Теория вероятности
Применение локальной теоремы Муавра-Лапласа при решении задач. Составление закона распределения случайной величины, определение математического ожидания, дисперсии. Вычисление средней квадратической ошибки выборки. Построение эмпирических линий регрессии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.10.2017 |
| Размер файла | 157,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов.
Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.
Решение:
Пусть событие А - первые три проверенных прибора - исправны.
Общее число случаев выбора 3 приборов из 20 равно . Число случаев благоприятствующих событию А, равно . Тогда
Ответ: .
2. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.
Найти:
а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества;
б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.
Решение:
Имеем
а) Применим локальную теорему Муавра-Лапласа
,
Где
и
б) Воспользуемся следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа
,
Где
Т.к. , то
,
откуда
Следовательно, границы для доли равны:
Ответ: а) , б) .
3. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали.
Составить закон распределения случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.
Решение:
Случайная величина X принимает следующие значения: 0, 1, 2
По условию , следовательно,
Вероятности распределения найдем по схеме Бернулли
Составим закон распределения
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
|
p |
0,0625 |
0,3750 |
0,5625 |
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Функция распределения:
Ответ: , .
4. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.
|
Количество дней пребывания на больничном листе |
Менее 3 |
3 - 5 |
5 - 7 |
7 - 9 |
9 - 11 |
Более 11 |
Итого |
|
|
Число сотрудников |
6 |
13 |
24 |
39 |
8 |
10 |
100 |
Найти:
а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,98.
Решение:
а)
|
Интервалы xi |
Середины интервалов xi |
ni |
uini |
ui2ni |
ui +1 |
(ui +1)2ni |
|||
|
1 |
1 - 3 |
2 |
-2 |
6 |
-12 |
24 |
-1 |
6 |
|
|
2 |
3 - 5 |
4 |
-1 |
13 |
-13 |
13 |
0 |
0 |
|
|
3 |
5 - 7 |
6 |
0 |
24 |
0 |
0 |
1 |
24 |
|
|
4 |
7 - 9 |
8 |
1 |
39 |
39 |
39 |
2 |
156 |
|
|
5 |
9 - 11 |
10 |
2 |
8 |
16 |
32 |
3 |
72 |
|
|
6 |
11 - 13 |
12 |
3 |
10 |
30 |
90 |
4 |
160 |
|
|
? |
100 |
60 |
198 |
418 |
,
где k - ширина интервала по x, а с - один из серединных интервалов.
k = 2, с = 6
Проверка:
418 = 198 + 2·60 + 100 = 198 + 120 + 100 = 418 ? расчеты верны.
Искомую вероятность найдем по формуле:
Р () = Ф(t) = г, где t = , ,
Имеем
,
Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней по формуле:
,
t = = 4,07, г = Ф(t) = Ф(4,07) = 0,9999
Вероятность равна
Р() = 0,9999
Итак, вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине) равна 0,9999.
б) m = 6 + 13 + 24 = 43 n = 100 N = 1560
Учитывая, что
г = Ф(t) = 0,95 t = 1,96 (по таблице),
найдем предельную ошибку выборки для доли по формуле:
Теперь искомый доверительный интервал определяем по формуле:
Итак, с вероятностью 0,95 доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней, заключена от 0,34 до 0,52.
в)
Объем выборки:
.
5. Распределение 110 образцов полимерных и композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов X (%) и водопоглощению Y (%).
|
Y X |
15 - 25 |
25 - 35 |
35 - 45 |
45 - 55 |
55 - 65 |
65 - 75 |
Итого |
|
|
5 - 15 |
17 |
4 |
21 |
|||||
|
15 - 25 |
3 |
18 |
3 |
24 |
||||
|
25 - 35 |
2 |
15 |
5 |
22 |
||||
|
35 - 45 |
3 |
13 |
7 |
23 |
||||
|
45 - 55 |
6 |
14 |
20 |
|||||
|
Итого |
20 |
24 |
21 |
18 |
13 |
14 |
110 |
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости б = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах содержащих 35% нефтешламов.
лаплас теорема математический выборка
Решение:
|
Y X |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
Итого |
|
|
10 |
17 |
4 |
21 |
|||||
|
20 |
3 |
18 |
3 |
24 |
||||
|
30 |
2 |
15 |
5 |
22 |
||||
|
40 |
3 |
13 |
7 |
23 |
||||
|
50 |
6 |
14 |
20 |
|||||
|
Итого |
20 |
24 |
21 |
18 |
13 |
14 |
110 |
1)
2)
а)
,
,
,
,
,
,
Вычислим необходимые суммы:
Итак, уравнения регрессии:
yx - 42 = 1,12(x - 29,73)
xy - 29,73 = 0,80(y - 42)
или
yx = 1,12x + 8,70
xy = 0,80y - 3,87
Из уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении ПКМ по содержанию в них нефтешламов хотя бы на 1%, их водопоглощение увеличится в среднем на 1,12%. Уравнение X по Y показывает, что для увеличения водопоглощения ПКМ хотя бы на 1% необходимо в среднем увеличить содержание в них нефтешламов на 0,80%.
б) Коэффициент корреляции:
Итак, связь между рассматриваемыми переменными прямая и очень тесная.
Статистика критерия:
Для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы
k = 110 - 2 = 108
находим критическое значение статистики
t1-б;k = t0.95;108 = 1,99.
Поскольку t > t0.95;108 коэффициент корреляции между X и Y значимо отличается от нуля.
в) yx = 1,12 • 35 + 8,70 = 47,9%.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методы составления закона распределения случайной величины. Вычисление средней арифметической и дисперсии распределения. Расчет средней квадратической ошибки бесповторной выборки. Построение эмпирических линий регрессии, поиск уравнения прямых регрессий.
контрольная работа [77,6 K], добавлен 20.07.2010Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.
контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Закон распределения суточного дохода трамвайного парка, оценка доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии суточного дохода. Особенности определения математического ожидания рассматривающейся случайной величины при решении задач.
курсовая работа [69,5 K], добавлен 02.05.2011Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010
