Различные формы уравнений Максвелла. Анализ уравнений
Анализ формы уравнений Максвелла и потенциалов для полей. Исследование волновых уравнений и уравнений Гельмгольца для векторов и потенциалов. Определение и оценка энергетических соотношений в электромагнитном поле. Принцип перестановочной двойственности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.09.2017 |
| Размер файла | 172,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
30
Размещено на http://www.allbest.ru/
Различные формы уравнений Максвелла. Анализ уравнений
1. Принцип перестановочной двойственности
уравнение максвелл электромагнитный гельмгольц
Сравним между собой первое и второе уравнения в каждой паре 1.3.1… 1.3.4. Они очень похожи друг на друга. Нетрудно заметить, что если в одном из первых уравнений заменить
; -; - ; -; Э - М; (1)
то получим второе уравнение той же пары, и наоборот, если во втором уравнении провести такие замены, то получим первое. В этом и состоит принцип перестановочной двойственности.
Если в одном из уравнений Максвелла произвести замены (2.1), то получим другое уравнение Максвелла. Более того, такие замены можно проводить в результатах расчета. Таким образом, посчитав, например, электрическое поле несложно получить магнитное, проведя замены (2.1).
2. Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд
Уравнения Максвелла записаны для векторов , , , , зависящих от четырех переменных - три координаты и время. Чтобы упростить решение уравнений, нужно сократить число переменных, исключив время. Это возможно, если входящие в уравнения переменные изменяются во времени по закону синуса или косинуса с известной круговой частотой . Тогда зависимость от времени можно исключить, воспользовавшись методом комплексных амплитуд.
Рассмотрим, например, в прямоугольной системе координат электрическое поле, проекции которого на координатные оси изменяются по закону косинуса:
E (x, y, z, t) = Excos (t+x) + Eycos (t+y) + Ezcos (t+z).
Аналогично тому, как это делалось в теории цепей, введем комплексные амплитуды проекций поля, отображающие соответствующие временные функции в комплексную область:
Excos (t+x) x = Ex exp {i x};
Eycos (t+y) y = Ey exp {i y};
Ezcos (t+z) z = Ez exp {i z}.
Символ используется для того, чтобы показать взаимно однозначное соответствие временной функции и ее комплексной амплитуды. Комплексную амплитуду для вектора электрического поля можно записать так:
= х + y + z. (2)
Комплексные амплитуды, используемые при изучении электромагнитных полей, величины векторные. Поэтому изобразить их в виде проекций вращающегося вектора невозможно. Векторные диаграммы для электромагнитного поля не строят. В крайнем случае, можно построить векторную диаграмму для проекций вектора.
Иногда поле изменяется по гармоническому закону вдоль какой-либо из координатных осей. Тогда можно ввести комплексную амплитуду по координатам, воспользовавшись тем же правилом.
Все операции над одномерными комплексами приложимы к векторам. Например, дифференцирование заменяется умножением на i, интегрирование делением на i.
Перепишем уравнения Максвелла в комплексной форме. Сначала преобразуем первое уравнение Гаусса для вещества (1.3.1) в интегральной форме:
. (3)
Здесь введена комплексная диэлектрическая проницаемость
=+= - i, (4)
которая позволила представить запись уравнения в компактной форме. Ее действительная часть описывает диэлектрические свойства среды, а мнимая - процессы, определяемые проводимостью, то есть потери за счет сопротивления среды.
Перевод в комплексную форму других уравнений Максвелла производится таким же образом. При преобразовании первого и третьего уравнений достаточно комплексной диэлектрической восприимчивости, а для второго и четвертого приходится вводить комплексную магнитную восприимчивость. Преобразуем, например, четвертое уравнение в дифференциальной форме (см. 1.3.4).
Вместо векторов , и в уравнение будут входить их комплексные изображения, производная по времени заменяется умножением на i.
. (5)
Здесь введена комплексная магнитная проницаемость.
=+= - i. (6)
Преобразование остальных уравнений проведите самостоятельно. Система уравнений Максвелла в комплексном виде приведена ниже.
3. Разделение переменных во второй паре уравнений Максвелла. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца
Вторую пару уравнений Максвелла (2.1.2 и 2.1.4) не всегда удобно использовать из-за того, что в оба вектора и входят и в первое, и во второе уравнение пары. Преобразуем их так, чтобы вектора разделились. Это преобразование можно проделать во временной области и для комплексных амплитуд. В первом случае уравнения называют волновыми, а во втором - уравнениями Гельмгольца.
Получим волновое уравнение. Считаем, что среда однородна, а электрическая и магнитная проницаемости постоянны. Запишем вторую пару уравнений Максвелла (см. 1.3.4):
(7)
Если от обеих частей первого уравнения взять ротор, а затем в правой части вместо rot подставить его значение из второго уравнения, то получим соотношение, содержащее только вектор. Проделаем эти операции.
rot rot = rot+rot + Э rot
Для того чтобы упростить выражение, воспользуемся известным тождеством векторной алгебры (см. приложение)
rot rot = grad div - .
Вместо rot подставим его значение из первого уравнения (1.3.4).
grad div - = rot + () +Э ()
Перенесем все слагаемые, содержащие магнитное поле влево и получим уравнение для вектора.
-- (Э +М)-ЭМ- grad div = - rot + Э + (8)
Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности, получим аналогичное уравнение для электрического вектора
-- (Э +М)- ЭМ- grad div = rot + М+ (9)
Эти соотношения называют волновыми уравнениями для векторов магнитного и электрического полей. В частном случае, когда исследуются процессы распространения электромагнитных волн и сторонние токи и заряды, возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части пространства, неоднородные волновые уравнения переходят в однородные. Если к тому же не учитывать потери, связанные с конечной проводимостью, то уравнения упрощаются и принимают следующий вид:
- = 0, (10)
- = 0. (11)
Комплексная форма волновых уравнений получила название - уравнения Гельмгольца. Запишем неоднородные уравнения Гельмгольца. Переходя в (2.8, 2.9) к комплексным амплитудам и вводя обозначение
, (12)
получим
+ 2 = - rot + i+ grad ; (13)
+ 2 = rot + i+ grad . (14)
4. Плотность потока мощности электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга
Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энергию. Законы изменения, сохранения и распространения энергии можно получить из уравнений Максвелла. Воспользуемся для этого второй парой уравнений Максвелла в дифференциальной форме (см. 1.3.4).
Преобразуем эти уравнения следующим образом. Умножим скалярно первое на , а второе на и вычтем из второго первое
.
Воспользуемся известной формулой векторного анализа. Для двух векторов и выполняется тождество (см. П2.17):
.
Тогда в левую часть равенства можно заменить дивергенцией от векторного произведения на .
(15)
Проинтегрируем полученное выражение сначала по бесконечному, а затем по конечному объему. Тогда в первом случае получим полную энергию системы зарядов, токов и электромагнитного поля, а во втором можно проанализировать динамику изменения энергии в объеме.
Проинтегрируем (2.15) по всему бесконечному объему, полагая, что проводимость отсутствует (Э = 0, М = 0). Электромагнитная энергия не преобразуется в тепловую и убыли энергии у электромагнитного поля нет.
. (16)
Рассмотрим три полученных интеграла. Интеграл слева равен нулю. Действительно, используем теорему Остроградского-Гаусса и преобразуем интеграл по объему от дивергенции вектора в интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора.
.
Ограничивающая объем поверхность находится на бесконечности и никогда не будет достигнута электромагнитным полем. Поток вектора через нее отсутствует.
Рассмотрим первый интеграл в правой части (2.15). Ток связан с движением заряженных частиц, а значит и с изменением их энергии. Рассчитаем скорость изменения кинетической энергии частицы массой m движущейся со скоростью v.
. (17)
В правой части стоит произведение импульса частицы на производную от скорости, то есть на ускорение. Это ускорение можно определить из уравнения движения частицы. Уравнение движения частицы массой m с зарядом e, которая находится в электромагнитном поле с напряженностью электрического поля и магнитного поля , можно записать так:
. (18)
Подставим (2.18) в (2.17) и получим для одной частицы:
.
Второе слагаемое в правой части равно нулю из-за свойств скалярного произведения. Теперь запишем это равенство для N частиц и вспомним, что .
. (19)
Слагаемые и - это производные от кинетической энергии движения электрических и магнитных зарядов в поле-то есть мощность электрического и магнитного токов. Учитывая это (2.16) можно записать так:
= (20)
Таким образом, в бесконечном объеме, в котором существуют электромагнитное поле и частицы, сохраняется величина, стоящая в скобках. Ек - кинетическая энергия частиц, следовательно
- энергия электромагнитного поля. Величину
. (21)
называют плотностью энергии электромагнитного поля.
Проинтегрируем (2.15) по конечному объему. Интеграл по объему от дивергенции заменим интегралом по поверхности от потока вектора
. (22)
В выражение (2.22) входит мощность электромагнитного поля в объеме (второе слагаемое), мощность электрических и магнитных токов в объеме (третье слагаемое), мощность потерь в объеме (четвертое слагаемое). Вероятно, и первое слагаемое должно описывать какую-то мощность. Это поток мощности электромагнитного поля через ограничивающую объем поверхность. Равенство (2.22) - закон сохранения энергии для электромагнитного поля и системы зарядов в нем в том случае, когда существует обмен энергией между выделенным объемом и остальным пространством. Вектор плотности потока мощности электромагнитного поля называют вектором Пойнтинга.
(23)
Запишем дифференциальную форму равенства (2.22). Для этого заменим интеграл от потока вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого вектора по объему. Ввиду произвольности объема запишем равенство для подынтегральных выражений.
(24)
Вектор Пойнтинга возникает тогда, когда уменьшается энергия электромагнитного поля, энергия заряженной частицы или уменьшаются потери в выбранной точке.
Если электромагнитное поле изменяется во времени гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные амплитуды полей. Снова воспользуемся второй парой уравнений Максвелла, но теперь уже в комплексной форме (см. 2.1.4).
; (25)
.
Возьмем комплексное сопряжение от второго равенства
. (26)
Помножив (2.25) скалярно на, а (2.26) на и вычитая из первого результата второй, получим
. (27)
Это равенство называют теоремой Пойнтинга в дифференциальной форме для комплексных амплитуд векторов поля. Получим интегральную форму равенства, проинтегрировав его по всему объему, содержащему источники. Слева будет стоять интеграл от дивергенции вектора по объему. Используя теорему Остроградского-Гаусса преобразуем его в поток этого вектора через ограничивающую объем поверхность.
В левой части равенства находится комплексный вектор Пойнтинга , который содержит действительную и мнимую часть. Действительная часть описывает поток активной, а мнимая - поток реактивной мощности. В правой части первое слагаемое комплексное и имеет действительную и мнимую часть, второе чисто действительное, а третье - чисто мнимое. Выделим поток активной Р и реактивной Q мощности. При этом учтем, что мощность находится через действующие значения, а комплексный вектор Пойнтинга рассчитан через амплитудные. Действующее значение в корень из двух раз меньше.
(28)
Электрическое и магнитное поле изменяется в течение периода, и, чтобы найти среднее значение мощности, нужно проводить усреднение за период. Выражение (2.28) записано для усредненной за период мощности.
Анализируя (2.28) можно заметить, что мощность потерь за счет электрической и магнитной проводимости всегда активная. Мощность электрических и магнитных токов смещения всегда реактивная и имеет противоположные знаки. Мощность, связанная с движением заряженных частиц в поле, имеет и реактивную, и активную составляющую.
5. Лемма Лоренца
Лемма Лоренца устанавливает связь между полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми системами сторонних токов. Чтобы воспользоваться методом комплексных амплитуд, обе системы токов должны иметь одинаковую частоту. Для простоты не будем учитывать потери.
Первая совокупность гармонических токов и создает электромагнитное поле с комплексными амплитудами и, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла
(30)
Вторая совокупность и создает поля с комплексными амплитудами и .
(31)
Преобразуем эти уравнения примерно так же, как мы поступали в предыдущем разделе. Для этого умножим второе уравнение системы (2.31) на, а первое уравнение системы (2.30) на - и сложим их. Учтем, что для любой пары векторов и
Тогда слева получим дивергенцию от векторного произведения и , а справа комбинацию произведений токов и полей.
- (i + + i + ). (32)
Аналогично, умножим первое уравнение системы (2.31) на , а второе (2.30) на (-) и сложим их.
- (i + + i + ). (33)
После вычитания из (2.32) выражения (2.33) получим соотношение, которое и называют леммой Лоренца в дифференциальной форме.
- = - + - . (34)
Векторные произведения и можно интерпретировать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых электромагнитных процессов.
Чтобы получить интегральную форму, проинтегрируем (2.34) по объему, в который включены интересующие нас токи, и преобразуем левую часть в интеграл от потоков взаимных векторов Пойнтинга по ограничивающей объем поверхности, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса.
( - + - ) dV (35)
Лемма Лоренца широко используется при анализе процессов возбуждения электромагнитных волн.
6. Потенциалы электромагнитного поля
Во многих задачах необходимо знать численное значение амплитуды и фазы электромагнитного поля. Это задачи излучения электромагнитных волн, возбуждения электромагнитных волн в резонаторах и волноводах, подвода энергии к линии передачи. Такие задачи можно решать с помощью волновых уравнений (2.8, 2.9) и неоднородных уравнений Гельмгольца (2.13, 2.14). Однако эти уравнения очень громоздки и содержат в правой части производные. Целесообразно ввести новые векторные функции такие, которые были бы связаны с и простыми соотношениями, а уравнения для них не содержали бы дифференциальные операции в правой части. Такие функции, называемые потенциалами, существуют. Их вводят, пользуясь не уравнениями Гельмгольца, а уравнениями Максвелла.
Введем комплексную амплитуду для потенциалов, воспользовавшись комплексной формой уравнений Максвелла (2.1.3, 2.1.4). Будем анализировать линейный процесс, для которого выполняется принцип суперпозиции и каждое из уравнений можно разбить на два. Одно будет содержать в правой части электрический заряд, или ток, а второе - магнитный. Объединим уравнения с электрическими зарядами и токами в одну систему, а с магнитными зарядами и токами в другую. Тогда из (2.1.3, 2.1.4) получим две системы уравнений. Уравнения с электрическими источниками:
; ;
, (36)
и уравнения с магнитными источниками:
; ;
. (37)
Если будет найдено решение одной системы, то решение другой несложно получить, используя принцип перестановочной двойственности.
Электрические потенциалы поля получим, решая первую систему (2.36). Сначала рассмотрим два уравнения с нулевой правой частью. В первом из них воспользуемся векторным тождеством, которое выполняется для любого вектора :
div rot = 0.
Тогда можно утверждать, что есть ротор какого-то вектора, то есть
= rot; = rot, (38)
где - произвольный вектор, который называют векторным электрическим потенциалом. Ротор векторного электрического потенциала определен равенством (2.38), а дивергенция может быть произвольной. В дальнейшем мы используем произвольность div для того, чтобы упростить уравнения, описывающие векторный потенциал.
Теперь рассмотрим другое уравнение системы (2.36) с нулевой правой частью. Если вместо подставить его выражение через векторный потенциал из (2.38), то получим:
.
Учтем то обстоятельство, что ротор - это дифференциальный оператор, а производная от суммы равна сумме производных. Тогда последнее соотношение можно переписать в виде:
rot (+ i) = 0.
Воспользуемся известным векторным тождеством, которое утверждает, что для любого скаляра
rot grad = 0.
Тогда можно ввести скалярный электрический потенциал , для которого выполняется равенство
+ i = - grad , = - i- grad . (39)
Итак, электрическое и магнитное поле легко посчитать, используя электрический и магнитный потенциалы. Это пока почти произвольный вектор и скаляр, но эту произвольность можно устранить, воспользовавшись второй парой уравнений (2.36). Потенциалы будут выражены через электрический заряд и ток. Возьмем последнее уравнение системы (2.36)
и подставим в него вместо и их выражение через потенциалы. Тогда получим первое уравнение для потенциалов и. :
rot rot + igrad - 2 =.. (40)
Умножим уравнение на и воспользуемся тождеством
rot rot = grad div - .
Тогда (2.40) преобразуется к виду:
grad div - + i grad - 2 = .
В выражение входит два слагаемых с градиентом. Объединим их и используем обозначение для (2.12)
- + grad (div + ) - 2 = . (41)
Теперь воспользуемся произвольностью в выборе divи выберем ее так, чтобы выражение в скобках было равно нулю.
div + = 0; div = -. (42)
Соотношение (2.42) называют калибровкой Лоренца для потенциалов. Воспользуемся калибровкой Лоренца для упрощения выражения (2.41).
+ 2 = - . .43)
Это соотношение называют уравнением Гельмгольца для векторного потенциала.
Воспользуемся оставшимся уравнением в системе (2.36)
и получим аналогичное соотношение для скалярного электрического потенциала. Подставим выражение через потенциалы из (2.39)
div (- i- grad ) = Э
и, раскрывая скобки, воспользуемся калибровкой Лоренца и выражением для дивергенции от градиента.
+2 = -. (44)
Итак, получены уравнения для расчета электрических потенциалов через токи и заряды (см. 2.43, 2.44) и расчета электрического и магнитного полей через потенциалы (см. 2.38, 2.39).
Магнитные потенциалы поля и выражения для расчета полей через эти потенциалы можно получить из системы (2.37) или воспользоваться принципом перестановочной двойственности. Воспользуемся этим принципом и из (2.43, 2.44, 2.38, 2.39) получим.
+ 2 = - ;
+ 2 = -; (45)
= -rot; = - i- grad .
Связь между векторным и скалярным потенциалом задается соотношением, которое можно получить из (2.42).
div = - . (46)
Здесь в дополнение к (2.1) использованы замены , .
Таким образом, действие электрических и магнитных зарядов можно описать с помощью потенциалов. Зная потенциалы, можно рассчитать электрическое и магнитное поле. Эти поля рассчитываются отдельно для электрических и магнитных токов и зарядов. Полное поле можно получить, складывая отдельные составляющие. Потенциалы рассчитываются с помощью уравнений Гельмгольца для двух скалярных и двух векторных величин.
7. Частные случаи
Рассмотрим, как изменяются уравнения Максвелла, если существуют не все, а лишь определенные виды источников электромагнитного поля. В простейшем случае отсутствуют и электрические, и магнитные токи, а заряды не изменяются во времени. Такое приближение называют статическим. В зависимости от того, какие заряды присутствуют, говорят об электростатике и магнитостатике.
Электростатика
В электростатическом приближении электрическое поле создается электрическими зарядами, не изменяющимися во времени. Магнитного поля нет. Уравнения Максвелла в интегральной форме запишутся так
/; . (47)
Электрический векторный потенциал отсутствует, а для скалярного потенциала в электростатике принято обозначение .
= -, = - grad . (48)
Уравнения электростатики позволяют рассчитать электрическое поле при произвольном расположении зарядов. Задача по расчету электрического поля произвольной системы зарядов сводится к задаче по определению поля точечного источника. Заряд в объеме нужно представить в виде суммы конечного или бесконечного числа точечных зарядов. Рассчитать в интересующей нас точке электрическое поле и потенциал от каждого заряда, а результаты сложить и задача будет решена.
Определим напряженность электрического поля и потенциал, создаваемый точечным зарядом на расстоянии r от него. В качестве объема выберем сферу радиусом r. Из-за сферической симметрии электрическое поле на поверхности этой сферы одинаково во всех точках. Его можно посчитать из первого уравнения (2.47).
/.
. (49)
Из (2.48) определим потенциал в этой точке, учитывая симметрию задачи. И электрическое поле, и потенциал будут зависеть только от радиуса, поэтому градиент потенциала можно заменить производной по радиусу.
= - grad = ; , (50)
где А - значение потенциала на бесконечности.
Для описания системы зарядов используют понятие - электрическая емкость. Пусть два тела расположенные на расстоянии R друг от друга имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд q. Электрической емкостью называют отношение заряда q к разности потенциалов U этих двух тел:
C = q / U. (51)
Чтобы рассчитать электрическую емкость системы зарядов нужно рассчитать распределение потенциалов в объеме.
Для пары точечных зарядов, расположенных на расстоянии R
; С = 4R. (52)
Магнитостатика
В магнитостатическом приближении магнитное поле создается магнитными зарядами, не изменяющимися во времени. Уравнения для расчета магнитного поля будут выглядеть так:
rot = 0; ; = - grad . (53)
Магнитостатическое приближение используется при расчете поля постоянного магнита.
Стационарные магнитные процессы (Магнитные цепи)
В этом приближении отсутствуют всякие заряды. Существует только электрический ток. Электрическое поле возникает за счет конечной проводимости вещества и описывается законом Ома (1.5)
= Э .
Магнитное поле порождается электрическим током и описывается уравнениями Максвелла, которые в этом случае выглядят так:
; . (54)
Первое уравнение (2.54) утверждает, что поток вектора замкнут и суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Поток этого вектора через незамкнутую поверхность может быть отличен от нуля. Его называют магнитным потоком.
(55)
Магнитный поток имеет знак и может подходить к точке разветвления или выходить из нее. Как следует из первого равенства (2.54), сумма магнитных потоков в узле равна нулю.
. (56)
На рисунке 2.1 сумма магнитных потоков в узле А равна нулю.
Ф1 - Ф2 - Ф3 - Ф4 = 0.
Если считать магнитный поток аналогом тока в электрической цепи, то уравнение (2.56) аналогично первому уравнению Кирхгофа для электрической цепи. Его можно считать первым уравнением Кирхгофа для магнитной цепи.
Если магнитный поток равномерно распределен по сечению, то связь между В и Ф упрощается. Вместо (2.55) получим:
Ф = В S. (57)
Пусть имеется катушка, витки которой пронизываются различным магнитным потоком (рис. 2.2). Сумма магнитных потоков, пронизывающих интересующий нас виток называется потокосцеплением . На рис. 2.2 потокосцепление различно у различных витков катушки.
1 = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4; 2 = Ф2 + Ф3 + Ф4;
3 = Ф3 + Ф4; 4 = Ф4.
Полное потокосцепление для всей катушки
= 1 +2 +3 +4 =Ф1 + 2Ф2 + 3Ф3 +4Ф4.
Если в катушке с током отсутствует магнитный поток рассеяния и все w витков пронизываются одним и тем же магнитным потоком Ф, то потокосцепление для нее
= wФ.
Между током в катушке и потокосцеплением существует линейная связь,
= L IЭ.
Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью катушки.
Если первое уравнение в (2.54) приводит к первому закону Кирхгофа для магнитной цепи, то второе уравнение - ко второму. Действительно, пусть магнитная цепь состоит из отдельных элементов длиной ?i и площадью Si, по которым проходит один и тот же магнитный поток Ф. Тогда второе уравнение (2.54) можно переписать в виде:
H1?1 + H2 ?2 + H3 ?3 = IЭ,
где IЭ - сумма электрических токов, создающих магнитный поток Ф. Произведение Hi??i называют падением магнитного напряжения на участке ?i, а сумму токов, возбуждающих магнитный поток, - магнитодвижущей силой F.
(58)
Это равенство можно интерпретировать, как второй закон Кирхгофа для магнитной цепи. Чаще всего магнитный поток создается с помощью катушки. Если по катушке с w витками проходит электрический ток I, то магнитодвижущая сила
F = I w.
Для магнитной цепи выполняются не только законы Кирхгофа, но и законы Ома. Преобразуем второе равенство в (2.54) так, чтобы слева было произведение магнитного потока на какую-то величину. Эту величину можно будет назвать магнитным сопротивлением, а равенство - законом Ома для магнитной цепи. Для этого из (2.57) и (1.3.5) получим:
Hi = (59)
Подставим это значение в (2.54), заменив интеграл суммой, а электрический ток - на магнитодвижущую силу.
. (60)
Тогда выражение, стоящее под знаком суммы в правой части можно назвать сопротивлением i - го участка магнитной цепи
. (61)
В дальнейшем можно рассчитывать разветвленные и неразветвленные магнитные цепи, пользуясь законами Кирхгофа и Ома, однако при аналитическом расчете точность невелика из-за нелинейной зависимости магнитной индукции от магнитного поля. Поэтому здесь чаще, приходится пользоваться графоаналитическими методами. В этом основная сложность расчета магнитных цепей.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Понятие и содержание равносильных уравнений, факторы их оценивания. Теорема о равносильности уравнений и ее доказательство. Причины и пути приобретения посторонних корней при разрешении данных уравнений. Нахождение и сравнение множества решений.
презентация [16,0 K], добавлен 26.01.2011Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Определения и параболические операторы. Принцип максимума для уравнений параболического типа. Применение принципа максимума при математическом моделировании процессов. Наличие экстремальных свойств уравнений. Решение уравнения теплопроводности.
курсовая работа [159,5 K], добавлен 22.08.2013Решение биквадратных, симметричных и кубических уравнений, содержащих радикалы. Решение уравнений четвертой степени методом понижения степени и разложения на множители. Применение бинома Ньютона. Графический метод решения уравнений повышенной степени.
презентация [754,7 K], добавлен 29.05.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах.
доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009Определение системы с двумя переменными, способ ее решения. Специфика преобразования линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения и замены переменных в этом виде уравнений, примеры их графиков. Алгоритм нахождения количества системы уравнений.
презентация [226,6 K], добавлен 08.12.2011Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011
