Понятия математической статистики
Определение оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины. Расчет доверительного интервала. Оценка вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Особенности построения гистограммы и эмпирической функции распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.10.2017 |
| Размер файла | 63,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
В ста случаях зарегистрировано время проведения синтеза на химическом производстве. Результаты регистрации сведены в таблицу:
математический доверительный распределение
|
27 |
51 |
107 |
21 |
20 |
46 |
35 |
27 |
6 |
25 |
|
|
16 |
118 |
3 |
3 |
0 |
54 |
85 |
30 |
39 |
43 |
|
|
15 |
59 |
3 |
143 |
70 |
10 |
82 |
71 |
64 |
67 |
|
|
17 |
29 |
43 |
285 |
3 |
17 |
185 |
42 |
26 |
3 |
|
|
88 |
22 |
31 |
6 |
25 |
0 |
29 |
170 |
242 |
22 |
|
|
31 |
79 |
117 |
0 |
101 |
55 |
32 |
38 |
13 |
16 |
|
|
42 |
316 |
0 |
32 |
52 |
102 |
7 |
63 |
24 |
68 |
|
|
67 |
29 |
17 |
4 |
21 |
96 |
112 |
91 |
26 |
9 |
|
|
167 |
7 |
58 |
132 |
21 |
20 |
28 |
0 |
5 |
26 |
|
|
20 |
58 |
65 |
96 |
19 |
42 |
99 |
30 |
79 |
65 |
Содержание работы:
1) Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X.
Для математического ожидания Mx:
Исправленная дисперсия: Выборочная дисперсия:
;
2) Найти доверительный интервал для Mx, Dx, соответствующий доверительной вероятности (1 - ) = 0,8.
Из условия: =>
Из таблицы значений функции Лапласа находим .
M1 = 48,88 ; М2 = 63,56 48,88 < Mx < 63,56
D1 = 2774,92 ; D2 = 4000,51 2774,92 < Dx < 4000,51
3) Оценить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,6 1)= (33,73 56,22)
В заданный интервал попали m = 13 экспериментальных значения.
4) Для этой вероятности (3) найти интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1 - ) = 0,85.
Из таблицы значений функции Лапласа находим .
P1 = 0,088997 ; P2 = 0,186036
0,088997 < P < 0,186036
5) Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения
Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;320) и разбиваем его на 10 равных разрядов каждый по 32.
значение гистограммы Г(x):
где ni- число экспериментальных точек, попавших разряд , а - его длина.
частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:
Соответствующую эмпирическую функцию распределения рассчитываем по формуле:
где nx - число экспериментальных точек, лежащих левее х.
Таблица
|
Разряд (Хi-1,Xi) |
ni |
Частота P попадания случайной величины Х в разряд (Хi-1,Xi) |
Значение гистограммы Г(х) |
Эмпирическая функция распределен.F(x) |
|
|
[0;32] |
52 |
0,52 |
0,01625 |
0,52 |
|
|
[32;64] |
18 |
0,18 |
0,005625 |
0,7 |
|
|
[64;96] |
15 |
0,15 |
0,004688 |
0,85 |
|
|
[96;128] |
7 |
0,07 |
0,002188 |
0,92 |
|
|
[128;160] |
2 |
0,02 |
0,000625 |
0,94 |
|
|
[160;192] |
3 |
0,03 |
0,0009375 |
0,97 |
|
|
[192;224] |
0 |
0 |
0 |
0,97 |
|
|
[224;256] |
1 |
0,01 |
0,0003125 |
0,98 |
|
|
[256;288] |
1 |
0,01 |
0,0003125 |
0,99 |
|
|
[288;320] |
1 |
0,01 |
0,0003125 |
1 |
6) Найти и построить доверительные области для f(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,9; и F(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,95.
Общее число разрядов r = 10 плюс 1 полубесконечный разряд , r = 11.
используя таблицу значений функции Лапласа, находим .
На каждом разряде находим доверительную область для вероятности попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем с заменой величины соответственно на по формуле:
i = 1... 14
плотность распределения на i-ом разряде;
доверительные границы для плотности распределения, которая находится по формуле:
; ; длина разряда
|
разряд |
Доверительная область |
доверительные границы для плотности распределения f(x) |
|||
|
[0;32] |
0,392549 |
0,6449 |
0,012267 |
0,020153 |
|
|
[32;64] |
0,101263 |
0,299554 |
0,003164 |
0,009361 |
|
|
[64;96] |
0,079425 |
0,265218 |
0,002482 |
0,008288 |
|
|
[96;128] |
0,027396 |
0,167452 |
0,000856 |
0,005233 |
|
|
[128;160] |
0,003846 |
0,09738 |
0,00012 |
0,003043 |
|
|
[160;192] |
0,007493 |
0,112457 |
0,000234 |
0,003514 |
|
|
[192;224] |
0 |
0,063776 |
0 |
0,001993 |
|
|
[224;256] |
0,001151 |
0,08135 |
0,000036 |
0,002542 |
|
|
[256;288] |
0,001151 |
0,08135 |
0,000036 |
0,002542 |
|
|
[288;320] |
0,001151 |
0,08135 |
0,000036 |
0,002542 |
Найдём доверительную область для функции распределения F(x).
По таблице находим величину (распределение Колмогорова), соответствующую доверительной вероятности (1-) = 0,95.
Она равна =1,36. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):
7) Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение функции:
-для плотности распределения:
-для функции распределения:
8) Используя критерий согласия и критерий Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости =0,05.
Для проверки гипотезы при уровне значимости б = 0,05 используем критерий согласия .
Экспериментальное значение вычисляется по формуле:
где n - общее число экспериментальных точек;
r - число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды);
- экспериментальная частота попадания величины x в i-ый разряд;
Pi - вероятность попадания величины x в i-ый разряд при гипотезе H0.
Для экспоненциального закона распределения Pi определяется по формуле:
,
|
Разряд (Хi-1,Xi) |
||||
|
[0;32] |
0,52 |
0,4340129 |
0,01703585 |
|
|
[32;64] |
0,18 |
0,2456457 |
0,01754298 |
|
|
[64;96] |
0,15 |
0,1390323 |
0,0008652 |
|
|
[96;128] |
0,07 |
0,07869049 |
0,00095977 |
|
|
[128;160] |
0,02 |
0,0445378 |
0,01351894 |
|
|
[160;192] |
0,03 |
0,02520782 |
0,00091103 |
|
|
[192;224] |
0 |
0,0142673 |
0,0142673 |
|
|
[224;256] |
0,01 |
0,00807511 |
0,00045884 |
|
|
[256;288] |
0,01 |
0,00457041 |
0,0064503 |
|
|
[288;320] |
0,01 |
0,00258679 |
0,02124472 |
|
|
[320;+ ] |
0 |
0,00337338 |
0,00337338 |
|
|
0,09662831 |
Экспериментальное значение,согласно вышеуказанной формуле:
Значение зависит от двух величин (б,s).
Уровень значимости: б = 0,05;
Для экспоненциального распределения k = 1
число степеней свободы: S = r - 1 - k
s = 11-1-1 = 9
Значит, теоретическое значение (по табл.)
Таким образом,
<
=> гипотеза является правдоподобной.
б) Проверим эту же гипотезу с помощью критерия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения равно в данном случае:
|
x |
0 |
32 |
64 |
96 |
128 |
160 |
192 |
224 |
256 |
288 |
320 |
|
|
0 |
0,434 |
0,6796 |
0,8187 |
0,8974 |
0,9419 |
0,9671 |
0,9814 |
0,9895 |
0,994 |
0,9966 |
||
|
0 |
0,52 |
0,7 |
0,85 |
0,92 |
0,94 |
0,97 |
0,97 |
0,98 |
0,99 |
1 |
||
|
0 |
-0,08598 |
-0,0203 |
-0,0313 |
-0,0226 |
0,0019 |
-0,0029 |
0,0114 |
0,0095 |
0,004 |
-0,0034 |
Экспериментальное значение критерия Колмогорова равно:
Гипотетическое значение этого критерия при уровне значимости б = 0,05 (по таблице Колмогорова) равно (1-б = 0,95):
1,36
Таким образом, =>
гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Закон распределения суточного дохода трамвайного парка, оценка доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии суточного дохода. Особенности определения математического ожидания рассматривающейся случайной величины при решении задач.
курсовая работа [69,5 K], добавлен 02.05.2011Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала и его границ. Закон распределения оценки. Построение доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии.
презентация [124,9 K], добавлен 01.11.2013Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины Х по данным выборки. Интервальное оценивание. Случайный интервал. Граничные точки доверительного интервала. Нижний и верхний доверительные пределы.
реферат [30,0 K], добавлен 31.03.2003
