Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции. Оценивание распределений и их параметров
Оценка математического ожидания и дисперсии случайной величины. Анализ вероятности ее попадания в заданный интервал. Нахождение доверительных интервалов. Проверка правдоподобия гипотезы совпадении выбранного закона распределения с истинным в эксперименте.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.10.2017 |
| Размер файла | 55,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Российский химико-технологический университет
им. Д.И. Менделеева
Кафедра сертификации и стандартизации
Курсовая работа на тему:
«Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции. Оценивание распределений и их параметров»
Выполнила: студентка 5 курса
ф-та КХТП
группы К-53 Сатановская М.М.
Проверил: Браженков А.И.
Москва 2004г.
Введение
Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениванию распределений и их параметров и проверки гипотез о распределениях.
1 Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятностью.
(1-б)=0,85.
3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8ч1,1).
4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности (1-б) = 0,8.
5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности: f(x)=> (1-б) = 0,85 F(x)=> (1-б) = 0,9.
7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
8. Используя критерий согласия чІ и теорему Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости: б=0,01.
Задание
Фиксируется отклонение скорости самолета (в м/с) от нормативной. Данные по ста полетам приведены в таблице при полете по маршруту.
Таблица №1
|
2,7 |
-10,95 |
17,1 |
7,95 |
6,45 |
0,15 |
11,25 |
-24,25 |
11,85 |
20,4 |
|
|
4,65 |
-0,9 |
20,7 |
10,95 |
15,6 |
3,75 |
26,55 |
-2,4 |
15,9 |
4,35 |
|
|
17,85 |
31,35 |
-10,65 |
-3,6 |
21,45 |
8,4 |
-6,45 |
23,1 |
28,05 |
13,8 |
|
|
60,3 |
-3,45 |
20,85 |
-10,5 |
16,05 |
24,75 |
4,05 |
-5,85 |
-20,25 |
5,7 |
|
|
12,3 |
25,95 |
-2,25 |
0,15 |
51,75 |
4,5 |
-1,05 |
-9,15 |
37,05 |
3,9 |
|
|
16,35 |
23,25 |
4,65 |
6 |
20,7 |
-0,15 |
-3,15 |
-0,15 |
-6,45 |
-16,95 |
|
|
19,05 |
12,9 |
8,7 |
16,05 |
22,05 |
7,35 |
-34,95 |
-0,75 |
18,5 |
5,7 |
|
|
5,55 |
13,8 |
3,75 |
-0,15 |
22,95 |
20,55 |
11,25 |
28,65 |
10,5 |
-9,6 |
|
|
2,4 |
28,05 |
19,35 |
13,35 |
-0,15 |
22,2 |
-1,2 |
8,25 |
-23,25 |
-12,45 |
|
|
18,9 |
-5,55 |
9,75 |
34,65 |
10,2 |
-8,94 |
14,25 |
28,2 |
-3,6 |
-13,35 |
Решение
1.Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
· исправленная:
· выборочная:
2. Рассчитаем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть (1-) = 0,85. Тогда по таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:
для математического ожидания:
для дисперсии:
3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал (0,8ч1,1) = (6,52ч8,96). Так как в этот интервал попало m=5 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:
4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-) = 0,8. Тогда =1,29 , и искомый интервал имеет вид:
5. Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0; 100) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 10. Для каждого разряда рассчитываем:
значение гистограммы Г(x):
, где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а - его длина.
частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы: математический ожидание дисперсия распределение
|
Интервалы (разряды) |
ni |
частота попадания случайной величины Х в интервал |
Значение гистограммы Г(х) |
|
|
[0;10) |
21 |
0,21 |
0,021 |
|
|
[10;20) |
22 |
0,22 |
0,022 |
|
|
[20;30) |
18 |
0,18 |
0,018 |
|
|
[30;40) |
3 |
0,03 |
0,003 |
|
|
[40;50) |
0 |
0 |
0 |
|
|
[50;60) |
2 |
0,02 |
0,002 |
|
|
[60;70) |
0 |
0 |
0 |
|
|
[70;80) |
0 |
0 |
0 |
|
|
[80;90) |
0 |
0 |
0 |
|
|
[90;100) |
0 |
0 |
0 |
Из распределения видно, что оно нормальное.
Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:
,где - число экспериментальных точек, лежащих левее х.
Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x).
На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем доверительную вероятность по формуле из пункта 4 с заменой величин соответственно на . В данном случае общее число разрядов r = 10 плюс 2 полубесконечных разряда , r = 12. Выбираем доверительную вероятность (1-), равную 0,9 , из условия:
и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 2,64.
i = 1...r
плотность на i-ом разряде;
доверительные границы для плотности , которая находится по формуле:
длина разряда.
|
разряд |
доверительные границы для плотности распределения f(x) |
||
|
0 |
0 |
0,006943 |
|
|
0 |
0 |
0,006943 |
|
|
[-60;-48) |
6,54E-06 |
0,007356 |
|
|
[-48;-36) |
2,95E-06 |
0,007219 |
|
|
[-36;-24) |
2,53E-05 |
0,007767 |
|
|
[-24;-12) |
1,14E-05 |
0,007492 |
|
|
[-12;0) |
0,000106 |
0,00867 |
|
|
[0;12) |
0,000537 |
0,011075 |
|
|
[12;24) |
9,03E-05 |
0,008533 |
|
|
[24;36) |
2,53E-05 |
0,007767 |
|
|
[36;48) |
3,4E-05 |
0,007902 |
|
|
0 |
0 |
0,006943 |
|
|
0 |
0 |
0,006943 |
Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:
, где - число экспериментальных точек, лежащих левее x.
По таблице распределения величины (распределение Колмагорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,8. Она равна =1,08. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):
7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:
8. Для проверки гипотезы выберем уровень значимости б = 0,01 и используем критерий согласия . Экспериментальное значение вычисляется по формуле:
где для нормального распределения определяется следующим образом:
Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле
= 14,56
Значение зависит от двух величин (б,s). Уровень значимости б = 0,01; число степеней свободы:
S = r - 1 - k
k = 2 , так как нормальное распределение, тогда
s = 12-1-2 = 9
Значит, теоретическое значение (по табл.)
Таким образом,
<
гипотеза является правдоподобной
Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:
Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:
Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости б = 0,01 (по таблице Колмогорова) равно:
1,63
Таким образом, , следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Выборки к генеральной совокупности: оценка параметра и построение доверительных интервалов. Интервальный статистический ряд. Оценивание параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Гипотеза о нормальном распределении случайной величины.
контрольная работа [391,1 K], добавлен 23.06.2012Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012Цель и задачи статистического анализа. Методы получения оценок: максимального правдоподобия, моментов. Доверительный интервал. Точечная оценка параметров распределения. Генеральная и выборочная дисперсии. Интервальное оценивание математического ожидания.
презентация [395,9 K], добавлен 19.07.2015Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности.
курсовая работа [570,4 K], добавлен 28.09.2014Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Понятие вариационного ряда, статистического распределения. Эмпирическая функция и основные характеристики математического ожидания выборочной дисперсии. Точечные и интервальные оценки распределений. Теория гипотез - аналог теории доверительных интервалов.
контрольная работа [172,9 K], добавлен 22.11.2013Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности. Оценка статистических характеристик случайного процесса.
курсовая работа [744,3 K], добавлен 07.06.2010Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Анализ случайных явлений, статистическая обработка результатов численных экспериментов. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
контрольная работа [43,8 K], добавлен 21.09.2013Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Методы регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. Обзор задач математической статистики. Закон распределения случайной величины. Проверка правдоподобия гипотез.
презентация [113,3 K], добавлен 01.11.2013Распределение случайной величины c помощью закона Пуассона. Вычисления математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия. Асимметрия распределения Пуассона, его дополнительные характеристики, точечная и интервальная оценка параметра.
презентация [710,3 K], добавлен 01.11.2013Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 17.03.2011Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014
