Компьютерная алгебра
Обзор исследования функции. Нахождение коэффициентов кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах. Представление графического изображения результатов интерполяции данных различными методами с использованием встроенных функций.
Рубрика | Математика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 21.10.2017 |
Размер файла | 393,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»
(СПбГЭТУ «ЛЭТИ»)
Дисциплина Информатика
для подготовки бакалавров по направлению
«Электроэнергетика и электротехника»
Профиль подготовки «Электропривод и автоматика»
Факультет Электротехники и автоматизации
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
Вариант № 21
Выполнил:
Студент группы 5402 Марченко В.Д.
Проверил: Пожидаев А. К.
Санкт-Петербург
2015
Задание на курсовую работу
Студентка: Марченко В.Д. Группа: 5402
Тема работы: решение математических задач с использованием математического пакета "MathCAD".
Исходные данные:
Даны функции f(x) = v3sin(x) + cos(x) и g(x) = cos(2?x + р/3) - 1
Решить уравнение f(x) = g(x).
Исследовать функцию h(x) = f(x) - g(x) на промежутке [0; (5•р)/6].
Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.
Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.
Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).
Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.
На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.
Содержание пояснительной записки:
«Оглавление», «Введение», «Список обозначений и сокращений», «Вывод по курсовой работе», «Список используемой литературы».
Предполагаемый объем пояснительной записки:
Не менее 33 страниц.
Дата выдачи задания: 04.09.2015
Дата сдачи курсовой работы:
Дата защиты курсовой работы:
Аннотация
кубический сплайн вектор графический
С помощью математического пакета Mathcad в данной курсовой работе были выполнены:
Решение заданного уравнения и исследование функции;
Алгоритм нахождения коэффициента кубического сплайна, интерполирующего данные;
Метод решения задачи по оптимальному распределению неоднородных ресурсов.
Работа выполнена с использованием элементарных функции Mathcad, таких как solve, root, maximizeи некоторые другие.
Введение
Цель курсовой работы: уметь применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности.
Mathcad -- это система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования (САПР), ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Данная программа содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Mathcad позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Список обозначений и сокращений
x - аргумент
f(x) - функция f(x)
g(x) - функция g(x)
h(x) - функция h(x)
- первая производная функции h(x)
- вторая производная функции h(x)
Vx, Vy - вектора данных.
cspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy) - функции, используемые для нахождения коэффициентов сплайна.
interp(Vk,Vx,Vy,x) - функция, возвращающая значение f(х) для заданных векторов Vk, Vx, Vy и заданного значения x.
f1(x), f2(x), f3(x) - линейная интерполяция данных, представленных в векторах Vx и Vy.
f1_pogr, f2_pogr, f3_pogr погрешности интерполяции функций.
Y - прибыль предприятия.
X - количество изделий j-го наименования, которое может производить предприятие.
X5, X6, X7 - фиктивные изделия, при изготовлении которых используют каждый оставшийся вид ресурса.
Задача 1
Используемые функции:
Solveрешение уравнения (системы уравнений) относительно переменной (переменных).
Root- решение уравнения относительно переменной на промежутке.
Строим графи функции:
Решим уравнение:
Исследуем функцию h(x):
Упростим вид функции h(x) и её производной:
Приближённые вычисления корней для определения Промежутков построения графика:
Исследуем функцию на четность - нечетность (функция является четной при условии, что h(x) = h(-x), и функция является нечетной, если h(-x) = -h(x)):
Для наглядности построим графики функций:
Вычисляем вторую производную функции h(x):
Из графика видно, что функция на заданном промежутке имеет только один экстремум.
Находим экстремум функции:
Задача 2
Задание. Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.
Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.
Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).
Дано:
Оценить погрешность интерполяции в точке x = 2,6. Вычислить значение функции в точке x = 1,6.
Основные понятия:
Интерполяция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. По определению интерполяция означает построение функции f(x), аппроксимирующей зависимость y(x), в промежуточных точках (между xi) Поэтому интерполяцию ещё по-другому называют аппроксимацией.
Аппроксимация - метод состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.
Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.
Задача интерполяции -- найти данные в окрестности узловых точек. Для этого используются подходящие функции, значения которых в узловых точках совпадают с координатами этих точек. Например, при линейной интерполяции зависимости у(х) узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых и считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках. Для повышения точности интерполяции применяют параболы (квадратичная интерполяция) или полиномы более высокой степени (полиномиальная интерполяция). Для обработки данных MathCAD использует различные функции интерполяции и аппроксимации данных.
Использованные функции:
cspline - генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках (кубический сплайн).
pspline - генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках (квадратичный сплайн).
lspline - генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точкаx (линейный сплайн).
interp(Vk,Vx,Vy,x) - возвращает интерполируемое значение y, соответствующее x.
Vk - вектор вторых производных в рассматриваемых точках.
linterp(Vx,Vy,x) - возвращает оценку значения в точке x, вычисленную методом линейной интерполяции на основе значений из векторов x и y;
Vx - вещественный вектор, элементы которого должны соответствовать значениям x.
Vy - вещественный вектор одного размера с Vх, элементы которого соответствуют значениям y.
Задаем значения векторов Vx и Vy:
Находим коэффициенты кубического сплайна при помощи функций cspline(вектор значений коэффициентов кубического сплайна), pspline(вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна), lspline(вектор значений коэффициентов линейного сплайна):
Интерполяция исходных данных Функция interp(Vk,Vx,Vy,x) возвращает значение f(х) для заданных векторов Vk, Vx, Vy и заданного значения x:
Для наглядности проведём линейную интерполяцию векторов и получим ломаную кривую.
Построим графики:
Сделаем предположение, что множество значений функции является достаточным для описания функции, тогда функция примет вид:
Где:
Находим значения интерполяций функции в точке, для которой требуется найти погрешность интерполяции:
Вывод: Наименьшую погрешность интерполяции дает функция lspline(Vx, Vy).
Задача 3
Задание. Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.
На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.
Таблица 1.21
Используемые ресурсы, аi |
Изготавливаемые изделия |
Наличие ресурсов, аi |
||||
И1 |
И2 |
И3 |
И4 |
|||
Песок |
9 |
5 |
2 |
9 |
18 |
|
Щебень |
10 |
8 |
3 |
5 |
15 |
|
Цемент |
9 |
9 |
1 |
8 |
20 |
|
Прибыль, Пj |
40 |
60 |
20 |
25 |
1.Зададим начальные условия:
2.Зададим функцию прибыли:
3.Зададим ограничение на количество изделий, т.к. оно не может быть отрицательным:
4.Зададим ограничение на используемые ресурсы:
5.Составим матрицу и при помощи функции Maximizeвычислим наибольшую прибыль:
Решим данную задачу симплекс-методом:
Составим таблицу, поменяв значение прибыли на противоположенные знаки где x5,x6,x7 базисные переменные.
Базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
Свободные члены |
|
x5 |
9 |
9 |
1 |
8 |
0 |
0 |
1 |
20 |
|
x6 |
9 |
5 |
2 |
9 |
1 |
0 |
0 |
18 |
|
x7 |
10 |
8 |
3 |
5 |
0 |
1 |
0 |
15 |
|
f |
-40 |
-60 |
-20 |
-25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Для определения ведущего элемента находим наибольшее значение по модулю в последней строке, находим минимальное отрицательное отношение элементов свободного столбца к элементам ведущего столбца,на пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится ведущий элемент.
Базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
Свободные члены |
|
x5 |
9 |
9 |
1 |
8 |
0 |
0 |
1 |
20 |
|
x6 |
9 |
5 |
2 |
9 |
1 |
0 |
0 |
18 |
|
x7 |
10 |
8 |
3 |
5 |
0 |
1 |
0 |
15 |
|
f |
-40 |
-60 |
-20 |
-25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
Свободные члены |
|
x5 |
-9/4 |
0 |
-19/8 |
19/8 |
0 |
-9/8 |
1 |
25/8 |
|
x6 |
11/4 |
0 |
1/8 |
47/8 |
1 |
-5/8 |
0 |
69/8 |
|
X2 |
5/4 |
1 |
3/8 |
5/8 |
0 |
1/8 |
0 |
15/8 |
|
f |
35 |
0 |
5/2 |
25/2 |
0 |
15/2 |
0 |
225/2 |
Оптимальное решение:
x1 = 0, x2 = 15/8, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 25/8, x6 = 69/8, x7 = 0
Оптимальное значение:
f (x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=225/2=112.5
Ответ:112,5
Заключение
Математический пакет MathCAD обладает широким диапазон возможностей. С его помощью можно решать различные математические и инженерные задачи. Он просто и удобен в применении. MathCAD позволяет работать с различными уравнениями, неравенствами, матричными данными, а так же строить графики, что наглядно демонстрирует их решение.
В данной работе при помощи MathCAD я произвёл исследование функции на определенном промежутке, построил различные графики. Так же я построил кубический сплайн-интерполяцию несколькими методами (при помощи встроенных функций cspline, pspline, lspline). А так же решил задачу распределения неоднородных ресурсов при помощи встроенной функции Maximize.
Список используемой литературы
1. exponenta.ru - Руководство пользователя MathCAD.
2. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11Автор: В. П. Дьяконов Издательство: Солон-ПрессГод, 2004. 830 с.
3. Справочник по Mathcad 11Автор: Е.М. Кудрявцев Издательство: ДМК Пресс,2005.184 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Решение системы линейных уравнений методом Якоби вручную и на Бейсике. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с помощью Excel. Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Построение кубического сплайна по шести точкам.
курсовая работа [304,9 K], добавлен 07.09.2012Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Определение МДНФ логической функции устройства различными методами (Квайна, Петрика, неопределенных коэффициентов и др.). Составление алгоритма метода минимизации функции и разработка его рабочих программ. Выполнение синтеза схемы логического устройства.
курсовая работа [60,2 K], добавлен 21.11.2010Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Определение значения заданной функции в указанной точке при помощи интерполяционной схемы Эйткина. Проверка правильности данного решения с помощью кубического сплайна. Практическая реализация данного задания на языке Pascal и при помощи таблиц Excel.
курсовая работа [496,3 K], добавлен 29.08.2010Определение констант нуля и установление эквивалентности линейных функций при помощи таблицы истинности. Нахождение минимальной дизъюнктивной нормальной формы функции с помощью метода неопределенных коэффициентов. Преобразование функции методом Квайна.
контрольная работа [335,2 K], добавлен 05.07.2014Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Определение сплайна степени n дефекта. Простейший пример сплайна - единичная функция Хевисайда. Теорема о линейно независимых функциях и ее доказательство. Базисные сплайны с конечными носителями. Тождество Лемма. Представление многочленов сплайнами.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 19.12.2010Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Сведения о графическом методе как особой знаковой системе. Техника составления статистических графиков. Требования к построению графического изображения. Классификация графиков по форме графического изображения и способу построения и задачам изображения.
контрольная работа [2,7 M], добавлен 01.08.2010Определение понятия, графического изображения квадратической функции вида y=ax^2+bx+c и сравнение е свойств с функцией y=ax^2. Практическое нахождение оси симметрии, абсциссы и ординаты вершины параболы, координат точек пресечения с осями координат.
конспект урока [98,2 K], добавлен 17.05.2010Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Бесселевы функции с любым индексом. Формулы приведения для бесселевых функций. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.
курсовая работа [617,8 K], добавлен 22.09.2008Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.
реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010