Приближенное интегрирование функций

Квадратурная формула Ньютона-Котеса, ее характеристика и частные случаи. Анализ квадратурной формулы Гаусса. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Кубатурные формулы типа Симпсона как метод приближенного вычисления двойного интеграла.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 26.09.2017
Размер файла 116,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 7. Приближенное интегрирование функций

1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

квадратурный ньютон формула гаусс

(7.1)

Однако, во многих случаях первообразная не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (7.1) может быть затруднено или быть практически невыполнимым. Кроме того, подынтегральная функция часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках , где .

Определение 7.1.

Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного интеграла - механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными формулами.

Рассмотрим один из способов вычисления определенных интегралов.

Если воспользоваться, например, интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию полиномом , получим равенство

(7.2)

где - ошибка этой интерполяционной формулы.

Требуется вычислить интеграл , где . Выбрав шаг , разобьем отрезок на равных частей с помощью равноотстоящих точек

, , , , .

Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа

и получим приближенную квадратурную формулу

,(7.3)

где - некоторые постоянные коэффициенты.

Выведем явные выражения для коэффициентов формулы (7.3). Многочлен Лагранжа

имеет коэффициенты

.

Введем обозначения и и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:

.(7.4)

Заменяя в (7.3) функцию полиномом по формуле (7.4), получим:

,

где

.

Так как и , то сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:

.

Так как , где коэффициенты

(7.5)

называются коэффициентами Котеса, то можно записать следующую квадратурную формулу:

(7.6)

Формула (7.6) называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.

Нетрудно проверить, что для коэффициентов Котеса справедливы соотношения:

1) ;

2) .

2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса

Формула трапеций

а) Пусть отрезок достаточно мал. Положим . Тогда по формуле (7.5) при вычислим:

,

,

. (7.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полученная формула (7.7) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.7.1).

Погрешность квадратурной формулы (7.7) равна:

,

где . (7.8)

Если , то формула (7.7) дает значение интеграла с избытком, если - то с недостатком.

б) Рассмотрим общий случай, когда отрезок произвольной длины.

Разделим отрезок на равных частей , , …, и к каждому из них применим формулу трапеций. Получим:

(7.9)

где .

Формула (7.9) называется общей формулой трапеций. Для нее справедлива оценка погрешности:

, (7.10)

где , , .

Квадратурная формула Симпсона

а) По формуле (7.5) при вычислим коэффициенты Котеса:

,

,

.

Так как , то квадратурная формула для вычисления интеграла примет вид

. (7.11)

Формула (7.11) называется квадратурной формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой параболой , проходящей через три точки (Рис.7.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Погрешность квадратурной формулы Симпсона равна:

, где . (7.12

)

Квадратурная формула Симпсона является точной для полиномов второй и третьей степени.

б) Общая формула Симпсона.

Пусть - четное число, и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом , .

Применяя квадратурную формулу Симпсона (7.11) к каждому сдвоенному промежутку , , … длины , будем иметь:

Отсюда получим общую квадратурную формулу Симпсона:

. (7.13)

Остаточный член формулы (7.13) равен:

.

В силу непрерывности на отрезке найдется точка , такая, что

.

Поэтому будем иметь:

, (7.14)

где .

3. Квадратурная формула Гаусса

Для вывода квадратурной формулы Гаусса потребуются некоторые сведения о полиномах Лежандра.

Определение 7.2.

Полиномы вида

называются полиномами Лежандра.

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ,

где - любой полином степени , меньшей ;

3) полином Лежандра имеет различных и действительных корней, которые расположены на интервале .

Свойство 2 называется свойством ортогональности полиномов Лежандра.

Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса.

Рассмотрим сначала функцию , заданную на отрезке .

Поставим задачу: как нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула

(7.15)

была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени .

Так как в распоряжении имеется постоянных и , а полином степени определяется коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае равна .

Для обеспечения равенства (7.15) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при .

Действительно, полагая

(7.16)

и

,

будем иметь:

.

Таким образом, учитывая соотношения:

заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить и из системы уравнений

(7.17)

Система (7.17) - нелинейная система, состоящая из уравнений с неизвестными и . Решение ее обычным путем представляет большие математические трудности. Поэтому применяют искусственный прием.

Рассмотрим полином

,

где - полином Лежандра.

Так как степени этих полиномов не превышают , то на основании системы (7.17) для них должна быть справедлива формула (7.15):

. (7.18)

С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены равенства:

, при ,

поэтому в силу (7.18)

(7.19)

Если положить , то соотношения (7.19) будут выполняться при любых значениях .

Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (7.15) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. В силу свойства 3 эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Подставив найденные значения в систему (7.17), которая при этом становится линейной, из первых уравнений можно найти коэффициенты .

Определитель этой подсистемы является определителем Вандермонда

,

и, следовательно, коэффициенты определяются однозначно.

Формула (7.15), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (3), называется квадратурной формулой Гаусса.

Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек и коэффициенты - вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток отчасти искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе ординат.

Для вычисления общего интеграла по квадратурной формуле Гаусса делают замену

.

Тогда

, (7.20)

где - нули полинома Лежандра, .

Соотношение (7.20) - квадратурная формула Гаусса для вычисления произвольного интеграла.

Остаточный член квадратурной формулы Гаусса (7.20) с узлами выражается следующим образом:

. (7.21)

4. Приближенное вычисление несобственных интегралов

Определение 7.3.

Интеграл

(7.22)

называется собственным, если

промежуток интегрирования конечен;

подынтегральная функция непрерывна на .

В противном случае, интеграл (7.22) называется несобственным.

а). Рассмотрим приближенное вычисление несобственного интеграла

(7.23)

с бесконечным промежутком интегрирования, где функция непрерывна при .

Определение 7.4.

Интеграл (7.23) называется сходящимся (Рис.7.3), если существует конечный предел

(7.24)

и по определению полагают

(7.25)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если предел (7.24) не существует, то интеграл (7.23) называется расходящимся, и такой интеграл считается лишенным смысла. Поэтому, прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, нужно предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (7.23) с заданной точностью , представим его в виде

(7.26)

В силу сходимости интеграла число можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство

(7.27)

Собственный интеграл можно вычислить по одной из квадратурных формул. Пусть - приближенное значение этого интеграла с точностью до , т.е.

. (7.28)

Из формул (7.26)-(7.28) имеем

,

т.е. поставленная задача решена.

б). Допустим теперь, что отрезок конечен, а функция имеет конечное число точек разрыва на . Эти точки назовем «особыми» и обозначим . Такими особыми точками могут быть или один из концов отрезка, или оба конца отрезка, либо одна или несколько точек внутри отрезка.

Так как промежуток интегрирования можно разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подынтегральной функции, то достаточно разобрать лишь случай, когда на имеется единственная точка разрыва функции , причем второго рода.

Если есть внутренняя точка отрезка , то по определению полагают:

, (7.29)

и в случае существования этого предела интеграл называют сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла, если точка разрыва подынтегральной функции совпадает с одним из концов промежутка интегрирования .

Для приближенного вычисления с заданной точностью сходящегося несобственного интеграла (7.29), где точка разрыва , выбирают положительные числа и столь малыми, чтобы имело место неравенство:

.

Затем по известным квадратурным формулам вычисляют определенные интегралы , с точностью до . Тогда с точностью , т.е.

.

Если точка разрыва подынтегральной функции является концевой для промежутка интегрирования , то методика вычисления очевидным образом видоизменяется.

5. Кубатурные формулы типа Симпсона

Рассмотрим один из методов приближенного вычисления двойного интеграла.

Так как двойной интеграл вычисляется через повторный, то при приближенном вычислении двойного интеграла используется квадратурная формула Симпсона.

1) Вычислим , где область - это прямоугольник вида:

.

Каждый отрезок , разобьем пополам точками

Размещено на http://www.allbest.ru/

где

, .

Получим девять точек с координатами (Рис.7.4).

Расписав двойной интеграл через повторный и применив два раза квадратурную формулу Симпсона, получим:

(7.30)

Формула (7.30) называется кубатурной формулой Симпсона.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Пусть теперь область представляет собой прямоугольник, стороны которого достаточно велики. Тогда отрезок разобьем на равных частей, отрезок - на равных частей. Выбирая шаги и , делим прямоугольник на четное число прямоугольников (Рис.7.5).

Введем обозначения , , . Применяя кубатурную формулу (7.30) к каждым четырем соседним прямоугольникам, получим:

Приведя подобные, получим:

, (7.31)

где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3) Если область - произвольная криволинейная область, то строится прямоугольник , содержащий область , причем стороны прямоугольника параллельны осям координат (Рис.7.6).

Рассматривается вспомогательная функция

.

Тогда и, применяя к последнему интегралу общую кубатурную формулу Симпсона (7.31), получим приближенное значение двойного интеграла по произвольной области .

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Построение квадратурной формулы максимальной степени точности. Определение алгебраической степени точности указанной квадратурной формулы. Сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла.

    лабораторная работа [195,9 K], добавлен 21.12.2015

  • Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Анализ формул трапеции и параболы (Симпсона). Основной принцип построения формул приближенного вычисления определенного интеграла.

    презентация [96,6 K], добавлен 18.09.2013

  • Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.

    реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010

  • Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013

  • Иоганн Карл Фридрих Гаусс - величайший математик всех времен. Интерполяционные формулы Гаусса, дающие приближенное выражение функции y=f(x) при помощи интерполяции. Области применение формул Гаусса. Основные недостатки интерполяционных формул Ньютона.

    контрольная работа [207,3 K], добавлен 06.12.2014

  • Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.

    курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012

  • Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.

    презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013

  • Обзор квадратурных формул Гаусса, их определение, интегральные конструкции, примеры, четко описывающие квадратуры Гаусса. Особенности использования некоторых алгоритмов, позволяющих отследить ход решений задач, использующих квадратурные формулы Гаусса.

    контрольная работа [309,6 K], добавлен 16.12.2015

  • Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.

    реферат [51,4 K], добавлен 08.08.2009

  • Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

    презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014

  • Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.

    курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012

  • Извлечение квадратного корня - операция нахождения квадратного корня из неотрицательного числа. Сравнительный анализ способов приближенного извлечения квадратных корней. Характеристика арифметического способа. Вавилонский способ (первый метод Герона).

    реферат [48,7 K], добавлен 15.05.2012

  • Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.

    методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009

  • Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов.

    курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019

  • Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

    контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011

  • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013

  • Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.

    курсовая работа [241,3 K], добавлен 13.11.2011

  • Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Анализ формул числа е с помощью рядов и пределов функции. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Применение числа e в математических задачах.

    курсовая работа [352,9 K], добавлен 17.05.2021

  • Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.

    курс лекций [119,3 K], добавлен 21.04.2009

  • Вид определенного интеграла от непрерывной на заданном отрезке функции. Сущность квадратурных формул. Нахождение численного значения интеграла с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций, парабол. Выведение общей формулы Симпсона.

    презентация [120,3 K], добавлен 18.04.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.