Анализ временных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по дисциплине "Статистика"

на тему:

Анализ временных рядов

Москва2015

Содержание

Постановка задачи

1.Теоретические сведения

2. Основные результаты

2.1 Аддитивная модель

2.1.1 Предположения об остатках

2.2 Мультипликативная модель

Заключение

Постановка задачи

Имеются данные по прибыли предприятия за пять лет. С помощью декомпозиции временных рядов:

найти тренд и сезонную составляющую;

проверить предположение об остатках;

если предположение выполнено, сделать прогноз временного ряда на 2016 год для аддитивной и мультипликативной модели.

1.Теоретические сведения

Временным рядом называется последовательность наблюдений, упорядоченная по времени: y_1, y_{2, .... ,}у_n , где у_t - числа, представляющие наблюдения некоторой переммнной в n равностоящих моментов времени t=1, 2, …, n. Примерами данных, которые необходимо изучать во времени являются: цены на товар, деловая активность, национальный валовый продукт. Особенностью, выделяющей анализ временных рядов, является зависимость данных, причём характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности.

Основные задачи анализа:

Прогнозирование, на основе знаний прошлого;

Сжатое описание характерных особенностей ряда;

Управление процессом, порождающий ряд.

В анализе временных рядов, как и в большинстве статистических методов, предполагается, что исходящие данные содержат детерминированную и случайную составляющие. В общем, детерминированная составляющая может быть представлена в виде комбинаций следующих компонент:

Тренда определяющего главную тенденцию временного ряда;

Более или менее регулярных колебаний относительно тренда - циклов;

Периодических колебаний; такие колебания называются сезонной составляющей.

Временной ряд может быть представлен различными математическими моделями.

Пусть u_t - тренд, W_t, S_t, е_t - соответственно циклическая, сезонная и случайная остаточная составляющие.

Аддитивная модель записывается в виде:

y_t = u_{t +} W_t + S_t + е_t .

Мультипликативная модель имеет вид

y_t = u_tW_t S_t е_t .

Выбор модели зависит от конкретной совокупности явлений, определяющих данный временной ряд и их взаимосвязей.

2. Основные результаты

2.1 Аддитивная модель

Модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения совпадают с экспериментальными данными. Чтобы модель была аддитивной, необходимо выполнение предположений об остатках.

2.1.1 Предположения об остатках

е_i ~ N;

M(е_i) = 0;

Остатки должны иметь постоянную дисперсию;

Остатки независимы между собой.

Согласно гистограмме остатков нет оснований отклонять гипотезу о нормальном распределении;

Гистограмма симметрична относительно 0, поэтому второе предположение верно;

Остатки должны попадать в коридор от -2у до 2у.

Стандартное отклонение = 0.504512663, а остатки попадают в коридор от -0,9 до 0,9, но есть 3 выброса, которые мы можем не учитывать;

Для нормального распределения понятия независимости и некоррелируемости совпадают, т.е. если мы докажем некоррелируемость остатков, то мы докажем их независимость. Некоррелируемость остатков проверяется по критерию Дарвина-Уотсона.

Таким образом, все предположения об остатках были выполнены, а значит, мы можем спрогнозировать прибыль на 2016 год.

2.2 Мультипликативная модель

1.Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый период оценки сезонной компоненты S_j. Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 12.

Для данной модели имеем:

1.248 + 1.227 + 1.215 + 1.145 + 0.981 + 0.889 + 0.71 + 0.724 + 0.732 + 0.852 + 1.03 + 1.137 = 11.89

Корректирующий коэффициент: k=12/11.89 = 1.009

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты S_i и заносим полученные данные в таблицу.

Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T x E = Y/S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁?t = ?y

a₀?t + a₁?t² = ?y*t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

61a₀ + 1891a₁ = 760.29

1891a₀ + 77531a₁ = 29335.86

Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 0.3, a₁ = 3.01

Среднее значения

Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T = 3.01 + 0.305t

Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,61, найдем уровни T для каждого момента времени.

Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 3.01 + 0.305t

Получим: F61=25.0917710374905; F62=25.2004333167496; F63=25.3115780318549; F64=24.6185975315773; F65=23.27748757432; F66=22.502030362565; F67=20.9922700704651; F68=21.5162646170356; F69=21.8935445951794; F70=23.4074915918922; F71=25.8917735513491;F72=27.6431007622595.

Заключение

временной сезонный мультипликативный аддитивный

Оценки параметров регрессионной, модели, полученные с помощью метода наименьших квадратов, следовательно, они являются состоятельными, несмещенными и эффективными. Выполнено предположение об остатках, значит, по этой модели можно прогнозировать величину прибыли на 2016 год.

Построение модели прогнозов объема выручки, которая будет получена в 2016 году, позволяет компаниям:

* заранее спланировать деятельность наиболее эффективным образом, а именно распределить ресурсы компании так, чтобы обеспечить ожидаемые продажи;

* увеличить предложение товаров, так как ожидаемая выручка, согласно прогнозу, возрастет;

Прогнозы - это основа для планирования. Совершенно ясно - чем точнее прогноз, тем лучше компания подготовлена к использованию будущих благоприятных возможностей и снижению потенциального риска.

Размещено на Allbest.ru