Основная статистика
Анализ статистических законов распределения случайных чисел. Функция распределения и плотности равномерного закона. Основные статистические характеристики распределений случайных величин. Проверка нормальности распределения по асимметрии и медиане.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.09.2017 |
| Размер файла | 135,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
ОСНОВНАЯ СТАТИСТИКA
Математическая статистика изучает как отдельные переменные, так и совокупности переменных, устанавливая качественное или количественное соотношение между ними. Обязательным условием применения математических методов статистической обработки данных является случайность этих данных. Какие данные могут подвергаться статистической обработке? Во-первых в интернете имеется большое количество ежегодных статистических справочников, характеризующих состояние регионов РФ и РФ в целом. Во-вторых это могут быть данные по функционированию каких-либо объектов, например, информационных сетей. В третьих результаты имитационного моделирования.
Все эти исходные статистические данные представляют собой распределения случайных чисел. Полностью задать распределение случайной величины можно с помощью функции распределения (ФР), или функции плотности (ФП). Отметим что есть и другие возможности, например, - моментная производящая функция (МПФ).
ФР - это вероятность того, что случайная величина Х не превысит своего текущего значения х.
. (2.1)
Наиболее часто используется ФП, как вероятность попадания случайной величины на участок .
(2.2)
(2.3)
Основные статистические законы распределения случайных чисел: равномерный, экспоненциальный и нормальный.
Равномерный закон
Функция распределения и функция плотности равномерного закона приведены на рис.2.3.
Рис.2.3 Функция распределения и функция плотности равномерного закона
Диапазон существования равномерного закона определяется границами a и b, которые являются его параметрами. ФР равномерного закона определяется двумя параметрами: a и b:
(2.4)
Функция плотности равномерного закона:
(2.5)
Экспоненциальный закон
ФР экспоненциального закона приведена на рис. 2.4
Рис.2.4. Функция распределения экспоненциального закона
ФП экспоненциального закона приведена на рис. 2.5.
Рис.2.5. Функция плотности экспоненциального закона
Экспоненциальный закон имеет диапазон своего существования от 0 до . Функция плотности экспоненциального закона
(2.6)
ФП экспоненциального закона определяется всего одним параметром . Для потоков событий это количество транзактов (заявок), поступающих за единицу времени, для процессов обслуживания - это количество заявок, которое может быть обслужено при их непрерывном поступлении.
ФР экспоненциального закона можно вычислить по ФП:
(2.7)
Нормальный закон
Нормальный закон имеет диапазон существования от -? до +?. Функция плотности нормального закона определяется двумя параметрам: математическим ожиданием - m1 и средним квадратическим отклонением - у:
(2.8)
Функция распределения нормального закона приведена на рис.2.6, функция плотности - на рис.2.7.
Основные статистические характеристики распределений случайных величин
По ФП можно вычислить вероятность, что случайная величина примет значение хi, для этого требуется вычислить pi =f( xi),и вероятность попадания случайной величины в интервал с границами от a до b, для этого требуется вычислить:
(2.9)
ФР и ФП полностью определяют распределение случайной величины. Иногда этого не требуется и тогда ограничиваются вычислением только основных количественных характеристик.
Характеристики положения случайной величины - это начальные и центральные моменты, которые для непрерывных и дискретных законов распределений вычисляются по следующим формулам:
; (2.10)
, (2.11)
где
- математическое ожидание;
s - порядок момента.
Среднее квадратическое отклонение можно вычислить по следующей формуле:
(2.12)
Мо - мода - это значение случайной величины, при котором функция плотности максимальна.
Ме - медиана - это такое значение случайной величины, для которого вероятность появления случайного числа Х меньше медианы, равна вероятности появления случайного числа Х больше медианы:
(2.13)
Медиана делит распределение случайных чисел пополам.
Рис.2.8 Асимметрия
Асимметрия. . (2.14)
Для нормального закона А=0. Распределение I имеет положительную асимметрию; распределение II - отрицательную. Для симметричных распределений асимметрия равна нулю.
Рис.2.9 Эксцесс
Для оценки «островершинности» распределения используется эксцесс.
. (2.15)
Для нормального закона распределения и поэтому эксцесс равен нулю. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем эксцесс больше и чем больше среднее квадратическое отклонение, тем эксцесс меньше.
Основная статистика, вычисляемая по экспериментальному распределению случайных чисел
По эмпирическому распределению случайных чисел вычисляются:
1. Оценка математического ожидания (среднее)
(2.16)
2. Оценка стандартного отклонения
; (2.17)
(2.18)
3. Коэффициент вариации
. (2.19)
4. Оценка дисперсии:
. (2.20)
Для нормального закона могут быть от до
5. Cтандартная ошибка среднего
. (2.21)
6. Оценка медианы - число, являющееся серединой совокупности случайных чисел, т.е. половина из них меньше медианы, а половина больше P{X<Me*}=P(X>Me*)
7. Мода. Наиболее часто встречающееся значение. Для нормального закона медиана и мода в идеальном случае совпадают со средним значением.
8. Оценка ассиметрии:
. (2.22)
9. Стандартная ошибка ассиметрии:
. (2.23)
10. Оценка эксцесса:
(2.24)
11. Стандартная ошибка эксцесса:
(2.25)
12. Ошибка вычисления дисперсии:
(2.26)
число случайный величина асиметрия
Проверка нормальности распределения по асимметрии, эксцессу и медиане
Если вычисление значения асимметрии и эксцесса по абсолютной величине меньше двух своих стандартных ошибок соответственно 2· и 2·, то считается, что имеющиеся статистические данные не противоречат гипотезе об их подчинении нормальному закону, в противном случае гипотезу рекомендуется опровергнуть.
a э
-2Sстасс 0 2Sстасс -2Sстэкс 0 2Sстэкс
Рис.2.10 Рис.2.11
Ещё один вид проверки экспериментального распределения на «нормальность» можно провести по разнице между медианой и средним значением которое не должно превышать двух стандартных ошибок среднего:
|m1*-Me* |?2·Sст.
| m1* -Me*|
-2Sстср 0 2Sстср
Рис.2.12
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Пространства элементарных событий. Совместные и несовместные события. Функция распределения системы случайных величин. Функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин. Условные плотности распределения.
задача [45,4 K], добавлен 15.06.2012Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Вероятность совместного выполнения двух неравенств в системе двух случайных величин. Свойства функции распределения. Определение плотности вероятности системы через производную от соответствующей функции распределения. Условия закона распределения.
презентация [57,9 K], добавлен 01.11.2013Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011Область определения функции, которая содержит множество возможных значений. Нахождение закона распределения и характеристик функции случайной величины, если известен закон распределения ее аргумента. Примеры определения дискретных случайных величин.
презентация [68,7 K], добавлен 01.11.2013События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Проверка статистических гипотез и выполнение центральной предельной теоремы для заданных последовательностей независимых случайных величин.
курсовая работа [364,8 K], добавлен 13.11.2012Проверка гипотезы о законе распределения. Определение значения вероятности по классам распределения случайных величин нефтеносных залежей. Расчет распределения эффективных мощностей месторождения, которое подчиняется нормальному закону распределения.
презентация [187,0 K], добавлен 15.04.2019Согласование выборочных распределений. Отбор статистических данных с помощью таблицы случайных чисел. Расчет числовых характеристик распределения выборочных частот. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным.
курсовая работа [276,6 K], добавлен 19.01.2016Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики случайной функции. Условие независимости двух событий.
контрольная работа [30,0 K], добавлен 15.06.2012Понятие комплекса случайных величин, закона их распределения и вероятностной зависимости. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, момент, дисперсия и корреляционный момент. Показатель интенсивности связи между переменными.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 07.02.2011Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Распределения случайных величин и функции распределения. Нормальное распределение и центральная предельная теорема, направления и особенности их применения в вероятностно-статистических методах принятия решений. Типичное поведение интенсивности отказа.
курсовая работа [859,1 K], добавлен 02.01.2013Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Конечное или счетное множество как совокупность возможных значений дискретной случайной величины. Анализ закона распределения функции одного случайного аргумента. Характеристика условий, от которых зависит монотонное возрастание и убывание функции.
презентация [443,3 K], добавлен 24.04.2019
