Неравенства Коши

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Неравенства Коши

Введение

Коши Огюстен Луи (1789--1857) -- знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши -- разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789--1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 --1848), но его работы стали известны много позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а (т.е. ), если для любого числа можно подобрать такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

0< | x--а |< ».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если

limf(x)=f(x0)

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство

| ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.

1. Множества в Евклидовом Пространстве

1.1 Основные метрические понятия

п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен отношению .

Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве, необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы , где - вещественное число. В силу аксиомы о положительно определенной форме скалярного произведения векторов при любом

.

Используя формулу

,

мы можем написать это неравенство в виде

.

В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь различных вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять знака для всех значений . Поэтому дискриминант этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,

,

откуда ,извлекая квадратный корень, получаем

, (1)

что и требовалось.

Неравенство (1) называют неравенством Коши-Буняковского.

Примеры.

а) В пространстве V3 неравенство Коши-Буняковского, очевидно, вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин векторов и косинуса угла между ними.

б) В пространстве Rn неравенство Коши-Буняковского имеет вид

;

оно справедливо для любой пары векторов и или, что-то же самое, для любых двух систем вещественных чисел и .

в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши-Буняковского имеет вид

.

Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn. Для начала дадим определение n-мерного евклидового пространства Rn..

Def. n-мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

,

называется n-мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.

Ясно, что тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда при всех i = 1, 2, …,n. Также ясно, что

.

Докажем, что для любых трех точек

(2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны*, и потому называется неравенством треугольника. Также данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

, (3)

справедливо для любых вещественных чисел ai и bi. Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax2+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *. Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену:

,

где

Из определения видно, что при всех x.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

(4)

(ai и bi - любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши.

Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение . В результате получим

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).

Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2). Пусть

Полагая в неравенстве (4)

мы получим неравенство (2).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых последовательностей удовлетворяющих условию

Таким образом, l - метрическое пространство

Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей вещественных чисел, для которых , и положим

.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l2. А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел ai и bi (i=1, 2, …). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

. (6)

 Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и ,

то и последовательность

, т.е. .

Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для Rn.

Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

п.2 Неравенство треугольника. Если x и y -произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y. Используя неравенство Коши-Буняковского, мы получаем

или

(7)

(8)

Неравенства (7)-(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.

2. Комплексные пространства со скалярным произведением

2.1 Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

коши скалярный математический евклидовый

п.3 Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов x, y из C имеет место неравенство

, (9)

Доказательство проводится по той же схеме, что и в вещественном случае (п.1), но с некоторой осторожностью обращения с комплексными числами. Если (x, y)=0, неравенство (9) очевидно. При (x, y)0 замечаем, что

при любом комплексном . Раскрываем скобки, находим

. (10)

Будем считать, что изменяется по прямой , симметричной относительно вещественной оси с прямой, определяемой комплексным числом (x, y), так что

,

где t вещественно, а zo-единичный вектор, определяющий направление прямой ,

.

Тогда

есть вещественное число, так что

.

Неравенство (10) преобразуется к виду

. (11)

Теперь та же аргументация, что и в (п.1), приводит нас к искомому неравенству (9).

Если в неравенстве(9) стоит знак равенства, то трехчлен в левой части (11) имеем один вещественный корень to. Заменяя tzo на , мы получаем, что трехчлен в левой части (10) имеет корень , откуда

и

,

так что векторы x и y отличаются лишь (комплексным) множителем.

п.4 Неравенство треугольника. Если x и y - два вектора в унитарном пространстве C, то по неравенству Коши-Буняковского (п.3)

откуда

(12)

Неравенства (12), как и в вещественном случае, называют неравенствами треугольника.

Список литературы

1. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.,1973. - 350 с.

2. Коровкин П. П. Неравенства. М., 1983. - 56 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.,1969 г., 432 с.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2 М., 1966 г., 800с.

Размещено на Allbest.ru