Движения плоскости
Теория движения плоскости. Определение и свойства центральной и осевой симметрии плоскости, свойства переноса и поворота. Композиция центральных симметрии и переносов. Координатные формулы движений плоскости. Примеры задач на тему "Движение плоскости".
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.10.2017 |
| Размер файла | 633,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задача 3. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
Решение. Введем следующие обозначения: a =BM, b =BC; Ra и Rb -- векторы, полученные из векторов a и b поворотом на 90o: Ra = BA, Rb = BQ; O1, O2, O3 и O4 -- середины отрезков AM, MQ, QC и CA соответственно.
Тогда BO1= (a + Ra)/2, BO2= (a + Rb)/2, BO3= (b + Rb)/2, BO4= (b + Ra)/2. Поэтому O1O2 = (Rb - Ra)/2 = - O3O4 и O2O3 = (b - a)/2 = - O1O4.
Задача 4. В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM - биссектриса угла KAD. Докажите, что AK = =DM = BK.
Решение. Повернём треугольник ADM на 90° вокруг точки A (см. рис.). При этом он перейдет в равный треугольник ABL, причем BL - продолжение отрезка CB. Заметим, что ?KAL = ?KAB + ?LAB = ?KAB + ?KAM = ?BAM = ?DMA = ?KLA.
Таким образом, треугольник AKL равнобедренный (AK=KL). Отсюда BK+DM = BK + BL = KL = AK.
2.5 Задачи на тему «Композиция движений»
Задача 1. Найдите композицию осевых симметрий относительно прямых, содержащих биссектрисы данного треугольника.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром I касается стороны бc в точке г.
Очевидно, что точки касания вписанной в угол окружности со сторонами угла симметричны относительно биссектрисы этого угла. Действительно, окружность симметрична относительно любого своего диаметра, в частности, относительно любой биссектрисы, стороны угла симметричны относительно биссектрисы, значит и их общие точки симметричны относительно биссектрисы.
Композиция трёх осевых симметрий оси которых пересекаются в одной точке I, есть осевая симметрия, ось которой содержит ту же точку I.
Рассмотрим композицию осевых симметрий S Ic ? S Iв ? S Iб.
При этой композиции точка г последовательно перейдёт в точки касания со сторонами бв, вc и вновь бc, то есть это неподвижная точка преобразования.
Значит, искомая ось симметрии содержит точки г и I, это прямая гI, S Iс? S Iв ? S Iб= S Iг.
Задача 2. Докажите, что композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.
Решение. Представим указанный параллельный перенос в виде композиции симметрий относительно прямых l1 и l2, параллельных данной прямой l. Пусть при параллельном переносе в направлении, перпендикулярном этим прямым, прямая l2 переходит в прямую l, а прямая l1 -- в некоторую прямую l3. Тогда композиция симметрий относительно прямых l1 и l2 совпадает с композицией симметрий относительно прямых l3 и l. Следовательно, композиция симметрий относительно прямых l1, l2 и l есть симметрия относительно прямой l3 (поскольку композиция двух симметрий относительно одной и той же прямой есть тождественное преобразование).
(Sl?T = Sl? (Sl1oSl2) = Sl? (Sl?Sl3) = E?Sl3 = Sl3.)
Задача 3. Докажите, что композиция трёх симметрий относительно параллельных прямых l1, l2 и l3 есть осевая симметрия.
Решение. Композиция симметрий относительно двух параллельных прямых и композиция симметрий относительно образов этих прямых при параллельном переносе -- одно и то же преобразование.
Параллельным переносом сдвинем прямые l1 и l2 так, чтобы прямая l2 совпала с l3. При этом прямая l1 перейдёт в некоторую прямую l. Композиция симметрий при этом не меняется. Получим композицию симметрии относительно прямой l и тождественного преобразования (две симметрии относительно прямой l3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в ходе выполнения курсовой работы были разобраны основные аспекты движения плоскости и их применения в решении задач.
Установлено, что основными движениями являются:
1. Центральная симметрия
2. Осевая симметрия
3. Перенос
4. Поворот
Рассмотрены их основные свойства, представления этих движений в декартовой системе координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. -- Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. -- М.: МЦНМО, 2004. -- 312 с.
2. Кузнецова Л.И., Скопец З.А. Метод подобия при решении планиметрических задач // Математика в школе. 1977. № 6. с. 58--63.
3. Болтянский В.Г., Яглом И. М. Геометрические задачи на максимум и минимум // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. -- М.: Наука, 1966. с. 307--348.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие плоскости и определение ее положения в пространстве. Задание плоскости ее следами на комплексном чертеже. Плоскости и проекции уровня. Свойство проецирующих плоскостей собирать одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.
реферат [69,0 K], добавлен 17.10.2010Виды преобразования симметрии фигур. Понятие оси и плоскости симметрии. Одновременное применение преобразований поворота и отражения, зеркально-поворотная ось. Сопряженные элементы, подгруппы и общие свойства и классификация групп операций симметрии.
реферат [28,0 K], добавлен 25.06.2009Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Центр инверсии: обозначение, пример отображения. Понятие о плоскости симметрии. Порядок оси симметрии, элементарный угол поворота. Физические причины отсутствия осей порядка более 6. Пространственные решетки, инверсионная ось, элементы континуума.
презентация [173,7 K], добавлен 23.09.2013Оптимальные фигуры многоугольников на плоскости. Соотношение размеров соседних фигур на плоскости на примере соприкасающихся окружностей. Реализация шестигранных ячеек в природе. Характеристика таких категорий: целое и части, дискретное и непрерывное.
статья [290,7 K], добавлен 28.03.2012Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Окружность множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эллипс, множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух точек плоскости. Парабола, множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
реферат [197,7 K], добавлен 03.08.2010Плоскость как простейший вид поверхности, ее задание тремя точками. Основные геометрические фигуры на плоскости. Определение геометрического места точек, примеры для угла и окружности. Сущность использования метода геометрических мест при решении задач.
курсовая работа [115,2 K], добавлен 10.01.2010Определение алгебраической линии на плоскости. Теорема о независимости порядка линии от выбора аффиной системы координат. Классификация алгебраической линии. Понятие алгебраической линии на плоскости и окружности как составляющих метода координат.
курсовая работа [197,3 K], добавлен 29.09.2014Понятие плоскостей, их классификация и разновидности, способы и принципы задания. Сущность и этапы решения позиционных задач. Исследование принадлежности прямой заданной плоскости, методика и цели доказательства их параллельности и перпендикулярности.
презентация [95,4 K], добавлен 27.10.2013Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Основные положения теории инверсии. Определение инверсии-симметрии относительно окружности. Неподвижные точки и окружность инверсии. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии. Свойства обобщенной инверсии.
дипломная работа [348,1 K], добавлен 08.08.2007Разработка проекта системы автоматического управления тележкой, движущейся в боковой плоскости. Описание и анализ непрерывной системы, создание ее математических моделей в пространстве состояний и модели "вход-выход". Построение графиков реакций объекта.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 25.12.2010Особенности применения координатного метода при изучении стереометрии в 10-11-х классах. Определение расстояния от точки до прямой и до плоскости в пространстве, а также между скрещивающимися прямыми. Нахождение углов между двумя прямыми и плоскостями.
статья [2,1 M], добавлен 04.12.2012Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Сущность и графическое отображение игры на преследование, ее математический смысл и формулирование соответствующих теорем. Стратегия параллельного сближения и ее обоснование. Порядок преследования на плоскости с одним или несколькими преследователями.
творческая работа [24,9 K], добавлен 03.01.2010Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009
