Особливості застосування методу функціональної підстановки при розв’язуванні математичних задач

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Математична освіта учнів - це складний процес, основним компонентом якого є розвиток математичного мислення, яке характеризується вмінням виводити наслідок з даних передумов, відокремлювати окремі моменти, узагальнювати висновки.

У зв'язку із збільшенням розумового навантаження на уроках математики практикуються методичні прийоми, що підтримують у школярів інтерес до навчання, стимулюють їх активність, бажання займатися математикою. Введення допоміжної змінної (підстановки) - один з таких методів. Суть його полягає у зведенні заданого рівняння чи виразу до простішого, але відносно нової змінної, яка являє собою деяку функцію від шуканої змінної. Якщо у вираз входять змінні з визначеною областю значень, то можна замінити одну або кілька змінних виразами, які мають ту саму область значень. При розв'язуванні нестандартних задач виникає потреба застосовувати метод функціональної підстановки, який раціонально наблизить до очікуваного результату. Тому питання застосування методу функціональної підстановки є достатньо актуальним.

Мета роботи - розглянути особливості застосування методу функціональної підстановки при розв'язуванні задач.

Завдання роботи:

1) на основі аналізу літератури ввести поняття «метод функціональної підстановки»;

2) провести класифікацію задач на застосування методу функціональної підстановки та розглянути особливості розв'язування задач кожного виду;

3) дібрати та розв'язати задачі за допомогою методу функціональної підстановки.

1. Теоретичні відомості за темою дослідження

1.1 Метод функціональної підстановки

Часто при розв'язуванні рівнянь чи нерівностей або спрощенні виразів виявляється зручним зробити заміну (підстановку) та перейти до нової змінної, відносно якої рівняння чи вираз буде мати більш простий вигляд. В багатьох задачах правильно підібрана заміна може суттєво спростити розв'язання.

Розв'язання рівняння за допомогою заміни змінної здійснюється наступним чином. Припустимо, маємо рівняння виду , де деяка функція. Зробивши заміну , отримаємо нове рівняння, вже відносно змінної :

квадратний рівняння дискримінант змінна

.

Заміну, по можливості, потрібно підбирати таким чином, щоб отримане рівняння відносно досить легко розв'язувалось. Припустимо, нам це вдалося, і: , ,…, корені рівняння . Тепер, повертаючись до змінної , розв'язуємо рівняння , , …, . Розв'язок початкового рівняння складається з розв'язків всіх цих рівнянь. Відмітимо, що якщо рівняння не має розв'язків, то і початкове рівняння також не має їх.

Універсального алгоритму, який дозволяє розв'язувати будь-які рівняння за допомогою заміни змінної, або спрощувати вирази за допомогою підстановки, не існує. Інколи дуже важко побачити необхідну заміну, яка приведе задачу до простого та зручного для розв'язання вигляду. Часто для цього потрібно виконати деякі перетворення (наприклад, групування доданків); в деяких задачах необхідно робити заміну не один раз. Не дивлячись на це, існують декілька замін які використовують досить часто.

1.2 Застосування методу функціональної підстановки для спрощення виразів

Розглянемо особливості методу функціональної підстановки для спрощення виразів.

1. Скоротіть дріб:

.

Якщо:

,

То:

2. Спростіть вираз:

3. Обчисліть значення виразу:

A

При:

.

Обчислимо значення:

,

При:

Отже,

при

4. Спростіть вираз:

При:

Оскільки , то маємо:

5. Спростіть вираз:

при

Під час перетворення виразу врахували, що:



При маємо:

При маємо:

6. Спростіть вираз:

7. Обчисліть вираз:

1.3 Застосування методу функціональної підстановки для розв'язування рівнянь

Рівняння виду:

де змінна, параметри, причому , називають біквадратним рівнянням.

Розглянемо приклади біквадратних рівнянь та метод їх розв'язання:

Алгоритм розв'язання біквадратного рівняння.

1. Виконати заміну змінної Маємо квадратне рівняння:

2. Розв'язати квадратне рівняння через дискримінант або за допомогою теореми, оберненої до теореми Вієта.

3. Розв'язати сукупність рівнянь:

4. Записати відповідь.

Наприклад, розв'яжемо рівняння . Виконаємо заміну . Тоді рівняння зводиться до такого квадратного рівняння

2. За теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо:

3. Розв'яжемо сукупність рівнянь:

4. Відповідь: 2; -2; 1; -1.

Спосіб розв'язання біквадратних рівнянь називають методом заміни змінної. Метод заміни змінної можна використовувати не тільки під час розв'язування біквадратних рівнянь, а також в багатьох інших як очевидних так і більш складніших випадках.

2. Приклади розв'язування задач методом функціональної підстановки

Розглянемо приклади розв'язування нестандартних задач за допомогою методу функціональної підстановки.

2.1 Рівняння, в яких заміна очевидна

Розглянемо наступні рівняння:

1.

2.

3.

4.

5.

Спосіб розв'язування:

1) .

Зведемо дане рівняння до виду і, зробивши підстановку , розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо або .

Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) , або б) ;

Відповідь: ; ;

2) .

Зробивши підстановку, отримаємо рівняння , розв'язок якого або . Повертаючись до підстановки:

a) , або б) , розв'язків немає.

Відповідь: ;

3) .

Зробивши підстановку , розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

а) , або б) , або .

Відповідь: ; .

4) .

Зведемо дане рівняння до виду і, Зробивши підстановку , розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) , або б) ,

Відповідь: ; .

5) .

Зведемо дане рівняння до виду:

,

і, Зробивши підстановку , розв'яжемо отримане рівняння:

.

Отримаємо або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) , б) , .

Відповідь: .

2.2 Рівняння виду

при , , розв'язуються з використанням заміни:

.

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

1) .

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

.

Так як та , то введемо нову змінну:

Підставляючи у вихідне рівняння, отримаємо:

,

або:



Звідси знаходимо : і , тобто у множині дійсних чисел маємо розв'язки: . Відповідні корені вихідного рівняння дорівнюють

Рівняння вищезазначеного типу можна розв'язати і по іншому, перемноживши першу дужку з четвертою, а другу ? з третьою, вводячи при цьому відповідну заміну. Розглянемо це на другому прикладі.

2) .

Звернемо увагу, що сума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо . Зробимо заміну , отримаємо рівняння , відкриємо дужки , знайдемо корні за теоремою оберненої до теореми Вієта або . Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

1) , розв'язків немає.

2)

або

Відповідь: ;

3) .

Cума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо . Зробимо заміну , отримаємо рівняння , відкриємо дужки , знаходимо корені, , . Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) , ,

б) розв'язків немає.

Відповідь: .

4) .

Аналогічно, перемноживши відповідні дужки, отримаємо . Зробимо заміну , отримаємо рівняння , відкриємо дужки , знаходимо корені, , . Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) , ,

б) , .

Відповідь: ;

5)

Перемноживши відповідні дужки, отримаємо . Зробимо заміну , отримаємо рівняння , знаходимо корені, , . Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) , або .

б) , розв'язків немає.

Відповідь: ;

Література

1. Віленкін Н.Я. Алгебра: Навчальний посібник для учнів 9 класу з поглибленим вивченням математики / Н.Я. Віленкін, Г.С. Сурвилло, О.С. Симонов, А.І. Кудрявцев; під ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвітництво, 2001. - 384.

2. Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики / М.Я. Вигодський. - М.: Наука, 1986. - 320с.

3. Державні санітарні правила та норми влаштування, утримання загальноосвітніх навчальних закладів та організації навчально- виховного процесу ДСанПіН 5. 5. 2. 008-01.

4. Зайцева Г.Д. О решении задач различными методами./ Г.Д. Зайцева. - // Математика в школе. - 1982, №5. - С. 50 - 52.

5. Ізюмченко Л.В., В.В. Нічишина, Р.Я. Ріжняк. Раціональні рівняння та нерівності: Методичний посібник для виконання контрольних робіт учнями 10-11 класів / Серія: Навчальні матеріали для учнів заочної фізико-математичної школи. - Кіровоград, РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2009.

Размещено на Allbest.ru

...