Геометрические построения на плоскости

Деление отрезка пополам на две равные части перпендикуляром, проведенным через точки пересечения дуг окружностей радиуса. Построение перпендикуляра к прямой из точки, находящейся вне ее. Деление угла пополам. Построение правильных многоугольников.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 25.09.2017
Размер файла 1,0 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Геометрические построения на плоскости

1). Деление отрезка пополам показано на Рис. 1.1.

Отрезок АВ прямой m делится на две равные части перпендикуляром n проведенным через точки пересечения С и D дуг окружностей радиуса R > 0,5АВ с центрами соответственно в точках А и В. Точка Е - середина отрезка АВ.

2). Деление отрезка на заданное число частей показано на Рис. 1.2.

Рис. 1.1. Рис. 1.2.

Отрезок АВ прямой m разделен (рис. 1.2) на семь частей посредством вспомогательного луча t, проведенного под острым углом к заданной прямой m через точку А. На луче t от точки А отложить заданное число (n=7) равных произвольной длины отрезков (отмеченных точками 1, 2, .... 7). Последнюю точку 7 соединить с точкой В и последовательно из каждой точки деления луча t провести ряд прямых параллельно прямой В 7 до пересечения с прямой m. Полученные точки 1', 2', ... делят отрезок АВ в искомом отношении.

3) Построение перпендикуляра к прямой из точки, находящейся вне ее, показано на Рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Засечкой произвольного радиуса R из точки О отметить на прямой m точки А и В (рис. 1.3). Используя эти точки как центры, провести равными радиусами дуги окружностей до их взаимного пересечения в точке О'. Получим искомое OO' перпендикулярно m.

4) Построение перпендикуляра к прямой из точки, находящейся на прямой, показано на Рис. 1.4.

Рис. 1.4

Построение перпендикуляра к прямой m в точке A, принадлежащей данной прямой. Провести из произвольно выбранного центра О, расположенного вне данной прямой, дугу окружности радиуса R=ОА и отметить на прямой m точку В ее пересечения с дугой. Провести диаметр BM и прямую МА перпендикулярную АВ, так как окружность и опирающийся на ее диаметр угол МАВ - прямой.

5) Построение угла в 30 градусов показано на Рис. 1.5.

Построение угла 30° (рис. 16.9). Построить прямой угол АОВ. Из точки О провести дугу радиусом R; из точки А тем же радиусом R сделать засечку на дуге АВ в точке М. Угол MOB - искомый.

6) Построение угла в 60 градусов показано на Рис. 1.6.

Построение угла 60° (рис. 16.10). Из точки О на прямой т провести дугу 1 окружности произвольного радиуса R. Из точки А на той же прямой тем же радиусом провести дугу 2 до пересечения с дугой / в точке В. Угол АОВ - искомый.

Рис. 1.5. Рис. 1.6.

7). Деление угла пополам показано на Рис. 1.7.

Из вершины заданного угла провести дугу произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках А и В. Из полученных точек, как из центров, провести две дуги равных радиусов до их взаимного пересечения в точке М. Биссектриса ОМ делит заданный угол пополам.

8). Построение угла в 75 градусов показано на Рис. 1.8.

Повторить построение по рис. 1.7 для угла 60° и дополнить построением по рис. 1.8 биссектрисы угла АОМ. Угол СОВ-- искомый.

Рис. 1.7. Рис. 1.8.

9) Деление окружности на 3, 6 и 12 частей показано на Рис. 1.9.

В окружности заданного радиуса R провести через центр О взаимно перпендикулярные оси АВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 1-2 - искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В 2. В свою очередь, отрезки А 1 = А 2 и Cl = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности.

10) Деление окружности на 4 и 8 частей показано на Рис. 1.10.

Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Отрезки АС=СВ=BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность.

Для деления окружности на восемь частей построить из центра О перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжить его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок AM - искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Рис. 1.9. Рис. 1.10.

11) Деление окружности на 5 и 10 частей показано на Рис. 1.11.

Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD и разделить радиус ОВ пополам в точке М, как из центра, провести дугу радиусом MС до пересечения ее с диаметром АВ в точке К. Отрезок СК равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок ОК-- десятиугольника. Для деления окружности на пять частей достаточно дугой радиуса СК сделать засечки на исходной окружности в точках 1, 2 и далее; используя точки 1 и 2 как центры, тем же радиусом отметить точки 3 и 4. Точки С, 1, 3, 4, 2 - вершины правильного вписанного пятиугольника.

Рис. 1.11. Рис. 1.12.

12) Деление окружности на 7 частей показано на Рис. 1.12.

Из точек А и В концов горизонтального диаметра АВ провести дуги окружности радиусом R=AO=ВО и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью. На пересечении хорды 1-2 с радиусом OD отметить точку М. Отрезок ОМ равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения последовательно отметить на исходной окружности точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 радиусом R=ОМ.

13) Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность - деление окружности на n равных частей по заданной стороне показано на Рис. 1.13. перпендикуляр радиус пересечение

Рис. 1.13

Провести в окружности заданного радиуса R диаметр АВ и разделить его на заданное число равных частей (на рис. 1.13 n = 9). Из точек А и В, как из центров, провести дуги окружности радиуса 2R до их пересечения в точках К и М. Используя полученные точки К и М в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные точки деления диаметра АВ до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2,..., 9 - искомые точки деления окружности на заданное число частей.

Погрешность построения описанным способом - в пределах 0,01 R, что достаточно для практических целей.

Деление окружности на n равных частей можно также выполнить, используя данные табл. 1, где приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность единичного диаметра. Для получения номинального размера стороны n-угольника достаточно табличное значение длины стороны при выбранном n умножить на числовое значение диаметра окружности.

Таблица 1

Длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность диаметром d=1

Число сторон n

Длина стороны а

Число сторон n

Длина стороны а

Число сторон n

Длина стороны а

3

0,8660

15

0,2079

27

0,1161

4

0,7071

16

0,1951

28

0,1120

5

0,5878

17

0,1838

30

0,1045

6

0,5000

18

0,1736

32

0,0980

7

0,4389

19

0,1646

34

0,0923

8

0,3827

20

0,1564

36

0,0872

9

0,3420

21

0,1490

38

0,0826

10

0,3090

22

0,1423

40

0,0785

11

0,2817

23

0,1362

42

0,0747

12

0,2588

24

0,1305

44

0,0713

13

0,2393

25

0,1253

48

0,0654

14

0,2225

26

0,1205

50

0,0627

14) Построение правильных многоугольников по заданной стороне показано на Рис. 1.14.

Рис. 1.14

Сторону АВ разделить точкой О пополам и восставить в этой точке перпендикуляр к АВ. Из точек А и В радиусом R=АВ провести дуги до их пересечения в точке 1. Треугольник А 1В - искомый.

Для построения квадрата надо восставить в точках А и В перпендикуляры к АВ и продолжить их до пересечения в точках С и D с дугами R=АВ. Квадрат ACDB - искомый.

В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной АВ.

Последовательно откладывая расстояние 1-3 от точки 1 вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6, ..., которые будут служить центрами окружностей для построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д. с заданной стороной АВ. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки А до соответствующих центров.

По данным табл. 2 можно по заданной длине, а стороны определить радиус R описанной окружности.

Таблица 2.

Зависимость радиуса R описанной окружности от длины а стороны вписанного многоугольника

Число сторон п

Радиус R

Число сторон n

Радиус R

3

0,577aо

8

1,307a

4

0,707aо

9

1,462a

5

0,851а

10

1,618a

6

1,000а

11

1,755a

7

1,152о

12

1,932л

СОПРЯЖЕНИЯ

Сопряжением принято называть плавный переход прямой линии в дугу окружности или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения.

В основе алгоритма решения задач на построение сопряжений лежат следующие правила:

Правило 1. Прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания.

Правило 2. Геометрическим местом центров окружностей, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная заданной прямой и отстоящая от нее на величину радиуса окружности.

Правило 3. Точка касания двух окружностей (точка сопряжения) находится на линии, соединяющей их центры.

В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения, состоит из следующих этапов:

1. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий.

2. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий.

3. Определение на пересечении множества точек центра дуги сопряжения.

4. Определение точки сопряжения на первой (или второй) из сопрягаемых линий.

5. Проведение дуги сопряжения в зоне между точками сопряжения.

15). Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса R1 представлено на Рис. 1.15, где а - внешнее касание, б - внутреннее касание.

Рис. 1.15

Внешнее касание (рис. 1.15, а). Центр О 1 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R1, и дуги радиуса R + R1, из центра О. Точки сопряжения К и М находятся соответственно в основании перпендикуляра О 1К и на пересечении пряной ОО 1 с основной окружностью.

Внутреннее касание (рис. 1.15, б). Центр О 1 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R-R1 из центра О. Точки сопряжения - соответственно в основании перпендикуляра О 1К и на пересечении продолжения луча ОО 1 с основной окружностью.

16, 17, 18). Сопряжение двух дуг окружностей дугой заданного радиуса представлено на Рис. 1.16, где а - внешнее касание, б - внутреннее касание и с - смешанное касание.

Рис. 1.16

Внешнее касание (рис. 1.16, а). Центр О 3 искомой дуги радиуса R3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О 1 и О 2 соответствующими радиусами R1+ R3 и R2 + R3.

Внутреннее касание (рис. 1.16, б). Центр О 3 искомой дуги радиуса 7?3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О{ и О 2 соответствующими радиусами R3-R1 и R3-R2.

Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 1.16, в). Центр искомой дуги радиуса R3 находится на пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О 1 и О 2 соответствующими радиусами R3-R1 и R3+R2. Для всех случаев точки сопряжения окружностей К и М лежат по правилу 3 на лучах, соединяющих центры сопрягаемых окружностей.

19) Построение овала представлено по двум его осям на Рис. 1.17

Овал - плоская, замкнутая, выпуклая, плавная кривая, состоящая из взаимно сопрягающихся дуг окружностей различных радиусов. Построение овала выполняется дугами окружностей из соответствующих центров О 1, О 2, О 3 и О 4.

Построение овала может осуществляться различными способами (по двум осям, делением большей оси на 3 части, при отношении осей 31/2, делением большей оси на 4 части) представлено на Рис. 1.17

Рис. 1.17

Первый способ (рис. 1.17а). Для нахождения центров О 1О 2 необходимо:

1. отложить на малой оси отрезок ОЕ = ОА (длину большой полуоси);

2. провести прямую АС и отложить на ней от точки С отрезок СК= СЕ;

3. восставить срединный перпендикуляр n к отрезку АК;

4. на пересечении с заданными осями овала отметить положение центров О 1 и О 2. Два других центра О 3 и О 4 симметричны О 1 и О 2 относительно точки О пересечения осей овала;

5. из центров O1 и О 3 провести дуги окружностей радиусом R2;

6. на продолжении лучей О 1О 2, О 2О 3, О 4О 1 и О 4О 3, соединяющих найденные центры, отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4 и соединить их дугами окружностей: R1 = О 22, R2 = О 32.

Второй способ - при заданном соотношении осей АВ=v3 CD (рис. 1.17б):

1. из центра О пересечения осей овала радиусом ОА провести дугу до пересечения с продолжением малой оси CD и отметить точки О 2, О 4;

2. аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью АВ в точках О 1 и О 3;

3. провести лучи через полученные центры О 1...О 4;

4. провести дуги сопряжения радиусами R1 = О 2С, R2 = О 1А до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3 и 4.

Третий способ. Построение овала делением большой оси на четыре равные части (рис. 1.17в):

1. через центр О большой оси АВ перпендикулярно АВ провести малую ось;

2. из того же центра О радиусом ОО 1 = ОА/2 описать окружность и на ее пересечении с малой осью отметить центры О 3 и О 4;

3. из центров О 1 и О 2 описать дуги окружностей радиусом R1 = О 1А;

4. на продолжениях лучей, соединяющих центры малых и больших дуг, отметить точки сопряжения 1, 2, 3 и 4 при их пересечении с дугами R1;

5. из центров О 3 и О 4 провести дуги окружностей радиусом R2 = О 31, замыкающие овал.

Четвертый способ. Построение овала делением большой оси на три равные части (рис. 1.17г):

1. разделить большую ось АВ овала натри равные части, отметив центры О 1 и О 2;

2. описать из центров О 1 и О 2 окружности радиусом R1 = АВ/3 и отметить точки О 3 и О 4 их взаимного пересечения как центры сопрягаемых дуг овала;

3. на лучах, соединяющих центры сопрягаемых дуг, при их пересечении с окружностями радиуса R1 отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4; описать дуги окружностей из центров О 3 и О 4, замыкающие овал.

20) Построение эллипса по двум его осям представлено на Рис. 1.18 и 1.19

Первый способ (рис. 1.18). На заданных осях эллипса--большой АВ и малой CD - построить как на диаметрах две концентрические окружности. Одну из них разделить на 8...12 равных или неравных частей и через точки деления и центр О провести радиусы до их пересечения с большой окружностью. Через точки (1,2,...) деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси CD, а через точки (1',2',...) деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси АВ.

Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат искомому эллипсу. Полученную совокупность точек, включая точки на большой и малой осях, последовательно соединить от руки плавной кривой, которую затем обвести по лекалу.

Рис. 1.18

Второй способ (рис. 1.19). На большой оси эллипса как на диаметре АВ построить вспомогательную окружность. В произвольной точке К на продолжении большой оси восставить перпендикуляр n и отложить на нем отрезки, равные заданным полуосям эллипса: KM = a; KN = b. Выбрать на продолжении большой оси эллипса произвольную точку О и соединить ее прямыми с точками М и N. Далее для каждой из произвольно выбранных точек 1, 2,... на вспомогательной окружности построить две линии: прямую, параллельную малой оси эллипса, и ломаную 11'1''1'", опирающуюся в точках 1' и 1" соответственно на прямые ОМ и ON. При этом прямая 11'¦1"1'" и параллельна большой оси эллипса. На пересечении построенных прямых отметить точки 1'", 2'", ... искомого эллипса. Недостающие точки других четвертей эллипса строятся симметрично относительно осей.

Рис. 1.19

21) Построение эвольвенты окружности представлено на Рис. 1.20.

Рис. 1.20.

22) Построение циклоиды окружности представлено на Рис. 1.21.

Рис. 1.21.

23) Построение эпициклоиды окружности представлено на Рис. 1.22.

Рис. 1.22

24) Построение гипоциклоиды окружности представлено на Рис. 1.23.

Рис. 1.23

25) Построение синусоиды представлено на Рис. 1.24.

Рис. 1.24

26) Построение параболы по директрисе и заданному фокусу представлено на Рис. 1.25, а по ее вершине, оси и точке на Рис. 1.26.

Рис. 1.25 Рис.1.26

27) Построение параболы посредством касательных представлено на Рис. 1.27.

Рис. 1.27

28) Построение гиперболы по ее вершинам и фокусам представлено на Рис. 1.28, а по ее точке в заданных координатах на Рис. 1.29.

Рис. 1.28 Рис. 1.29

29) Построение гиперболы по ее вершине и точке представлено на Рис. 1.30.

Рис. 1.30

30) Построение всей спирали Архимеда и между заданными двумя точками представлено на Рис. 1.31 и 1.32.

Спираль Архимеда - траектория точки, равномерно движущейся от центра окружности по радиусу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Использование градуированной веревки при построении перпендикуляра к прямой. Нахождение середины отрезка. Построение треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне. Нахождение точки пересечения двух прямых. Построение биссектрисы угла.

    научная работа [320,4 K], добавлен 07.02.2010

  • Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

    лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

  • Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.

    контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012

  • Методы последовательного поиска: деление отрезка пополам, золотого сечения, Фибоначчи. Механизмы аппроксимации, условия и особенности их применения. Методы с использованием информации о производной функции: средней точки, Ньютона, секущих, кубической.

    курсовая работа [361,5 K], добавлен 10.06.2014

  • Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.

    контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015

  • Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.

    презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014

  • Вычисление корня функции нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам. Способы ввода, вывода и организации данных. Модульная организация программы. Разработка блок-схемы алгоритма задачи. Порядок создания программы на алгоритмическом языке.

    реферат [30,0 K], добавлен 28.10.2010

  • Особенности применения теорем Пифагора и косинусов в делении углов на равновеликие части. Порядок нахождения углов в геометрических фигурах с помощью биссектрис. Методика деления угла на три равные части с использованием способа угла больше развернутого.

    статья [1,0 M], добавлен 28.02.2010

  • Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.

    презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013

  • Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.

    презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012

  • Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов. Постановка задачи на построение, методика решения задач. Особенности методик построения: одним циркулем, одной линейкой, двусторонней линейкой, построения с помощью прямого угла.

    курс лекций [4,0 M], добавлен 18.12.2009

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

    презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013

  • Задача о делении угла на три равные части (трисекция угла), история ее происхождения. Построение трисектрисы угла (лучей, делящих угол) с помощью циркуля и линейки. Общее доказательство о трисекции угла, зависимость между ней и антипараллелограммом.

    реферат [1,2 M], добавлен 12.12.2009

  • Оптимальные фигуры многоугольников на плоскости. Соотношение размеров соседних фигур на плоскости на примере соприкасающихся окружностей. Реализация шестигранных ячеек в природе. Характеристика таких категорий: целое и части, дискретное и непрерывное.

    статья [290,7 K], добавлен 28.03.2012

  • Доказательство теоремы о том, что любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов, и что если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку.

    презентация [71,5 K], добавлен 02.12.2010

  • Свойства куба, тетраэдра, октаэдра. Прямые и наклонные призмы. Учение о многоугольниках Пифагора. Деление циферблата часов. Создание колеса со спицами и астрономических сооружений. Виды и свойства пирамид. Теории построения правильных многоугольников.

    презентация [1,4 M], добавлен 26.04.2015

  • Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.

    презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013

  • Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.

    реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012

  • Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.

    контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012

  • Построение угла равного данному, биссектрисы данного угла, середины отрезка, перпендикулярных прямых, треугольника по трем элементам. Теорема Фалеса и геометрическое место точек. Построение с использованием свойств движений. Метод геометрических мест.

    дипломная работа [359,1 K], добавлен 24.06.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.