Грубые погрешности и промахи

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Грубые погрешности и промахи

Более точную оценку значения измеряемой величины можно получить лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки результатов.

· Источниками промахов нередко бывают ошибки, допущенные оператором при измерении. Наиболее характерными из них являются:

· неправильный отсчет по шкале измерительного устройства;

· неправильная запись результата наблюдения (описка), неправильная запись значений отдельных мер использованного набора и т.п.;

· ошибки при манипуляциях с приборами, если они повторяются при измерениях;

· внезапные и кратковременные изменения условий измерения;

· незамеченные неисправности средства измерений и др.

2. Обнаружение и исключение грубых погрешностей

Наличие грубых погрешностей в результатах измерения решается методами математической статистики -- статистической проверкой гипотез.

Суть метода сводится к следующему: выдвигается нулевая гипотеза относительно результата измерения, который вызывает сомнение и рассматривается как промах в связи с большим отклонением от других результатов измерения. При этом нулевая гипотеза заключается в утверждении, что «промах» в действительности принадлежит к изучаемой совокупности полученных в данных условиях результатов измерений, а получение такого результата -- вероятно.

Пользуясь статистическими критериями, необходимо опровергнуть нулевую гипотезу, т.е. доказать ее практическую невероятность. Если это удается, то промах исключают, если нет -- то результат измерения оставляют.

Выбор того или иного критерия зависит от многих факторов, например, от количества измерений.

Для применения выбранного критерия необходимо следующее.

1. Задаться достаточно малой вероятностью q того, что сомнительный результат действительно мог бы иметь место. Вероятность q называется уровнем значимости и обычно выбирается из ряда: 0,10; 0,05; 0,01 и т.д.

2. Определить для данного q критическую область значений критерия проверки нулевой гипотезы.

3. Сравнить фактическое значение критерия с его критическим значением. Если значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза отвергается.

3. Критерии грубых погрешностей

Известно много различных критериев, которые позволяют исключить грубые промахи. К ним, в частности, можно отнести критерий 3s, Граббса --Смирнова, Шарлье, Шовенэ, Диксона и др. Эти критерии основаны на статистических оценках параметров распределения, так как в большинстве случаев действительные значения параметров распределения неизвестны.

Критерий 3s

Критерий 3s применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью Р = 0,0027, маловероятен, и его можно считать промахом, если

-- среднее арифметическое результатов измерения; s -- среднее квадратичное отклонение.

Данный критерий дает достаточно надежные результаты только при п > 30.

Критерий Шарлье

Критерий Шарлье применяют лишь для рядов, количество измерений в которых п > 20. Если количество результатов измерений п > 20, то по теореме Бернулли число результатов, превышающих по абсолютному значению , будет равно п[1 - Ф(К_Ш)], где Ф(К_Ш) - значение нормированной функции Лапласа для Z = К_Ш.

Если сомнительным в ряду наблюдений является один результат, то

п[ 1 - Ф(К_Ш)] = 1

Отсюда Ф(К_Ш) =

Критические значения критерия Шарлье можно определить по табл. или вычислить по формуле математический статистика среднеквадратичный

(для 5 ? п ? 100, Р = 0,95).

Критические значения критерия Шарлье

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, значение которого превосходит по модулю .

Порядок обнаружения и исключения грубых погрешностей и промахов с использованием критерия Шарлье сводится к следующему:

· определяется среднее значение результатов измерения

· определяется оценка среднего квадратичного отклонения s(х) по формуле

· определяется расчетное (критическое) значение критерия Шарлье по уравнению;

· определяется абсолютное значение разности сомнительного результата, т.е. |х_сомн ^- |;

· сравниваются значения |х_сомн ^- | и s(х)К_Ш: если х_сомн ^- | > s(х)К_Ш то результат отбрасывают как содержащий грубую погрешность; если

|х_сомн ^- | < s(х)К_Ш,

то результат не содержит грубой ошибки.

Правило Томпсона

В правиле Томпсона используется статистика

Где -- выборочное среднее значение;

-- выборочное среднеквадратичное отклонение.

Согласно правилу Томпсона из ряда измерений следует исключать все те результаты измерения х_i, для которых |t_i|>z_m,б при т = п-2.

Критическое значение критерия можно определить по формуле

где x=ln n, y = б (б=0,01;0,05;0,1), 1 ? n ? 100.

Критерий Граббса -- Смирнова

В критерии Граббса --Смирнова используется статистика

где х_с -- результат измерения, вызывающий сомнение; X -- среднее арифметическое значение ряда измерений; s_x -- среднее квадратичное отклонение результатов измерения.

Критическая область значений этого критерия определяется как

P(КГ>Zq)=q

Значение Кг(q, п) для случая нормального закона распределения результатов измерения в зависимости от уровня значимости у и количества наблюдений можно выбрать по табл.

Можно вычислить К_Г по формулам

Критерий Граббса-Смирнова

К_Г(0,05,n)= 1,2088 - 0,0033л + 0,4965

К_Г(0,025,n) - 1,0158 - 0,0107л + 0,6631

К_Г(0,01,n) - 1,7191 - 0,0197л + 0,8829

(формулы справедливы для 3 ? п ? 25).

Если при выбранном уровне значимости q и числе наблюдений п критерий К_Г > К_Г(q, п), то результат отбрасывают как содержащий грубую погрешность.

Порядок обнаружения и исключения грубых погрешностей и промахов с использованием критерия Граббса--Смирнова сводится к следующему:

· определяется среднее значение результатов измерения

· определяется оценка среднего квадратичного отклонения s(x) по формуле

· принимается желаемый уровень значимости из ряда: 0,01; 0,025; 0,05; 0,1;

· определяется расчетное (критическое) значение критерия Граббса -- Смирнова К_Г(q,n) по одному из уравнений (4.102)--(4.105) для принятого уровня значимости q;

· определяется критерий Граббса --Смирнова по формуле (4.100)

· сравниваются значения К_Г и К_Г(q,n):

если К_Г > К_Г(q,n), то результат отбрасывают как содержащий грубую погрешность;

если К_Г < К_Г(q,n), то результат не содержит грубой ошибки с принятой вероятностью Р = 1 - q.

Критерий Шовенэ

Критическая область для этого критерия определяется неравенством

Из полученного ряда измерений, содержащего п членов, отбрасывают сомнительный результат -- х_k.

Вычисляют среднее арифметическое значение и среднее квадратичное отклонение по формулам

Определяют статистику Z

Значения M и Z

Вычисляется ожидаемое число отсчетов М, среди которых будет хотя бы один аномальный (промах).

Если М > п, то отсчет х_к считается промахом.

Значения М и Z приведены в табл.

При значениях Z ? 2,2 значения М можно определить также но формуле

М = int[ехр(0,7639 + 0.2968Z^2,5)].

Критерий Диксона

Критерий Диксона (Кд) -- удобный и достаточно мощный критерий. Для использования критерия Диксона результаты измерений располагают в вариационный возрастающий ряд x₁<x₂<…<x_n.

Критерий Диксона определяется по формуле

К_д

Критическая область для этого критерия

P(К_д>Z_д(q,n))=q

Значения К_д(q,n) вычисляются по таблице.

Критические значения критерия Диксона

Можно вычислить по формулам

К_Д(0,1,n)

К_Д(0,05,n)

К_Д(0,025,n)

К_Д(0,01,n)

Формулы справедливы при 4 ? n ? 30.

Порядок обнаружения и исключения грубых погрешностей и промахов с использованием критерия Диксона сводится к следующему:

· значения результатов измерений сортируются в порядке возрастания;

· определяется расчетное (критическое) значение критерия Диксона по формулам для принятого уровня значимости q-Кд(q,n);

· определяется значение критерия Диксона Кд;

· сравниваются значения Кд и Кд(q,n):

если Кд > Кд(q,n), то результат отбрасывают как содержащий грубую ошибку;

если Кд < Кд(q,n), то результат не содержит грубой погрешности (промаха) с вероятностью Р = 1 - q.

Критерий в_max для исключения грубых погрешностей и промахов

При использовании этого критерия вычисляют коэффициенты в₁ и в₂ по формулам

Определяют в_max по таблице в зависимости от принятой вероятности Р и числа измерений п.

Критические значения критерия в_max

Или определяют по формулам, в зависимости от количества измерений и принятого уровня значимости q = 0,1; 0,05; 0,01.

Р = 1 - q(в_{max p,n}).

Формулы справедливы при 3 < п < 50.

Если в₁ > в_max, то значение x_mах следует исключить из ряда измерений как грубую погрешность.

Если в₂ < в_max, то исключают значение x_min как грубую погрешность.

Критерий Романовского для исключения грубых погрешностей и промахов

Критерий Романовского применяется, если число измерений п < 20. Для этого вычисляется расчетное значение критерия R_расч по формуле

где x_i -- сомнительный результат измерения; -- среднее значение результатов измерения ();-- среднее квадратичное отклонение (); п - 1 - число измерений без сомнительного результата.

Расчетное значение критерия R_расч сравнивается с его критическим значением R_кр(б,n), где б -- принятый уровень доверительной вероятности.

Если R_расч > R_кр(б,n), то результат х_i считается промахом и отбрасывается.

Критические значения критерия Романовского определяют по табл.

Значения критерия Романовского

Или рассчитывают по формулам

Размещено на Allbest.ru