Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет»

Механико-математический факультет

Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики

Курсовая работа

«Инверсия»

Выполнил:

студент 3 курса дневной

формы обучения,

Пальчук Павел Вячеславович

Научный руководитель: доцент,

кандидат физико-математических наук

Чурбанов Юрий Дмитриевич

Минск 2017

СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• Глава 1. Инверсия плоскости относительно окружности
• 1.1 Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии
• 1.2 Координатные формулы инверсии
• 1.3 Образы прямых и окружностей при инверсии
• Глава II. Инвариантные окружности инверсии
• 2.1 Ортогональные окружности
• 2.2 Инверсия как симметрия относительно окружности
• Глава III. Свойства углов и расстояний
• 3.1 Сохранение величин углов при инверсии
• 3.2 Изменение расстояний при инверсии
• Глава IV. Инверсия и гомотетия
• Примеры решения задач
• Заключение
• Литература


ВВЕДЕНИЕ

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности - в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот.

В данной работе рассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.

Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

ГЛАВА 1. ИНВЕРСИЯ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ

1.1 Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии

Зададим в плоскости окружность щ с центром O радиуса R.

Инверсией плоскости относительно окружности щ называется такое преобразование этой плоскости, при котором каждая точка M, отличная от точки O, отображается на точку M? лежащую на луче OM и удовлетворяющую условию

OM · OM? = R². (1.1)

Окружность щ называется окружностью инверсии, ее центр O -- центром инверсии, а радиус R -- радиусом инверсии. Имеется простой способ построения образа M? данной точки M при инверсии. Если точка M лежит вне окружности инверсии, то проведем через нее касательную MT к окружности щ и перпендикуляр из и перпендикуляр източки T касания на прямую OM (рис. 1). Основание M? этого перпендикуляра и является образом точки M при инверсии относительно окружности щ. Из подобия треугольников OMT и OM?T имеем: OM : OT = OT : OM?, откуда OM · OM? = OT² = R².

В определении инверсии точки M и M? равноправны. Поэтому, если M>M?, то M? > M, т.е. преобразование, обратное данной инверсии, совпадает с той же инверсией. Следовательно, инверсия -- преобразование инволюционное (инволюция). По этой причине образ M точки M? строится в обратном порядке.

Если M ? щ, то OM · OM = R² и поэтому точка M отображается на себя. Значит, и вся окружность w инверсии отображается на себя (является множеством неподвижных точек). Других неподвижных точек инверсия не имеет. инверсия геометрический формула точка прямая окружность

Центр O инверсии не имеет образа, так как для него равенство (1.1) выполняться не может. Поэтому точку O считают удаленной из плоскости, а плоскость называют проколотой в точке O.

Из равенства (1.1) следует, что при OM < R будет OM? > R и наоборот. Поэтому внутренняя область круга инверсии отображается этой инверсией на его внешнюю область и обратно.

1.2 Координатные формулы инверсии

Зададим прямоугольную декартову систему координат с началом в центре O инверсии. Если M(x, y)>M?(x?, y?), то OM?= лOM при л >0. Равенство OM · OM? = R² эквивалентно равенству лOM² = R², откуда . Значит,

. (1.2)

Это -- векторная формула инверсии. Она эквивалентна двум координатным

, . (1.3)

Мы получили искомые координатные формулы инверсии. Так как M > M? при этой инверсии, то

, . (1.4)

Как видим, эти формулы нелинейные. Поэтому образом произвольной прямой Ax+By +C =0 при C ? 0 не будет прямая линия, т.е. инверсия не является аффинным преобразованием.

1.3 Образы прямых и окружностей при инверсии

Согласно определению инверсии, каждый луч с началом в центре O инверсии отображается этой инверсией на себя. Поэтому прямая, проходящая через центр O инверсии (без точки O), отображается на себя.

Очевидно также, что окружность радиуса OM, концентричная окружности щ инверсии, переходит в концентричную ей окружность радиуса OM?.

Найдем образ окружности г, содержащей центр инверсии (рис.2). Построим образ A? конца A диаметра OA окружности г и через A? проведем прямую l перпендикулярно OA. Пусть M -- произвольная точка окружности г (M ? O) и прямая OM пересекает l в точке N. Из подобия прямоугольных треугольников OAM и OA?N имеем: OA : OM = ON : OA?, откуда OA · OM = ON · OA?=R². Следовательно, точка N есть образ точки M и обратно. Это значит, что окружность г и прямая l соответствуют друг другу при инверсии относительно окружности щ.

Итак, образом окружности, содержащей центр инверсии, является прямая, перпендикулярная линии центров этой окружности и окружности инверсии. Образом прямой, не содержащей центр инверсии, является окружность, проходящая через центр инверсии. Ее диаметром является отрезок OA, где A -- образ основания перпендикуляра, опущенного из центра инверсии на данную прямую.

Пусть теперь данная окружность г не проходит через центр инверсии (рис.3). Возьмем ее диаметр AB, принадлежащий линии центров окружностей щ и г. Если M' --образ произвольной точки M ? г и A', B' -- образы точек A, B, то OM ·OM' = OA·OA' = OB·OB' = R² (R-- радиус окружности щ). Тогда и . Следовательно, ?OMA ~?OM'A' и ?OMB ~?OM'B', откуда ?OMA=?OA'M' и ?OMB ~ ?OB'M', и поэтому ?BMM' = ? M'B'A'. Так как сумма трех углов при вершине M равна сумме углов треугольника A'B'M' и угол AMB прямой (опирается на диаметр AB), то угол A'M'B' также прямой. Отсюда следует, что если точка M пробегает окружность г, то ее образ M' пробегает окружность г', построенную на отрезке A'B' как на диаметре.

Итак, образом окружности г, не содержащей центр инверсии, является окружность г', также не содержащая центр инверсии. Центры окружностей щ, г, г' коллинеарны.

Заметим, что центры S и Q окружностей г и г' не соответствуют друг другу при этой инверсии.

ГЛАВА II. ИНВАРИАНТНЫЕ ОКРУЖНОСТИ ИНВЕРСИИ

2.1 Ортогональные окружности

Углом между двумя кривыми (в частности, между двумя окружностями) называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными (друг другу), если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис.4). Согласно свойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения.

Теорема. Окружность г, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии).

Если M -- произвольная точка окружности г и прямая OM пересекает окружность г вторично в точке M', то по свойству секущих OM·OM'=OT²=R², т.е. точки M и M' взаимно инверсны относительно окружности щ (рис.4). Следовательно, окружность г отображается на себя.

Теорема (обратная). Если окружность г, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии.

Доказательство. Соответственные точки M и M' окружности г лежат на одном луче с началом O, причем одна из них вне, другая -- внутри окружности щ инверсии (рис.4). Поэтому окружность г пересекает окружность щ. Пусть T --одна из точек их пересечения. Докажем, что OT --касательная к окружности г. Если бы прямая OT пересекала г еще в другой точке T₁, то по свойству секущих OT ·OT₁ =R². Но OT =R и поэтому OT₁ =R, т.е. точки T и T₁ совпадают, прямая OT касается г в точке T, окружности щ и г ортогональны.

2.2 Инверсия как симметрия относительно окружности

Инверсия относительно окружности имеет хорошую аналогию с осевой симметрией.

Теорема. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна при данной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии).

Доказательство. Если окружность г содержит точки A и A', соответственные при инверсии относительно окружности щ, то центр O инверсии лежит вне отрезка AA', т.е. вне окружности г (рис.5). Пусть M --произвольная точка окружности г и прямая OM пересекает г вторично в точке M'. Тогда по свойству секущих OM·OM'=OA·OA'=R². Поэтому точки M и M' взаимно инверсны, и окружность г отображается инверсией на себя.

Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны.

Действительно, если A -- одна из точек пересечения окружностей б и в, каждая из которых ортогональна к окружности щ инверсии, то прямая OA пересекает как окружность б, так и окружность в в образе A' точки A (рис.6).

Иначе говоря, образом точки A, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку A и ортогональных к окружности инверсии.

Это свойство может быть положено в основу определения инверсии.

Возьмем теперь вместо окружности щ прямую щ как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей б и в, ортогональных прямой щ, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки A и A' пересечения окружностей a и b симметричны относительно прямой щ (рис.7).

ГЛАВА III. СВОЙСТВА УГЛОВ И РАССТОЯНИЙ

3.1 Сохранение величин углов при инверсии

Инверсия обладает замечательным свойством: она сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.

Так как угол между двумя кривыми по определению равен углу между касательными прямыми к этим кривым в их общей точке, то достаточно доказать сформулированное свойство конформности для двух прямых и их образов при инверсии. Если обе данные прямые проходят через центр инверсии, то доказывать нечего. Если одна из данных прямых a и b содержит центр O инверсии, а другая его не содержит, то первая отображается на себя, а вторая-- на окружность, проходящую через точку O (рис.8). Касательная к окружности в точке O параллельна прообразу окружности, откуда и следует равенство углов ?(a, b)=?(a', b'). Когда центр O инверсии не принадлежит ни одной из данных прямых a и b, то их образами будут две окружности a', b', пересекающиеся в центре O инверсии и некоторой точке P' -- образе точки P пересечения данных прямых a и b. Углы между окружностями a' и b' в точках O и P' равны. Поэтому можно рассматривать угол между касательными a' и b' в точке O. А эти касательные параллельны соответственно данным прямым a и b (рис.9).

В частности, если две данные прямые, две окружности, прямая и окружность ортогональны, то их образы при инверсии также ортогональны. Если две данные окружности касаются, то их образами будут или две касающиеся окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.

3.2 Изменение расстояний при инверсии.

Если при инверсии с центром O и радиусом R точки A и B отображаются соответственно на точки A' и B', то OA·OA'=OB·OB'=R², откуда . Поэтому когда точки O, A, B неколлинеарны, треугольники OAB и OA'B' подобны. Их подобие дает: , или A'B' = AB. Но OA' = и поэтому.

A'B' = AB .

ГЛАВА IV. ИНВЕРСИЯ И ГОМОТЕТИЯ

Пусть окружности б и б' инверсны относительно окружности щ. С другой стороны, любые две неравные окружности являются соответственными при двух гомотетиях. Оказывается, что центр инверсии совпадает с одним из центров этих гомотетий.

Теорема. Если две окружности инверсны при инверсии с центром O, то они гомотетичны относительно той же точки O.

Доказательство. Пусть инверсия с центром O отображает окружность б на окружность б' (рис.10), причем точки M и N окружности б отображаются на точки M' и N' окружности б'. Пусть A и A', B и B' --инверсные точки диаметров этих окружностей. Из подобия треугольников MAO и M'A'O следует равенство углов MAO и A'M'O. Так как ?A'M'O + ?N'B'A' = ?MAO + ?MAA'=180°, то ?N'B'A' =?MAA' и поэтому прямые AM и B'N' параллельны. По аналогичной причине BMA'N'. Следовательно, треугольники AMB и N'B'A' гомотетичны относительно точки O (A>B', B>A', M>N'). Значит, гомотетичны и описанные около них окружности б и б'.

Однако центр гомотетии двух окружностей не всегда служит и центром инверсии, отображающей одну из этих окружностей на другую.

Теорема. Если две неравные окружности пересекаются, то оба центра их гомотетий являются центрами инверсий, каждая из которых отображает одну из данных окружностей на другую. Если данные окружности не имеют общих точек или касаются, то только один из центров их гомотетий является центром инверсии, при которой одна из этих окружностей отображается на другую.

Доказательство. Пусть S -- центр одной из гомотетий б и б', при которой A>A', B>B' (рис.11). Тогда SA'=|k|SA и SB'=|k|SB, где k --коэффициент этой гомотетии. Отсюда SA'·SB = SA·SB' =|k|SA·SB. Для данной окружности б и данной точки S произведение SA·SB отрезков секущей AB не зависит от выбора этой секущей. Именно, если точка S вне окружности б, то это произведение равно квадрату отрезка касательной, проведенной из S к б, если S внутри б, то оно равно квадрату полухорды, проведенной через S перпендикулярно диаметру, содержащему S. Случай S ? б исключается. Положим |k|SA·SB = R².

Равенства SA'·SB =R² и SA·SB' = R² говорят о том, что точки A' и B, A и B' соответственно инверсны относительно окружности с центром S радиуса R, если только точка S не принадлежит отрезкам A'B и AB'. А это требование определения инверсии выполняется для каждого центра гомотетий двух пересекающихся окружностей (рис.11) и только для одного центра гомотетий двух непересекающихся (рис.12) или двух касающихся окружностей.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Инверсия с эффективностью используется при решении задач на построение и доказательство. В задачах на построение подбирают окружность щ инверсии так, чтобы некоторые из данных или искомых окружностей инверсией относительно щ отобразились на прямые, что упрощает решение задачи. Первоначальная задача переходит в некоторую другую задачу для образов данных и искомых фигур, решение которой этой инверсией переводится на решение данной задачи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через две данные точки A и B и касающуюся данной окружности б.

Решение. Искомая окружность может существовать, очевидно, лишь тогда, когда данные точки A и B лежат обе либо вне окружности б, либо обе внутри нее. В качестве окружности щ инверсии выберем окружность (B, BA). Тогда данная окружность б переводится инверсией в некоторую окружность б', a искомая окружность x -- в прямую x'. Точка A неподвижна. В силу свойства конформности инверсии прямая x' является касательной к окружности б'. Данная задача свелась к задаче: через точку A провести прямую x', касающуюся окружности б'. Выполнив построение этой касательной, отображаем ее заданной инверсией на искомую окружность x. Построение выполнено на рис.13. Число решений зависит от взаимного расположения точки A и окружности б', т.е. может быть равно 2, 1 или 0. На рис.13 показаны два решения.

Задача 2. Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки касания лежат на одной окружности (рис.14).

Решение. Выполним инверсию с центром в точке A касания окружностей б и в. Тогда эти окружности перейдут в пару параллельных прямых б' и в', а окружности г и д -- в окружности г' и д', касающиеся друг друга в точке C' и касающиеся соответственно прямых в' и б' в точках B' и D' (рис.15). Задача свелась к доказательству того, что точки B', C', D' коллинеарны. Действительно, если это будет доказано, то прообразом прямой, соединяющей точки B', C', D', будет окружность, содержащая прообразы B, C, D этих точек и центр A инверсии. Полученная задача легко решается применением гомотетии с центром C', переводящей д' в г'. Эта гомотетия отображает касательную б' к окружности д' в точке D' в параллельную ей касательную в' к окружности г'. Поэтому точки D' и B' касания будут гомотетичны относительно точки C' и, значит, коллинеарны с точкой C'.

Задачи 3. Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Решение. Пусть C -- вершина данного угла. При инверсии с центром в точке A прямая CB перейдет в окружность S, а окружности S₁ и S₂ -- в окружность S₁^* с центром O₁, касающуюся S в точке B^*, и прямую l, параллельную C^*A, касающуюся S₁^* в точке X (рис.). Проведем в окружности S радиус ODC^*A. Точки O, B^* и O₁ лежат на одной прямой, a OD | O₁X. Поэтому OB^*D = = 90° - DOB^*/2 = 90° - (XO₁B^*/2) = O₁B^*X, следовательно, точка X лежит на прямой DB^*. Еще раз применив инверсию, получим, что искомое множество точек касания -- это дуга AB окружности, проходящей через точки A, B и D^*.

Задача 4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что ?BAX = ?CAY.

Решение. Пусть B', C', X', Y' - точки, симметричные B, C, X, Y относительно биссектрисы MN. Тогда BB'CC' - равнобокая трапеция, диагонали которой пересекаются в точке L, инверсной A относительно окружности с диаметром MN. В этой же точке пересекаются диагонали равнобокой трапеции XX' > YY', вписанной в эту окружность. Боковые стороны этой трапеции пересекаются на поляре точки L, которая проходит через A и параллельна основаниям трапеции. В силу симметрии эта точка пересечения боковых сторон совпадает с A, что равносильно утверждению задачи (см. рис.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод.

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классе были изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. -- Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости. -- М.: МЦНМО, 2004.

2. Кокстер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. -- М.: Наука, 1978.

3. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. -- М.: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru