебра, ее закономерности и принципы. Свойства и приложения векторного произведения.
  
  контрольная работа [996,2 K], добавлен 04.01.2012
  

• Линейная алгебра

  Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
  
  презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014
  

• Изучение матриц

  Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
  
  контрольная работа [320,1 K], добавлен 13.07.2009
  

• Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Уравнение плоскости

  Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
  
  контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015
  

• Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  Линейные операции над векторами. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Варианты решений систем линейных уравнений. Действия с матрицами. Модель транспортной задачи, ее решение распределительным методом. Исследование функций с помощью производных.
  
  контрольная работа [1,0 M], добавлен 09.10.2011
  

• Решение систем уравнений

  Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
  
  контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012
  

• Решение произвольных систем линейных уравнений

  Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
  
  реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009
  

• Матричный метод решения линейных уравнений. Аналитическая геометрия

  Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
  
  контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013
  

• Линейная алгебра

  Ознакомление с основами метода Гаусса при решении систем линейных уравнений. Определение понятия ранга матрицы. Исследование систем линейных уравнений; особенности однородных систем. Рассмотрение примера решения данной задачи в матрической форме.
  
  презентация [294,9 K], добавлен 14.11.2014
  

• Векторная алгебра и аналитическая геометрия

  Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
  
  учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009
  

• Решение систем линейных алгебраических уравнений

  Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
  
  курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
  

• Элементы линейной алгебры

  Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
  
  учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009
  

• Определители и системы линейных уравнений

  Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
  
  презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016
  

• Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

  Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
  
  контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010
  

• Решение математических задач средствами Excel

  Аналитическая геометрия. Декартова система координат, линии на плоскости и кривые второго порядка. Поверхности в трехмерном пространстве. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Элементы математического анализа. Основные правила комбинаторики.
  
  отчет по практике [1,1 M], добавлен 15.11.2014
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам