Элементарная теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦИЯ

Элементарная теория вероятностей

Случайное событие, мера статистической закономерности появления случайного события. В теории вероятностей изучают так называемые случайные явления. Основным способом изучения этих явлений служит, вообще говоря, эксперимент (опыт, испытание), в результате проведения которого фиксируются (наблюдаются) значения некоторых величин - наблюдаемых, характеризующих исследуемое явление.

В научных исследованиях, в технике, в социальных исследованиях очень часто не представляется возможным, в силу различных причин, предсказать результат проведения эксперимента. Чаще всего невозможность однозначного предсказания результата наблюдения тех или иных величин обусловлена не столько сложностью наблюдаемого явления, сколько незнанием обуславливающих его причин, начальных условий эксперимента. Иногда эта невозможность является объективной реальностью, например, в квантовой механике микрочастицы ведут себя принципиально непредсказуемым образом. Рассмотрим некоторые основные понятия теории вероятностей.

Определение 1.1. Испытание (опыт, эксперимент) - это осуществление вполне определённого (фиксированного) комплекса условий, при которых производится наблюдение некоторого явления.

Пример 1.1. Испытанием являются: бросание игральной кости или монеты; выстрел по мишени; заполнение анкеты; измерение атмосферного давления и т. д.

Математическая модель эксперимента (опыта, испытания, наблюдения или измерения), являющаяся основой теории вероятностей, характеризуется неизменным комплексом условий, сопутствующих каждому эксперименту, а также возможностью многократного повторения эксперимента при этих неизменных условиях.

Определение 1.2. Событие - это объективное явление, зафиксированное в испытании, то есть результат испытания.

Если испытания, в которых фиксируется событие, проводятся многократно, то говорят о серии испытаний.

Пример 1.2. Событиями являются: выпадение определённого числа очков при бросании игральной кости; попадание в мишень при одном выстреле по ней; замер атмосферного давления в 744 мм. ртутного столба и т.д.

События обозначаются большими буквами латинского алфавита . Часто события обозначают так:

.

Результаты опыта могут быть:

1) детерминированными в том смысле, что условия проведения опыта его результат определяются однозначно;

2) случайными в том смысле, что при неизменном комплексе условий проведения эксперимента его результат невозможно предсказать заранее.

Определение 1.3. Случайным событием называется непредсказуемый результат эксперимента.

При построении математической модели эксперимента в классической теории вероятностей предполагается, что до осуществления эксперимента (априори) известно множество всех возможных его результатов, или как говорят - множество всех его исходов.

Часто на основе интуиции можно судить об объективной возможности появления того или иного события: для некоторых событий возможность их появления «больше», для других «меньше».

Пример 1.3. Пусть испытание - однократное бросание игральной кости. Множество всех исходов - это выпадение чисел от 1 до 6. Рассмотрим два события:

{выпадение числа 3}, {выпадение чётного числа}.

На игральной кости число 3 одно, а чётных чисел - три, именно 2, 4, 6. Поэтому интуитивно кажется естественным, что “событие более возможно, чем событие ”.

Пусть некоторое случайное событие является одним из возможных результатов (исходов) испытания. Предположим, что в серии из испытаний данное событие появляется раз.

Определение 1.4. Величины и

(1.1)

называются, соответственно, абсолютной и относительной частотами появления случайного события в серии из испытаний.

Очевидно, что относительная частота появления некоторого случайного события , вообще говоря, зависит от числа испытаний в данной серии. Однако экспериментально подтверждённым фактом является следующее свойство относительной частоты: при наблюдении за появлением некоторого события в достаточно длинных сериях испытаний относительная частота стабилизируется, то есть принимает приблизительно одни и те же значения. Основываясь на этом факте, относительную частоту можно принять за объективную меру статистической закономерности появления случайного события в достаточно большой серии из испытаний.

Определение 1.5. Число , в окрестности которого группируются значения относительной частоты появления случайного события в различных больших сериях испытаний, называется вероятностью события .

Определение 1.5 даёт так называемое статистическое определение вероятности случайного события.

Подсчёт вероятности случайного события на основе статистического её определения 1.5 часто бывает затруднительным, так как требует проведения весьма дорогостоящих модельных или натурных экспериментов. Иногда в простых, «чистых» экспериментах, типа азартных игр, удаётся непосредственно подсчитать вероятность некоторого случайного события.

Пример 1.4. Пусть испытание - однократное бросание монеты. Если монета идеальна, то есть, является абсолютно однородной, уравновешенной и имеет форму правильного круга, то интуитивно понятно, что при неизменных условиях её бросания герб и цифра в достаточно длинной серии испытаний выпадут приблизительно одинаковое число раз. Таким образом, если произведено испытаний и абсолютные частоты событий

, (1.2)

соответственно равны и , причём , то относительные частоты этих событий тоже приблизительно равны: . Ясно, что в силу равенства получаем . Поэтому по определению 1.5 за вероятности событий и следует принять соответствующие значения относительных частот появления этих событий, которые в данном примере равны между собой, и имеют одно и то же численное значение .

Дадим некоторые определения, которые легко проинтерпретировать на рассмотренном примере.

Определение 1.6. События, составляющие множество всех возможных исходов некоторого эксперимента, называются элементарными событиями, а само множество всех возможных исходов (результатов) эксперимента называется пространством элементарных событий.

Пространство элементарных событий обычно обозначается буквой .

Так, множество элементарных событий в примере 1.4 включает в себя события (1.2). статистический событие диаграмма вероятность

На элементарные события накладывают следующие условия:

1) элементарные события несовместимы, то есть никакие два из них не могут произойти одновременно;

2) элементарные события образуют полную группу, то есть в данном испытании обязательно происходит одно из них;

3) элементарные события неразложимы, то есть не могут быть представлены в виде комбинации других событий.

В примере 1.4 элементарные события и образуют полную группу, так как в результате бросания монеты обязательно происходит одно из них. Причём события и несовместимы, то есть не могут произойти одновременно. И, наконец, оба элементарных события из рассмотренного примера неразложимы (нет более простых событий, из которых можно каким-либо образом скомбинировать данные события).

Определение 1.7. Если появление элементарного события влечёт за собой появление некоторого случайного события , то это элементарное событие называется благоприятствующим случайному событию .

В примере 1.4 событию , равно как и событию , соответствует по одному благоприятствующему элементарному событию.

Из определения 1.4 очевидным образом следуют свойства относительной частоты появления события .

1) Относительная частота появления события не может быть отрицательной или превосходить единицу:

. (1.3)

2) Если событие - есть появление любого результата из множества априори возможных результатов эксперимента, то и

. (1.4)

3) Если и - несовместимые события, а и - их абсолютные частоты, то абсолютная частота появления события или равна и, следовательно,

. (1.5)

На основе определения 1.5 свойства относительной частоты переносят и на вероятность случайного события.

Алгебра событий. Для того чтобы выяснить, как связаны между собой различные события, начнём с рассмотрения примера.

Пример 1.5. Пусть производится испытание, состоящее в однократном бросании игральной кости. Пространство элементарных событий включает в себя следующие события:

,

,

,

,

,

.

Рассмотрим событие

{выпало чётное число очков}.

Этому событию благоприятствуют элементарные события , которые составляют подмножество множества элементарных событий :

.

Появление любого события из подмножества влечёт за собой появление события . Причём, для появления события нужно, чтобы произошло или , или , или .

Рассмотрим, теперь, событие {выпало 6 очков}. Это событие происходит, если одновременно выпало чётное число очков и выпало 6 очков.

На основе приведённого примера становится очевидной связь между теорией множеств и теорией вероятностей: каждому элементарному событию сопоставляется элемент множества (пространства) всех элементарных событий , а каждому случайному событию соответствует некоторое подмножество элементов множества (пространства) элементарных событий .

Следовательно, мы можем дать такое определение случайного события.

Определение 1.8. Подмножества множества элементарных событий называются случайными событиями.

Из определения 1.8 следует определение двух весьма важных для теории вероятностей понятий.

Определение 1.9. Событие, которое не содержит ни одного элемента пространства элементарных событий, называется невозможным событием.

Так как невозможному событию в рассматриваемом эксперименте не благоприятствует ни один элемент пространства элементарных событий , то это событие в данном эксперименте не происходит. Невозможное событие, как подмножество множества , не содержит элементов , то есть является пустым множеством. Для невозможного события используется обычное для теории множеств обозначение .

Пример 1.6. Примером невозможного события является выпадение 10 очков при однократном бросании игральной кости.

Определение 1.10. Событие, состоящее из всех элементов пространства элементарных событий, называется достоверным событием.

Ясно, что в данном эксперименте достоверное событие независимо от исхода эксперимента происходит всегда.

Пример 1.7. Примером достоверного события является выпадение одного из чисел от 1 до 6 при однократном бросании игральной кости.

Пусть событиям и соответствуют некоторые подмножества пространства элементарных событий . Тогда проводя аналогию с теорией множеств, можем ввести операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) событий.

Определение 1.11. Объединением (суммой) событий и называется событие , состоящее в появлении или события , или события , или обоих вместе (то есть, по крайней мере, одного из них).

Из определения следует, что если событию в пространстве элементарных событий соответствует подмножество , а событию - подмножество , то объединению этих событий - обозначение , в пространстве элементарных событий соответствует объединение подмножеств . Объединение событий обозначается ещё .

Пример 1.8. Пусть испытание состоит в изъятии из колоды в 36 карт одной карты. Предположим, что производится серия из двух испытаний. Рассмотрим два события:

{появление карты пиковой масти},

{появление карты крестовой масти}.

Событию в пространстве событий из 36 карт соответствует 9 элементарных событий - карты пиковой масти, событию также соответствуют 9 элементарных событий - карты крестовой масти. Объединению, или сумме событий и , в пространстве событий соответствует теперь 18 элементов - карты чёрной масти:

{появление карты чёрной масти, безразлично - пиковой или крестовой}.

Операция объединения событий обобщается на совокупность событий.

Определение 1.12. Объединением (суммой) совокупности событий называется событие , состоящее в появлении, по крайней мере, одного из этих событий.

Сумма событий обозначается ещё так: .

Пример 1.9. Пусть производится серия из пяти выстрелов по мишени. В результате могут произойти следующие события:

{ни одного попадания},

{произошло одно попадание},

{произошло два попадания},

{произошло пять попаданий}.

Тогда, например, имеем:

{происходит не более двух попаданий};

{происходит не менее двух и не более четырёх попаданий}.

Аналогично вводится и понятие пересечения или произведения событий.

Определение 1.13. Пересечением (произведением) событий и называется событие , состоящее в появлении, как события , так и события .

Из определения следует, что если событию в пространстве элементарных событий соответствует подмножество , а событию - подмножество , то пересечению (произведению) этих событий, которое обозначается , в пространстве элементарных событий соответствует пересечение подмножеств .

Пример 1.10. Пусть испытание - однократное бросание игральной кости. Рассмотрим события:

{выпадение чётного числа очков},

{выпадение числа очков, делящегося на 3}.

Тогда пересечение этих событий

{выпадение 6 очков}.

Определение 1.14. Пересечением (произведением) событий совокупности называется событие , состоящее в одновременном появлении всех событий совокупности.

Пример 1.11. Пусть производится серия из трёх выстрелов по цели и рассматривается событие, состоящее в попадании в мишень. Тогда пространство элементарных событий состоит из следующих элементов:

{попадание при первом выстреле},

{промах при первом выстреле},

{попадание при втором выстреле},

{промах при втором выстреле},

{попадание при третьем выстреле},

{промах при третьем выстреле}.

Рассмотрим событие

{в результате данных трёх выстрелов имеется ровно одно попадание}.

Событие можно представить в виде

.

Для события

{в результате серии из трёх выстрелов произойдут не менее двух попаданий} получаем:

.

Определение 1.15. События и называются несовместимыми, если их пересечение (произведение) пусто, то есть

.

События несовместимы в совокупности, если все они несовместимы между собой попарно.

Определение 1.16. Несовместимые события образуют полную группу событий, если их объединение является достоверным событием, то есть

, , .

Таким образом, в данном испытании обязательно появляется одно из событий, входящих в полную группу событий.

Определение 1.17. Событие называется противоположным событию , если оно состоит из элементов пространства , не принадлежащих .

Итак, если событию в пространстве элементарных событий соответствует подмножество , а событию - подмножество , то

, .

Противоположные события несовместимы и одно из них происходит обязательно, следовательно, они образуют полную группу событий.

Пример 1.12. Пусть испытание состоит в однократном бросании монеты. Тогда возможны следующие события:

,.

Очевидно, что эти события несовместимы и одно из них происходит обязательно, следовательно, они противоположны.

Понятно, что если событие произошло, то событие не произошло. Наконец ясно, что высказывание «событие влечёт за собой событие » равносильно тому, что для соответствующих множеств выполняется включение .

События обладают свойствами, которые легко получаются из соответствующих свойств множеств. Например:

1) ; 2) ; 3) .

Определение 1.18. Система подмножеств множества называется алгеброй , если

1) , 2) , 3) Если , то .

Итак, в теории вероятностей событиям соответствуют множества - элементы определённой выше алгебры. Для интерпретации операций над событиями естественным образом применимы графические диаграммы Эйлера из теории множеств.

Размещено на Allbest.ru