Виды аналитических функций

Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.

Сначала докажем следующее утверждение:

Теорема . Пусть где - класс Соболева в . Если при этом существует такое число , что и при , то при всех справедливо представление

где, как обычно,

Доказательство. Пусть фиксировано, положим

Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции (см. [31]), имеем:

Используя условие теоремы, получаем:

Упростим подынтегральное выражение:

Следовательно, из равенства (2.5) имеем:

Положив , получаем:

Из данной теоремы непосредственно следует:

Теорема Пусть . Тогда если или то справедливо представление

Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы при .

Из интегрального представления классов вытекает:

Теорема. Пространство при относительно нормы

является банаховым, а при - квазибанаховым пространством.

Доказательство. Пусть . Обозначим через пространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.

Хорошо известно, что пространство при банахово, а при квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что является замкнутым подпространством пространства при всех .

Предположим, что - последовательность из , а функция такая, что при .

Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:

.

Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри к некоторой функции . Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность такую, что почти всюду в . Поэтому почти всюду в , и следовательно, .

10. Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость

круг бесконечный числовой интегральный

Бесконечное произведение есть выражение вида

(1+а1)(1+а2)(1+а3) .... (1)

содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Мы предполагаем, что ни одно из чисел а„ не равно --1. Рассмотрим частичное произведение

Мы говорим, что бесконечное произведение (1) сходится, если рn стремится к некоторому пределу, отличному от нуля, когда п >?

Мы могли бы, конечно, допустить предел 0, как всякий другой; но мы увидим ниже, что во многих случаях это было бы неудобно.

Если произведение не сходится, то говорят, что оно расходится. Если , то говорят, что оно расходится к нулю.

Мы начнем с рассмотрения двух простых случаев.

Если an,?0 то произведение П(1+an) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Так как в этом случае рn есть неубывающая функция от п, то рn стремится либо к конечному пределу, либо к положительной бесконечности. Далее,

Левое неравенство становится очевидным, если раскрыть скобки; правое неравенство следует из того, что при любом положительном а. Вместе эти неравенства показывают, что рn и a1 +…+an ограничены или не ограничены одновременно, и это завершает доказательство.

Если an,?0 для всех значений п, то мы полагаем an = -bn и рассматриваем произведение

Если для всех значений п и ряд сходится, то произведение П(1 -- bп) сходится.

Из сходимости ряда следует существование столь большого N, что bN + bN+1+…<1/2 и, в частности, bn < 1 при n?N. Очевидно,

(1 - bN) (1 - bN+1)?1- bN - bN+1,

Таким образом, отношение рп/pN+1 монотонно убывает при п> N и имеет положительную нижнюю грань. Следовательно, оно стремится к положительному пределу. Поскольку , это завершает доказательство.

Если 0?bn для всех п, но ряд расходится, то произведение П( 1 -- bn) расходится к нулю.

В самом деле, , если 0?b<1, так что

Правая часть стремится к нулю, что и завершает доказательство.

Таким образом, если если 0?bn<1, то произведение П( 1 -- bn) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Общий случай. Пусть теперь an -- любые вещественные или комплексные числа, отличные от --1.

Определение. Произведение П(1+an) называется абсолютно сходящимся, если произведение П( 1 -- |an |) сходится.

Из первого предложения следует, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения П(1+an) служит сходимость ряда

Покажем теперь, что абсолютно сходящееся произведение сходится.

Обозначим через рп то же частичное произведение, что и выше,

и положим

Так как

то |рп -- p n-1|?|Рп -- Рп-1|- Если произведение П(1 +|an|) сходится, то Р„ стремится к некоторому пределу, так что ряд сходится. Тогда, в силу теоремы сравнения, сходится и ряд стремится к некоторому пределу.

Этот предел не может быть нулем. Действительно, так как ряд сходится и 1+ап>1, то ряд

также сходится. Следовательно (в силу только что доказанного), произведение

стремится к некоторому пределу.

Но это произведение равно 1/рп- Следовательно, предел произведения рп отличен от нуля.

Логарифм бесконечного произведения.

Пусть

верно ли, что

Здесь log z главное значение логарифма числа z, т. е. значение, мнимая часть которого лежит между --р и р

Ответ будет, очевидно, утвердительным, если все числа ап действительны и положительны, поскольку тогда все логарифмы имеют свое обычное арифметическое значение. Но в общем случае формула требует модификации.

Пусть рп обозначает п-е частичное произведение, и пусть , так что рп и сn стремятся к пределам и то же относится к аргументу цn, если его значения выбраны надлежащим образом. Пусть

тогда, так как ал >0 при n>?, то и иn >0 Положим

Очевидно,

где kn -- целое число, и

2knр = и1 +…+ и2 - цn. так что

Поскольку правая часть стремится к нулю, при достаточно большом n

и, следовательно, kn+1 = kn (напомним, что все kn -- целые числа). Таким образом, kn имеет при достаточно большом п постоянное значение, скажем k, т. е.

Следовательно,

Сумма ряда есть, таким образом, некоторое значение, но не обязательно главное значение, логарифма произведения.

Заметим, что в ходе доказательства мы получили для всех достаточно больших значений N равенство

Если мы начнем с ряда логарифмов и положим

то после перехода к экспоненциалам в формуле (1), мы получим равенства

Равномерная сходимость бесконечных произведений.

Бесконечное произведение

где сомножители -- функции переменного z, вещественного или комплексного, называется равномерно сходящимся в некоторой области значений z, если частичное произведение

равномерно сходится в этой области к некоторому пределу, нигде не равному нулю.

Вот простейший признак равномерной сходимости произведения.

Произведение

равномерно сходится в каждой области, в которой ряд равномерно сходится к ограниченной функции. Доказательство состоит в пересмотре аргументов ранее доказанной теоремы с точки зрения равномерности. Пусть М -- верхняя грань суммы в рассматриваемой области. Тогда

Полагая

мы видим, что

Следовательно, ряд равномерно сходится, и доказательство завершается так же, как в прошлый раз

11. Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке

А. Произведение Бляшке

Если .., и бесконечное произведение

сходится для |z|< 1, то оно представляет некоторую функцию, аналитическую в единичном круге; она называется произведением Бляшке. Можно даже допустить равенство конечного числа чисел zn нулю - просто в этом случае множители, соответствующие заменяются на z.

Имеем

Откуда

следовательно, рассматриваемое бесконечное произведение сходится при z = 0 тогда в только тогда, когда

Но если , то по той же только что найденной формуле

при |z|<1; поэтому бесконечное произведение сходится в {\z\ < 1}, если . Таким образом, сходится в {|z|<1} тогда и только тогда, когда .

Граничные значения почти всюду равны по модулю единице

Пусть так что

сходится в {|z|< 1} и представляет функцию В(z), аналитическую в этом круге. Согласно элементарной теории функции комплексной переменной, из того, что каждый сомножитель произведения по модулю меньше 1 в {|z|< 1}, вытекает, что \В(z)\< 1 для |z\< 1.

Следовательно, для почти всех ж, |ж|=1, предельная функция

B(ж)=limB(z) при z >ж

существует (теарема Фату).

Теорема. |В(еiи)|=1 п. в.

Доказательство.

Без ограничения общности можно считать, что все точки zn отличны от нуля (в противном случае мы рассмотрели бы функцию B(z)/zk вместо В (z)). Тогда Теперь из того, что вытекает, что . (NB: для каждого п. Возьмём число r, 0<r< 1, не равное ни одной из величин |zn |. Тогда в силу простейшей разновидности формулы Йенсена

,

Выберем и зафиксируем какое-нибудь число р, такое что , и возьмём r< 1 настолько блнзким к 1, чтобы при п=1,2, ,.., р все точки zn лежали в круге {\z\<r}. Тогда из предыдущего соотношения получим

или, если взять r < 1 достаточно близким к 1,

Это значит, что

поскольку число ?>0 было произвольным. Но В (reiи) >В (еiи) п. в. при r>1, и

Следовательно, по лемме Фату (переходим к пределу по последовательности чисел r, стремящихся к 1)

Поскольку , мы получаем, что

12. Произведение Бляшке. Выделение нулей из класса посредством функции Бляшке

Возможность построения произведения Бляшке, имеющего те же нули, что и у заданной функции, аналитической в единичном круге

Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп -- её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы

ограничены сверху при r< 1. Тогда

так что произведение

сходится в {|z|<1} и имеет место равенство F[z)=b(z) g(z), где функция g(z) регулярна и не имеет нулей в круге {|z|<1}

Доказательство.

Без ограничения общности можно считать, что F(0)?0; иначе мы рассмотрели бы функцию F(z)/zk вместо F(z). Тогда если 0<r<1 и не существует точек zn с |zn|=r, то по формуле Йенсена

т, е., по предположению,

где М ие зависит от r. Устремляя r к I, получаем, что для любого фиксированного числа р

Следовательно,

Существование произведения Бляшке b(z) доказано ранее. Наконец, определим функцию g(z) в круге {[r]< 1} но формуле g(z)= f(z)/b{z). Вот в всё.

Классы Нр 0 < р < ?. Факторизация

Определение Если р > 0, то пространство Нр состоит нз функций F(z) аналитических в {|z|< 1}, для которых

(1)

Теорема Если р>0, и , то в ж|<1 имеем

(2)

где b(ж)--функция Бляшке, a в ж|<1

Доказательство.

Покажем сначала, что интеграл (6.1) есть неубывающая функция от r в 0<r<1. Действительно, при любом фиксированном с, 0 <с < 1, функция регулярна в и, следовательно, имеет в ж|<1 представление:

где

bс(ж)--функция Бляшке, a в ж|<1 Функция {hp(ж)}p регулярна в ; следовательно, из примененной к ней формулы

Пуассона имеем в ж|<1:

Интегрируя это неравенство по ? от 0 до 2р, получаем:

(3)

Но так как в ?ж|<1 и на ?ж|=1, то в ?ж|<1 и на ?ж|=1, следовательно, имеет место неравенство: доказанное, таким образом, при любых r и с из 0<r<1. Заменяя здесь r на с'/с, с'<с, и получим неравенство, доказывающее неубывание интеграла (6.1) в 0<r<1.

Обращаясь теперь к доказательству теоремы, отметим, что в ?ж|<1 имеет место представление (2) с функцией h(ж), регулярной и без нулей в ?ж|<1 . Докажем, что

Пусть верхняя граница интегралов (1) в 0<r<1 равна М.

Обозначив через bn (ж) произведение n первых множителей в представлении

(*)

функции Бляшке b (ж) и выбирая для заданного е, 0<е<1, и фиксированного п такое з>0, чтобы в ?ж|>1-з было ?bn (ж)? > 1- -- s, что возможно, при 1 -- з <r < 1 имеем:

(4)

Но так как интеграл в (4) есть неубывающая функция от r 0<r<1, то неравенство (4) имеет место и при 0<r<1--з, т. е. во всем промежутке 0<r<1. Фиксируя r и устремляя n k ?, из (4) получаем при 0<r<1, учитывая еще произвольность е>0:

Это и доказывает, что и даже более, что верхние границы интегралов (1) для f(ж) и для h(ж) в промежутке 0<r<1 будут равны.

Теорема доказана.

Следствие. Если , то мы можем найти такие две функции g и h, принадлежащие Н 1 что и не имеющие нулей в {|z|<1}, что

и f=g+h

Замечание. Этот технический результат оказывается часто полезным, так как многие неравенства для функций из Н1 легче доказывать для функций, не имеющих нулей в {|r|<1}.

Доказательство

Пусть В (r)--произведение Бляшке, построенное по нулям функции f(z). Тогда по предыдущей теореме f= BF, где F(z) не имеет нулей в {|z| < 1}, и

Мы получаем требуемый., результат, полагая

поскольку, как непосредственно проверяется (или же следует из строгого принципа максимума), |В(z)\<1 для |z|< 1.

Следствие. Пусть функция , Тогда её можно представить в виде

где В (z) -- произведение Бляшке, а функция g принадлежит H1 и не имеет нулей в {|z|<1}.

Доказательство.

Функция f(z) допускает представление f=BF, где функция не имеет нулей в {|z|<1}. Положим g(z) = [F(z)]p для |z|< 1. Тогда функция g(z) однозначна н регулярна в круге {|z|<1}, поскольку F нигде нём не обращается в нуль.

13. Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций

ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ

Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть Ф-- конформное отображение единичного круга на G -- область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой Г

По теореме Каратеодори Ф обладает непрерывным взаимно-однозначным продолжением вплоть до {|r|= 1} и отображает эту окружность на Г. Поэтому ясно, что если [eiи0, eiи1,,…, eiиp] -- разбиение окружности {| r | = 1}, то [Ф(eiи0), Ф(eiи1,),…, Ф(eiиp)] -- разбиение кривой Г.

1° Производная конформного отображения принадлежит классу Н1

Теорема .

Доказательство

Пусть е= e2рi/n. Тогда функция

является субгармонической в {|r|<1}; она непрерывна для |z|<1 в силу непрерывности Ф(z). Поэтому, по принципу максимума, при |z|<1

Нo если |ж|= 1 то точки [Ф(ж), Ф(еп ж ),…, Ф(епж)]

образуют разбиение кривой Г; следовательно, по определению длины кривой

S(ж)?длина Г. Теперь зафиксируем r<1. Мы имеем

Итак, если |z|<1, то S(z)<длина Г. Теперь зафиксируем r< 1. Мы имеем длины Г< ?.

Устремляя n к бесконечности и используя непрерывность функции Ф'(rе'е) по и для r< 1, получаем в пределе

длины Г

поскольку это выполняется для всех r<.1, то

Образы множеств меры нуль на единичной окружности

Если А -- дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на ?. Само определение длины дуги теперь нам дает

Теорема (Ф. и М.. Риссы). Если. j -- дуга единичной окружности и = Ф(j),то

Доказательство.

По теореме предыдущего подпункта , поэтому

при r>1

Пусть Т(и) -- непрерывно дифференцируемая 2р-периидичеекая функция. Интегрируя по частям, находим

Но при любом r< 1

Правая часть этого равенства по замечанию, желанному вначале, стремится к Итак,

какова бы ни была 2р-периодическая непрерывно дифференцируемая функция Т. Пусть теперь , а -- равномерно ограниченная последовательность таких функций, сходящаяся к единице в (0,и0) и к нулю в [0, 2р] \(0,и0). Подставляя Тп вместо Т в последнее равенство и переходя к пределу, по теореме Лебега получаем

Следовательно,

Теорема доказана,

Длина дуги кривой Г может быть очевидным образом использована для определения линейной меры на Г. Сначала пусть Х -- (относительно) открытое подмножество Г тогда Х есть счётное объединение попарно Heпepeceкающихся открытых дуг ?k, и мы положим |Х|= длина ?k. Для произвольного подмножества определим |E| как inf {|Х|: Х , Х открыто в Г}. Так как Ф -- гомеоморфное отображение окружности {|z|= 1} на Г, то легко показать, основываясь на вышеприведенной теореме, что

борелевсках множеств Е на единичной окружности. Имеет место следующий важный результат:

Теорема (Ф. и М. Риссы). Если Е - подмножество единичной окружности и {|z|= 1}, то |Ф(Е)| = 0.

Доказательство.

Пусть -- открытые множества на {|z|= 1}, такие что Тогда |Ф(Е)|?|Ф(Щп) | для всех n. Но из предыдущей теоремы н следующего за ней обсуждения вытекает, что

этот интеграл стремится к нулю при так как и .

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы

Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(z) абсолютно сходится вплоть до {|z|= 1}.

Дoказательство.

По подпункту 1° имеем . Кроме того, поскольку отображение Ф конформно, то Ф'(z) не обращается в нуль в {|z|<1}. Следовательно, мы можем определить аналитическую в {|z|<1} функцию Теперь, для |z|< 1 запишем

и т.д.

Так как , то средние

ограничены при r < 1. По равенству Парсеваля отсюда следует, что

Теперь положим

Используя равенство Парсеваля, получаем, что средние

ограничены при r< 1. Пусть и(z) = [ш(z)]2 разлагается, скажем, в степенной ряд Тогда, с одной стороны, , а с другой --

так что для доказательства абсолютной сходимости степенного ряда функции Ф(z) вплоть до {|z|= 1} нам надо показать, что

Для |z|< 1, взяв главную ветвь логарифма, получаем

так что

для z = rеiи, 0<r<1; умножая на и используя абсолютную сходимость и ортогональность находим что

это по абсолютной величине не превосходит , что равномерно по r < 1 ограничено, скажем, константой М. Поскольку Аn ? 0, то мы получаем, устремляя r к I, что , как и требовалось.

Размещено на Allbest.ru