Элементарная теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция. Элементарная теория вероятностей

Понятие случайной величины. Современная теория вероятностей оперирует случайными величинами, а не событиями. Так намного удобнее. Дадим определение случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принять одно из возможных значений, причём заранее не известно какое именно

Пример 1. 1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости есть случайная величина, которая может принять одно из возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2) Число мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять одно из возможных значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

3) Число попаданий в мишень при трёх выстрелах есть случайная величина, которая может принять одно из возможных значений: 0, 1, 2, 3.

4) Количество осадков, выпавших в данной местности, в данном месяце есть случайная величина, которая может принять одно из возможных значений из некоторого промежутка

5) Расстояние между эпицентром взрыва бомбы и целью, на которую она сброшена, есть случайная величина, которая может принять любое неотрицательное значение.

В примерах 1 - 3 множество значений случайной величины состоит из изолированных элементов, которые можно перечислить.

Случайная величина, множество значений которой либо конечно, либо счётно, называется дискретной случайной величиной.

В примерах 4 и 5 допустимые значения случайной величины непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси, который иногда замкнут, а иногда нет.

Случайная величина, множество значений которой является промежутком действительной числовой оси, называется непрерывной случайной величиной.

Пусть производится эксперимент, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие . Случайная величина

случайный величина распределение вероятность

называется характеристической случайной величиной события .

Если проводится серия испытаний, в каждом из которых может произойти событие , то общее число появлений этого события равно сумме характеристических функций случайных величин события во всех испытаниях.

Пусть производится бомбометание, цель которого - поражение некоторого объекта . При бомбометании бомбы падают, рассеиваясь случайным образом, по некоторой площади в окрестности объекта. Рассмотрим событие

,

где - радиус рассеяния, при котором объект поражается (рисунок 3.1). Если и - случайные координаты падения бомбы, то появление события равносильно попаданию точки в круг с радиусом и с центром в точке (объект считается точечным). То есть, для появления события должно выполняться условие .



Вероятность события есть вероятность выполнения неравенства

,

которую можно подсчитать, если известны свойства случайных величин и .

Дискретные и непрерывные случайные величины будут дальше обозначаться, соответственно, большими буквами греческого и латинского алфавита, а их значения - соответствующими малыми буквами. Например, если - число попаданий по мишени в серии из трёх выстрелов, то возможные значения есть , , , .

Функция распределения случайной величины. Рассмотрим, сначала, дискретную случайную величину , множество значений которой конечно. Пусть эта случайная величина имеет возможные значения , которые принимаются ею с некоторыми вероятностями. Следовательно, в результате опыта обязательно произойдёт одно из элементарных событий . Соответствующие этим событиям вероятности обозначим

.

Так как события образуют полную группу, то сумма их вероятностей . Эта суммарная вероятность как-то распределена между событиями . Дискретная случайная величина считается полностью описанной со статистической точки зрения, если указано, какой вероятностью обладает каждое из этих событий.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями , называется законом распределения дискретной случайной величины .

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения дискретной случайной величины - таблица следующего вида:

Ряд распределения иногда удобно изобразить графически в виде так называемого многоугольника распределения (рисунок 3.2).

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. Общее число билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца одного билета.

Решение. Возможные значения дискретной случайной величины есть , , , . Соответствующие вероятности

, , ,

.

Теперь закон распределения выигрыша может быть представлен в виде следующей таблицы

	0	1	100	1000
	0,9889	0,01	0,001	0,0001

Можно построить многоугольник распределения этой случайной величины.

Ряд распределения, однако, можно построить не всегда. Например, для непрерывной случайной величины, принимающей значения, заполняющие континуальное множество - некоторый открытый промежуток числовой оси, указать все её значения, очевидно, невозможно. Кроме того, ниже будет показано, что отдельное значение непрерывной случайной величины не обладает отличной от нуля вероятностью.

Рассмотрим общий способ описания распределения вероятности, справедливый как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Пусть - некоторая случайная величина. Рассмотрим событие , где - некоторый порог на действительной оси, причём может изменяться непрерывно. Множество значений случайной величины делится на два промежутка: и . Вероятность события является функцией от порога :

.

Пусть - возможное значение случайной величины , принимаемое ею в эксперименте.

Функция

, (3.1)

показывающая, как зависит от выбранного порога вероятность того, что значения случайной величины не превосходят его, называется функцией распределения (ФР) вероятностей случайной величины .

Функция называется, также, интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины.

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Перечислим почти очевидные свойства функции распределения случайной величины.

Свойство 1. Множеством значений функции распределения случайной величины является замкнутый промежуток .

Доказательство. Очевидно, в силу свойств вероятности.

Свойство 2. Предельное значение на «минус бесконечности» функции распределения равно нулю:

Доказательство. Событие является невозможным событием.

Свойство 3. Предельное значение на «плюс бесконечности» функции распределения равно 1:

.

Доказательство. Событие является достоверным событием.

Свойство 4. При вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в промежутке , равна разности значений функции распределения на верхнем и нижнем порогах:

.

Доказательство. Рассмотрим три события:

, , .

Очевидно, что

,

.

Следовательно

.

Используя определение (3.1), получаем

,

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю:

Доказательство. Воспользуемся формулой. Будем неограниченно уменьшать промежуток , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания случайной величины в промежуток получим вероятность того, что случайная величина примет одно (отдельное) значение:

.

Если функция непрерывна на промежутке , то этот предел равен

,

что и требовалось доказать.

Свойство 5 кажется парадоксальным. Однако парадокс разрешается просто, если учесть, что равенство (3.5) имеет предельный характер. Действительно, предельный характер равенства (3.5) означает только то, что вероятность события исчезающе мала. Аналогию можно найти в следующем примере: некоторое тело конечных размеров имеет конечную массу, а масса любой его бесконечно малой частицы стремится к нулю.

Следствие и свойства. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый промежуток, в замкнутый промежуток и полузамкнутые промежутки с одними и теми же граничными точками одинаковы:

Свойство 6. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента , то есть при любых

Доказательство. Так как в (3.4) левая часть (как вероятность) неотрицательна , то правая часть также неотрицательна: . Последнее и означает, что при функция распределения неубывающая.

Функция распределения дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины функция распределения (ФР) имеет вид

где учтено, что события несовместимы. Неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все значения , меньшие или равные . Введём функцию единичного скачка

С помощью (3.9) можем записать (3.8) в виде

Зная функцию распределения дискретной случайной величины , можно найти вероятности её отдельных значений. Действительно, при



Из (3.7) или (3.8) легко видеть, что ФР дискретной случайной величины является ступенчатой функцией, значения которой, вообще говоря, начинаются от 0 и доходят до 1.

Из рисунка 3.3 видно, что величины пороговых скачков функции распределения в точках равны соответствующим вероятностям

, , , .

Биномиальный и пуассоновский законы распределения дискретной случайной величины. Рассмотрим схему Бернулли, то есть серию из независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может появиться раз с одной и той же вероятностью . Пусть - случайная величина, принимающая значения, равные числу появлений события в данной серии испытаний. Ясно, что событие может: вообще не произойти ; произойти ровно один раз ; произойти ровно два раза ; произойти ровно раз .

Таким образом, значения, принимаемые случайной величиной , таковы: , , , , . Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли

.

В результате получим следующие значения:

;

;

Ряд распределения случайной величины запишем в виде таблицы:

Закон распределения, представленный в предыдущей таблице, называется биномиальным законом распределения дискретной случайной величины .

Если рассматривать последовательность редких событий, то полностью аналогично предыдущему можно вычислить вероятности отдельных значений дискретной случайной величины по формуле Пуассона и записать следующий ряд распределения:

Закон распределения, представленный этой таблицей, называется законом Пуассона (пуассоновским законом) распределения дискретной случайной величины .

Производится серия из 4 независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие . Вероятность появления события равна . Требуется построить функцию распределения числа появления события .

Решение. Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения, равные числу появлений события в четырёх испытаниях. Закон распределения этой случайной величины биномиальный, следовательно, ряд распределения имеет вид, представленный таблицей

	0	1	2	3	4
	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Построим функцию распределения. По формуле (3.8) получаем:

1) при ;

2) при ;

3) при ;

4) при ;

5) при ;

6) при .

Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Пусть функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывно дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в промежуток от до :

.

То есть, вероятность попадания случайной величины в указанный промежуток равна приращению функции распределения на этом промежутке. Вычислим предел разностного отношения

.

Определение 3.9. Производная

называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности) непрерывной случайной величины .

Плотность вероятности обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины является неотрицательной функцией:



Доказательство. Так как функция распределения является неубывающей функцией, то плотность вероятности, как её производная, неотрицательна.

Свойство 2. Функция распределения непрерывной случайной величины равна определённому интегралу от её плотности вероятности, взятому в пределах от до :

.

Доказательство. Интегрируя обе части (3.13) в пределах от до и учитывая второе свойство функции распределения (3.2), получим:

Свойство 3. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице:

Доказательство. Используя свойство 2 плотности вероятности и свойств 2, 3 функции распределения 3, получаем:



.

Свойство 4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый промежуток равна определённому интегралу от её плотности вероятности, взятому в пределах от до

Доказательство. Доказательство получается с использованием свойств функции распределения (12.2.2), (12.2.4) и свойства плотности вероятности (3.15):

Значение , при котором плотность вероятности имеет максимум, называется модой

Кривая плотности вероятности может быть унимодальной, то есть иметь один максимум, или полимодальной, то есть иметь несколько максимумов.

Функция распределения непрерывной случайной величины задаётся формулой



Найти:

1) коэффициент и плотность вероятности ;

2) найти вероятность попадания случайной величины в промежуток от 0,25 до 0,5.

Решение. 1) При получаем в силу непрерывности , что , откуда . Следовательно, плотность вероятности равна

2) По формуле (3.4) получаем:

Размещено на Allbest.ru

...