Способи перетворення проекцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З курсу «Нарисна геометрія»

Розділ «Способи перетворення проекцій»

ХАРКІВ 2002



Л.М. Чередниченко, В.В. Пальченко. Конспект лекцій з курсу "Нарисна геометрія", Розділ «Способи перетворення проекцій». - Харків: ХДТУБА, 2002. - 24 с.

У конспекті лекцій розглянуто теоретичні положення курсу нарисної геометрії, які необхідні при побудові метричних та позиційних задач.

Наявність конспекту лекцій, в якому систематизовано матеріал теми, наведено необхідні креслення для подальшого графічного розв'язання задач, допомагає студентам .

Рецензенти: доц., канд.техн.наук, зав. кафедрою Архітектурного проектування (ХДТУБА), О.Б.Василенко.

доц., канд.техн.наук, зав. кафедрою Графіки (ХДТУБА), О.О.Печерцев.

Затверджено методичною радою університету

Протокол № 5 від 25.04.2002 р.

Рекомендовано кафедрою Графіки

Протокол № 9 від 22.02.2002 р.

©Харківський державний технічний

університет будівництва та архітектури, 2002 р.



Лекція 1. Способи перетворення проекцій

проекція обертання фігура плоскопаралельний

Розв'язання метричних (від грецького "metreo"-метрон-міра) та деяких позиційних (від латинського "posicio"-положення) задач виконується найпростішими графічними способами, якщо геометричні елементи об'єкта проецювання знаходяться в окремому положенні. Це, перш за все, стосується прямих ліній, площин та поверхонь.

Способи перетворення проекцій дають можливість змінювати взаємне розташування об'єкта проецювання та площин проекцій.

Основним завданням перетворення є приведення прямих та площин загального положення в окреме положення (паралельне, проецююче). Тому, розв'язання позиційних та метричних задач вимагає побудови нових, додаткових проекцій, при наявності двох заданих за допомогою графічних способів перетворення. Ці способи ґрунтуються на двох основних принципах.

Першим принципом являється зміна взаємного положення об'єкта проецювання та площин проекцій.

Цієї зміни можна досягти за допомогою двох способів:

– перший, спосіб заміни площин проекцій, при якому об'єкт проецювання є нерухомим, змінюється лише положення площин проекцій, вводяться додаткові площини проекцій;

– другий, спосіб обертання та окремий його випадок - спосіб суміщення, при якому площини проекцій є нерухомими, змінюється лише положення об'єкта проецювання.

Другим принципом являється принцип зміни напряму проецювання. На цьому принципі базується спосіб допоміжного проецювання, який має два різновиди - прямокутне та косокутне допоміжне проецювання. Останній різновид використовують, переважно, для розв'язання позиційних задач.

Заміна площин проекцій.

Сутність способу полягає в тому, що одна з площин проекцій змінюється на нову, яка разом з попередньою дає додаткову систему площин проекцій, у якій нерухомий об'єкт проецювання буде знаходитись у більш зручному положенні для виконання потрібної побудови.

На рис. 1 наведено схему заміни фронтальної площини проекцій П2 на П4. У просторі маємо точку А. У системі площин проекцій П1П2, проекції точки А - А1 і А2. Площина П1 залишається незмінною, а П2 змінюється на нову - П4, перпендикулярну до П1. Побудовані ортогональні проекції А1, А4 точки А у системі площин П1П4. Лінією перетину П1 і П4- двох взаємно перпендикулярних площин, є вісь Х14.

Слід мати на увазі, що проецювання є ортогональним, тому відстань А2 від осі Х12 буде дорівнювати відстані А4 до осі Х14 (координата Z точки А залишається незмінною).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для одержання комплексного креслення площина П4 суміщається з площиною П1 за допомогою обертання навколо осі Х14.

Перетворення точки на комплексному кресленні розглянуто на рис. 2. Положення площини П4 характеризується розташуванням осі Х14. Лінія проекційного зв'язку А1А4 перпендикулярна осі Х14.



Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 3 наведено перетворення комплексного креслення точки В, при якому фронтальна площина П2 залишається незмінною, а П1 замінюється на П5. Положення площини П5 визначає вісь Х25. Лінія проекційного зв'язку В2В5 є перпендикулярною осі Х25, а відстань В5 від осі Х25 дорівнює відстані В1 від осі Х12.

Таким чином, заміну площин проекцій можна виконувати декілька разів, але одночасно можна замінити лише одну площину, так як заміну проводять послідовно: спочатку замінюють одну площину проекцій на нову, додаткову, на якій будують нову проекцію об'єкта проецювання, а потім площину, що залишилася незмінною, замінюють на іншу, нову, а також, будують нову проекцію об'єкта.

Розглянемо вирішення основних задач, які використовують при розв'язанні метричних та позиційних задач найпростішими графічними способами.

Пряму загального положення перетворити на пряму рівня (рис. 4).

Маємо комплексне креслення прямої загального положення АВ в системі площин проекцій П1П2. Для перетворення прямої в пряму рівня, треба замінити одну з площин проекцій П1, П2 на іншу - П4, яку розташуємо паралельно прямій АВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сама пряма у просторі залишається незмінною. Так, на рис. 4 незмінною залишається площина П1, а П2 замінюється новою - П4, перпендикулярною П1 і паралельною АВ. Розташування у просторі П4 характеризується на кресленні віссю Х14, яку проводимо паралельно горизонтальній проекції А1В1 на довільній відстані від неї.

Для побудови проекції А4В4 необхідно через горизонтальні проекції точок А і В перпендикулярно Х14 провести лінії проекційного зв'язку (А1А4, В1В4), на яких потрібно визначити проекції А4, В4, пам'ятаючи, що їх відстань від Х14 буде рівною відстані А2В2 від осі Х12.

У системі площин П1П4 пряма АВ стає прямою рівня. Така пряма на П4 проецюється у свою натуральну величину. Одночасно маємо величину кута нахилу прямої АВ до площини проекцій П1.

Це перетворення можна виконати, залишаючи незмінною площину проекцій П2, та замінюючи горизонтальну площину проекцій П1 на нову - П5, яку вибирають перпендикулярною до П2 та паралельною відрізку прямої АВ (рис. 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нова вісь проекцій Х25 паралельна фронтальній проекції А2В2. Пряма АВ в системі П2П5 буде прямою рівня.

Як і в попередньому прикладі, пряма АВ на площину П5 проецюється без спотворення. Одночасно знайдено величину кута ? - кута нахилу відрізка АВ до площини проекцій П2.

Пряму загального положення перетворити на проецюючу.



Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 6 наведено приклад перетворення прямої АВ на проецюючу, завдяки подвійній заміні площин проекцій П1 та П2 на додаткові П4 та П5.

Спочатку пряма в системі П1П4 перетво-рюється на пряму рів-ня, а потім у системі П4П5 - на проецюючу. Тому, вісь Х14 проводимо паралельно А1В1, а вісь Х45 - перпендикулярно А4В4. При цьому АВ спроецюється на П5 у точку А5В5. Це означає, що пряма АВ у новій системі площин проекцій П4П5 перпендикулярна до площини П5.

Площину загального положення перетворити на проецюючу.

На рис. 7 зображені проекції площини загального положення, яка задана трикутником АВС.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Якщо пряма h площини АВС перпен-дикулярна до площини проекцій, то й сама площина АВС буде перпендикулярною (проецюючою) до цієї площини проекцій. Тому П2 замінюємо на П4, перпендикулярну h1. Вісь Х14, у цьому випадку, буде перпен-дикулярною до h1. Площина П4 буде перпендикулярною до площини трикутника АВС. Проекцією 4 площини АВС на П4 буде пряма С4А4В4.

Кут ? визначає кут нахилу площини трикутника АВС до П1. При перетворенні площини загального положення у проецюючу треба незмінною залишити П2, а П1 замінити на П4, перпендикулярну до її фронталі.

Площина (fh) (рис.8) задана горизонталлю та фронталлю, що перетинаються. Тому в цьому випадку вісь Х24 буде перпендикулярною f2, а сама площина - перпендикулярною до П4. Кут між проекцією площини 4 та віссю Х24 визначає кут нахилу площини до П2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Перетворити площину загального положення на площину рівня (паралельну). На рис. 9 площина задана трикутником АВС. Для перетворення її на площину рівня треба виконати подвійну заміну.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Спочатку в системі П1П4 площина АВС перетворюється на проецюючу А4В4С4. Вісь Х14 (горизонтальна проекція П4) буде перпендикулярною горизонталі h1 трикутника АВС. Потім П1 замінюємо на П5, паралельну трикутнику. Вісь Х45 (проекція П5 на П4) у цьому випадку буде паралельною С4А4В4, а сама площина АВС у системі П4П5 перетвориться на площину рівня.

Таким чином, трикутник спроецювався на площину П5 без спотворення.

Для перетворення площини загального положення, замість розглянутої, на площину рівня, можна використати подвійну заміну площин П1 на П4, та П2 на П5.

Спосіб обертання.

Цей спосіб полягає в тому, що об'єкт проецювання за допомогою обертання навколо деякої осі займає відносно нерухомих площин проекцій положення більш зручне для розв'язання задач.

Усі точки об'єкта проецювання при обертанні навколо лінії, що приймається за вісь обертання, переміщуються по дугах кола. Ці дуги лежать у площинах, що перпендикулярні до осі обертання. За допомогою цього способу також є можливість вирішення чотирьох основних задач перетворення.

Обертання навколо осей, перпендикулярних до площин проекцій.

На рис. 10 наведено схему обертання точки А навколо осі обертання "і", перпендикулярної П1.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Площина ? ( ?2) обертання точки А, у цьому випадку, буде паралельною П1, а тому, коло обертання радіуса R на П1 проецюється без спотворення.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При обертанні точки А (А1, А2) на якийсь кут навколо вісі "і" її новими проекціями будуть А'1, А'2.

На рис. 11 зображено перетворення прямої загального положення на пряму рівня. Такого положення можна досягти обертаючи відрізок АВ навколо осі "і", перпендикулярної, наприклад, до П1. Всі точки прямої обертаються на один і той же кут в площинах перпендикулярних осі, а тому в площинах горизонтальних.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кут нахилу прямої до П1 під час обертання залишається незмінним, тому нове положення (А'1В'1) відрізка АВ, коли він буде паралельним П2, за величиною буде рівним проекції А1В1.

Щоб повернути пряму, достатньо повернути дві її точки. Точка В відрізка буде нерухомою, так як належить осі обертання.

На рис. 12 наведено обертання прямої АВ навколо осі "і", яка не проходить через кінець В відрізка.

У цьому випадку доцільно, перш за все, обертати точку С, радіус R якої буде найменшим, а пряма А1В1 буде дотичною до кола обертання точки С.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Якщо потрібно пряму АВ загального положення перетворити на пряму рівня, то її горизонтальна проекція А1В1 під час обертання повинна зайняти положення (А'1В'1) паралельне осі Х. У цьому разі радіус R буде перпендикулярним осі Х.

Проекцію А'1В'1 визначимо завдяки постійній величині горизонтальної проекції. Відповідну нову фронтальну проекцію А'2В'2 визначимо за допомогою ліній проекційного зв'язку.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Для вирішення другої основної задачі (рис. 13) по перетворенню прямої загального положення на проецюючу, необхідно використати подвійне обертання відрізка прямої, спочатку обертанням навколо осі "і" до положення, паралельного П2, а потім навколо осі "О" до проецюючого площині П1.

За допомогою способу обертання площину загального положення перетворити на проецюючу. Вирішення цієї задачі наведено на рис. 14 на прикладі трикутника АВС.

При обертанні плоскої фігури навколо осі, перпендикулярної одній із площин проекцій (наприклад П1), нахил фігури до даної площини проекцій залишається незмінним.

Тому проекції фігури на цій площині проекцій під час обертання, однакові за величиною (?А1В1С1 = ? А'1В'1С'1), змінюється лише їх розташування.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Перетворення площини загального положення на площину рівня виконується подвійним обертанням навколо осі "і" до положення проецюючого, а потім навколо осі "0" до положення рівня (, )(рис. 15).

Обертання навколо ліній рівня.

Крім обертання навколо осей, перпендикулярних площинам проекцій, користуються обертанням навколо ліній рівня площин, якщо треба площину загального положення перетворити на площину рівня.

Це буває потрібно при визначенні натуральних розмірів плоских фігур. У довільній площині завжди можна вибрати одну з безлічі головних ліній, а потім обернути навколо цієї лінії задану площину до такого положення, щоб площина стала паралельною площині проекцій.

На рис. 16 зображено площину ? (fh) загального положення, задану слідами. Для визначення величини плоского кута, що утворюється в просторі між слідами площини, виконано суміщення відсіку площини з площиною П1 (обертання площини навколо горизонталі "h").

Размещено на http://www.allbest.ru/

Віссю обертання у даному випадку служить горизонталь-ний слід площини - h1.

Для знаходження суміще-ного фронтального сліду, на ньому вибирають довільну точку А, яка при обертанні навколо горизонтального сліду h1, рухатиметься у вертикальній площині, перпендикулярній до h1. При цьому відстань від точки А до точки збігу слідів площини збережеться, що дозволить з точки збігу слідів провести дугу кола до перетину в точці А'2 з площиною траєкторії горизонтальної проекції точки. Суміщений фронтальний слід f '2 пройде через точку збігу слідів і знайдену точку А'2.

Спосіб плоскопаралельного переміщення.

Якщо при способі заміни площин проекцій геометричні фігури залишають на місці, а до них, певним чином, підбирають площини проекцій, то при способі плоскопаралельного переміщення роблять навпаки: площини проекцій П1 і П2 залишають незмінними, а геометричні образи (фігури) переміщують певним чином.

На рис. 10 було наведено обертання точки А навколо осі "і", перпендикулярної П1. На протязі всього обертання точка А переміщується в площині ?(?2), паралельній П1, та перпендикулярній до осі "і". Такі перетворення можна виконати і без зафіксованих осей, перпендикулярних площинам проекцій.

Так, на рис. 17 наведено плоскопаралельне переміщення точки А в площині рівня ? (?2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Яке б положення не займала при переміщенні точка А, її фронтальні проекції завжди співпадають з проекцією ?2.

Спосіб плоскопаралельного переміщення є обертанням навколо невиявлених осей, перпендикулярних до П1 і П2. Відповідно до цього виконується рішення основних задач перетворення. Так, на рис. 18 наведено переміщення прямої АВ в площинах ?, Г (для точок А, В), паралельних П1, до положення паралельного П2. При цьому А1В1 = А'1В'1. Потім пряма АВ з положення рівня переміщена в площині Т(Т1) до проецюючого до П1 положення. Інші типові задачі виконуються аналогічно.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Приклади розв'язання метричних та позиційних задач за допомогою способів перетворення проекцій.

Визначити відстань точки А від площини загального положення ? (ab).

Рішення задачі наведено на рис. 19.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Площина ? (ab) заміною П2 на П4, яка перпендикулярна прямій "а", перетворюється на П4 на площину проецюючу (?4). Шукана відстань A4R4 визначається на П4, проведенням прямої A4R4 ?4. Її горизонтальна проекція A1R1 паралельна осі Х14.

Визначити відстань точки А до прямої ВС загального положення (рис 20).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ця відстань (АR) на кресленні визначається (А5R5) на площині П5, до якої пряма ВС буде проецюючою.

У системі П2П1 ця відстань (перпендикуляр з точки А на пряму ВС) визначиться зворотним ходом. При цьому A4R4 завжди паралельна Х45, так як перпендикуляр A5R5 є горизонтальною прямою.

Визначити відстань між мимобіжними прямими АВ і CD.

Розв'язання задачі виконано на рис. 21 способом заміни площин проекцій. Заміна площин виконується відносно перетворення на П5 прямої АВ на проецюючу. Пряма CD під час перетворення замінюється прямою загального положення.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Відстань між мимобіжними прямими характеризується найкоротшою відстанню між двома (К, R) точками цих прямих. На площині П5 (К5R5) це перпендикуляр з А5В5 на С5D5. Проекція К4R4 є паралельною осі Х45.

Визначити кут між прямими "a, b", які перетинаються (рис.22), подвійною заміною.

Площину АКВ перетворюємо на площину рівня відносно площини проекцій П5. А тому, шуканий кут між прямими спроецюється на П5 без спотворення. Це кут В5К5А5.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити кут між прямою "а" та площиною загального положення ?.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кут між прямою і площиною вимірюється кутом ? (рис. 23) між прямою і її проекцією на цю площину.

У трикутнику АКВ кут ? при вершині А доповнює кут ? до 90?. Тому простіше знайти доповнюючий кут ? між прямою "а" і перпендикуляром "d" з будь-якої точки прямої на площину ?.

На рис. 24 це кут між прямими "а" і "b" при вершині А.

Перетворюючи проекції цього кута (площини) до положення, паралельного площині П5, визначимо дійсну величину кута ?. Шуканий же кут ? буде рівний 90? - ?.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити двогранний кут між площинами ? (АВС) і (BCD).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Цей кут вимірюється лінійним кутом, одержаним у результаті перетину двогранного кута площиною, перпендикулярною до його ребра.

На рис. 24, а ці дві площини вже мають лінію перетину. Це спільна пряма ВС - ребро двогранного кута. Тому, перетворивши креслення таким чином, щоб ребро ВС стало проецюючим, маємо величину лінійного кута .

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

У деяких випадках, коли не визначене ребро двогранного кута, задача вирішується значно прості-ше, якщо визначити спочатку кут, що знахо-диться між перпендику-лярами "а" і "b" (рис. 24, б), опущеними з довільної точки К на задані площини. Кут між перпендикулярами "а" і "b" доповнює шуканий кут до 180?.

На рис. 24, в наведено приклад визначення двогранного кута між площинами ? (fh) і Т (mn). Доповнюючий кут ? визначається у трикутнику КАВ, сторони якого (КА і КВ), перпендикулярні до заданих площин ? і Т. Спочатку визначаємо величину цього кута, а потім дійсного кута , доповнюючи кут ? до 90?.

Визначити точки (К, R) перетину прямої АВ з поверхнею сфери (рис. 25).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рішення буде графічно точнішим, якщо посередник ?, проведений через пряму АВ, перетне сферу по кривій "а", одна з проекцій якої - коло. Для цього треба перетворити проекції так, щоб пряма АВ стала прямою рівня.

Визначення проекцій та величини перерізу конуса площиною ? (аb) (рис. 26).

Замінивши площину П2 на П4 так, щоб площина перерізу ? стала проецюючою (?4), будемо мати на П4 одну проекцію лінії перерізу. Вона буде співпадати з проекцією площини ?4.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Зворотним ходом визначаються проекції перерізу на П1, а потім на П2. Для знаходження дійсної величини плоскої фігури перерізу, виконується заміна П1 на П5, паралельну площині перерізу.

Усі наведені приклади виконані способом заміни площин проекцій. Але вони можуть бути виконані також і іншими способами перетворення проекцій, які були розглянуті раніше.



ЛІТЕРАТУРА

1. В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко, Нарисна геометрія, К., НМКВО, 1991

2. В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко, Нарисна геометрія, К., "Вища школа", 1993

Размещено на Allbest.ur

...