Матрицы и их свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Глава 1. Линейная алгебра

§1. Матрицы. Общие понятия

Опр. Матрицей А размера называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов.

Обозначения:

Amxn; A=( ai j ),

где ai j - элемент матрицы;

i=1,…,m - номер строки (i=);

j=1,…,n - номер столбца (j=).

Замечание. Будем рассматривать числовые матрицы. Если aij - функции (или векторы), то имеем функциональную (векторную) матрицу.

Если m n , то матрица называется прямоугольной.

Если m=n , то матрица называется квадратной.

- квадратная матрица порядка n.

Если m=1, то матрица состоит из 1-ой строки

(а1 , а2 ,…, аn) - матрица-строка.

Если n=1, то матрица состоит из 1-го столбца

 - матрица-столбец.

Примеры:

- прямоугольная матрица размером 3х4;

- квадратная матрица 2-го порядка;

- матрица-строка 1х4;

- матрица-столбец 3х1.

Опр. Матрица, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы и наоборот называется транспонированной и обозначается АT.

Если А= , то А называется симметричной.

Виды квадратных матриц (частные случаи):

1) Квадратная матрица, у которой все элементы aij=0, называется нулевой матрицей

.

2) Квадратная матрица вида:

- называется диагональной.

3) Если 1=2=…..=n =1 то получим матрицу

- которая называется единичной.

4) Квадратные матрицы вида

-

- называются матрицами треугольного вида (А-верхняя треугольная матрица, В-нижняя треугольная матрица.)

§2. Равенство матриц. Действия над матрицами

I.Равенство матриц

Опр. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

А=В, если .

II.Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Опр. Суммой двух матриц А=(аij) и В=(bij) называется матрица С=(сij), у которой

сij=aij+bij,

где i=1,…,m ; j=1,…,n.

Пример 2.1

Пример 2.2



В частности, если В - нулевая матрица, то А+0=А.

Аналогично определяется разность матриц.

Пример 2.3

Сложение матриц обладает свойствами:

1)А+В=В+А (переместительный закон)

2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)

3)Для любых матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица Х такая, что А+Х=В.

Матрица Х=В-А - разность матриц. В частности, уравнение

А+Х=0 имеет единственное решение Х=0-А или Х=-А - матрица, противоположная А.

-А = (-аij).

III.Умножение матрицы на число

Опр. Произведением матрицы А=(аij) на число к с R называется матрица кА = (каij), где i=1,…,m ; j=1,…,n

Свойства

1) ; ; , где 0 - число, О - нулевая матрица

2)

3)

4)

Пример 2.4. . Найти 2А+Е, где Е - единичная матрица второго порядка.

Решение:

IV. Умножение двух матриц

Даны матрицы: (m строк, n столбцов)

(n строк, p столбцов)

Найдем произведение

Опр. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е.

.

,

где .

Произведениеосуществимо только в случае, когда А имеет число столбцов равное числу строк В.

Итоговая матрица имеет число строк, равное числу строк А и число столбцов, равное числу столбцов В.

В частности:

.

Пример 2.6

Найти

Решение:

В общем случае

(Если , то матрицы А и В называются коммутативными).

Свойства

1)

2)

3) ;

4) AE = EA = A, где А - квадратная матрица.

V. Умножение матрицы на матрицу-столбец.

Дано: ;

Найти:

==

Пример 2.10

; Х =. Найти .

Решение:

.

Пусть А - квадратная матрица

 или

При умножении квадратной матрицы на матрицу-столбец получается матрица-столбец той же высоты.

§3. Определители

I. Определения определителей второго и третьего порядков

Понятие определителя матрицы вводится только для квадратных матриц. Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие выражение (число), которое называется определителем или детерминантом матрицы и обозначается или или det A.

Опр. Определителем второго порядка называют выражение (число)

Числа а11, а12, а21, а22 называют элементами определителя, элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а12, а21 - побочную.

Пример 3.1

Опр. Определителем третьего порядка называют выражение (число)



Числа аij, i=1,2,3; j=1,2,3 - элементы определителя, элементы а11, а22, а33 образуют главную диагональ, а элементы а13, а22, а31- побочную диагональ.

Пример 3.3

II. Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)

1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется (при транспонировании матрицы ее определитель не меняется)

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например:

3. Если в определителе имеются две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.

Доказательство: коэффициент пропорциональности выносим за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), по свойству 3 определитель равен нулю.

7. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то величина определителя не изменится.

III. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)

Рассмотрим определитель третьего порядка

.

Если из определителя вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых находится некоторый элемент аij, то получим определитель второго порядка, который называется минором определителя , соответствующим элементу аij и обозначается Mij.

Например,

,

Опр. Алгебраическим дополнением элемента аij называется минор этого элемента, умноженный на и обозначается Аij.

Пример:

,

Итак, если i+j - четно, то , если i+j - нечетно, то .

Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя по первой строке:

Замечание. Знаки, которые приписываются минору соответствующего элемента определителя:

Пример 3.5

Замечание. Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения, а также теорема разложения, сформулированная для определителя третьего порядка.

Например:

где и т.д.

§4. Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратной матрицы. Если А - квадратная матрица порядка n, то обратной для нее называется

матрица А, удовлетворяющая условию

(1)

где Е - единичная матрица порядка n.

Можно доказать, что

(1)

Опр. Если , то матрица называется невырожденной, если , то вырожденной.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Без доказательства.

Правило нахождения обратной матрицы.

Дана квадратная невырожденная матрица

1)Найти определитель матрицы А

2)Найти алгебраические дополнения А всех элементов определителя матрицы А, составить из них матрицу и транспонировать ее

3)Умножить эту матрицу на , в итоге получим обратную матрицу

Пример 4.1

; Найти .

Решение: , значит существует обратная матрица A-1.

где - алгебраическое дополнение ,

- минор .

.

Проверка:

Пример 4.2 Найти A-1. Ответ:

§5. Ранг матрицы

I. Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

Выделим из этой матрицы произвольные k строк и k столбцов. Получим квадратную матрицу k-го порядка.

Опр. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов. Обозначается

Замечание. Матрица имеет миноров k -го порядка.

Опр. Рангом матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначается r (A); rang A; rg A.

Итак, ранг матрицы А равен r, т.е r(A)=r, означает, что в матрице А есть минор порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка больше r, равен нулю

.

II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называется

1. перестановка строк (столбцов) матрицы; транспонирование матрицы.

2. умножение строки (столбца) на число k0.

3. прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

4. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

Матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными: А ~ С.

Можно доказать, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга:

Если A~C, то r(A) = r(C).

Данный вывод используется при вычислении ранга матрицы. Данная матрица А преобразуется в эквивалентную матрицуступенчатого вида:

,

где С, ,

Можно доказать, что r(С) = r r(А) = r.

Пример 5.1 Найти r(A) с помощью элементарных преобразований

III. Базисный минор.

Пусть ранг матрицы А равен r: r(A)=r. Всякий отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Строки и столбцы выбранного базисного минора называются базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров.

§6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

A= - матрица системы, X= - матрица-столбец неизвестных, B= - матрица-столбец свободных членов.

() - запись системы в матричном виде.

Если , то система называется однородной.

Если , то система называется неоднородной.

Опр. Решением системы называется всякая совокупность n чисел х1…, хn, которая будучи подставлена в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной. Если решение единственное, то система называется определенной, если более одного решения, то неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Рассмотрим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А = - матрица системы

Дополним ее столбцом свободных членов

= - расширенная матрица.

Теорема Кронекера-Капелли.

(Л.Кронекер 1823-1891г. Немецкий математик.

А.Капелли 1855-1910г. Итальянский математик).

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Система совместна r (A) = r(). Без доказательства.

Следствие. Если r(A) система несовместна.

 r(A)=r - ранг матрицы системы

r() - ранг расширенной матрицы

n - число неизвестных

r(A) = r() = r r(A)

система совместна система несовместна,

нет решений

r=n

единственное бесконечное

решение множество

решений

r - базисн. неизв.

(n-r) - своб. неизв.

Пример 6.1

Исследовать систему уравнений. В случае совместности решить

Ответ: Система совместна и имеет бесконечное множество решений вида:

, , где

Пример 6.2

Исследовать систему

Ответ: Система несовместна (нет решений)

Пример 6.3

Исследовать и решить систему уравнений.

Ответ: Система совместна и имеет единственное решение , ,

§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

матрица столбец определитель уравнение

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.

(1)

Обозначим: - матрица системы,

- матрица-столбец неизвестных, -

Найдем .

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

(2) - матричная запись системы линейных уравнений.

Найдем решение этого матричного уравнения. Пусть А - невырожденная матрица, т.е. , значит . Умножим обе части (2) на

.

Поскольку , то .

EX= X, значит

(3)

- решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.



Решение:

- матричная запись системы.

- решение системы.

Пример 7.2

Ответ:

II. Правило Крамера



- определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

, , - определители, полученные из путем замены соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы, то система имеет единственное решение: , , - формулы Крамера;

2. , или , или , то система не имеет решений;

3. , , то система или не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. , то система имеет единственное решение: , ;

2. , или , то система не имеет решений;

3. , , то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Матрицу системы и расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований можно свести или к треугольному виду или к ступенчатому виду.

(1) (2)

Матрице (1) соответствует система:



Если а11, с22, …сnn0, то начиная с последнего уравнения найти единственное

решение xn, xn-1,…,x1.

Если условие а11, …, сnn0 не выполняется, то переставить столбцы.

Матрице (2) соответствует система:

Если a11, c22,…,crr0, то r(A)= r() =r<nбесконечное множество решений.

r базисных неизвестных: x1, x2,…,xr, где

(n-r) свободных неизвестных: xr+1, …, xn

Выразить x1,…,xr через xr+1,…,xn.

Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть такая i-я строка, у которой все

cij=0, а di0 (противоречивое уравнение), то система несовместна, так как r(A)r().

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

Ответ: , ,

§9. Однородные системы уравнений

Рассмотрим однородную систему уравнений.

В матричном виде: , где А=; Х=.

- расширенная матрица

А~ (вычеркнув нулевой столбец) однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

1) r = n ( когда единственное решение x1=…=xn=0

2) r<n (когда бесконечное множество решений x1,…,xr - базисные неизвестные; xr+1,…,xn - свободные неизвестные.

Пример 9.1 Исследовать и решить систему

Ответ: , ,

Пример 9.2 Исследовать и решить систему

Ответ: бесконечное множество решений вида , , где

Размещено на Allbest.ru

...